Le jeu du SOS

JEANNEAU Mathilde
Année 2012-2013
2nde
MATh.en.JEANS
Le jeu du SOS
Sujet encadré par David Gréau, professeur de mathématiques, et proposé par
François Ducrot, chercheur à la faculté des sciences d'Angers.
Lycée Guy Moquet, Chateaubriant
But :
Dans une ligne d'un nombres n de cases, les deux joueurs doivent mettre chacun leur tour un
S ou un O. Celui qui fait apparaître le mot « SOS » a gagné.
Règle :
Le joueur ne peut mettre qu'une seule lettre à la fois et ne peut pas mettre une lettre sur une
case déjà jouée.
Combinaison à savoir :
Une combinaison à garder toujours en tête est « S..S » sachant que les deux points
représentent deux cases vides.
Méthode :
1) Quand 7≤n≤16 et n est impair (n étant le nombre de cases de départ) :
Quand le nombre de cases au départ est impair, le premier joueur gagne à tout les
coups s'il met un S avec trois cases libres de chaque côté.
Explication/ Exemple :
Étape 1 :
3 cases libres
après
3 cases libres
avant
S
Étape 2 :
Ensuite, peu importe la lettre jouée par l'adversaire et dans quelle case, le premier joueur
doit mettre un S, dans la troisième case avant ou la troisième case après le S qu'il a placé en
premier.
Cas a :
Combinaison
S
3
: joueur 1
S
1
O
2
: joueur 2
Ordre des cases jouées
( 1 = 1ere cases jouée )
Dans ce cas là, le joueur 2 a mis une lettre dans la troisième case après le premier S placé.
Le joueur 1 ne peut donc plus placer son deuxième S dans la 3ème case après le premier S
placé. Il va donc placer son 2ème S dans la 3ème case avant le premier S placé.
Cas b :
Combinaison
O
S
S
2
1
3
Dans ce cas là, le joueur 2 a mis une lettre dans la deuxième case avant le premier S placé.
Le joueur 1 ne peut donc plus placer son deuxième S dans la troisième case avant le premier
S placé car il n'y aurais pas deux cases vides entre. Il va donc placer son deuxième S dans la
troisième case après le premier S placé.
Cas c :
Combinaison
Combinaison
O
2
S
3
S
1
S
3
Dans ce cas là, le joueur 2 a mis une lettre dans la quatrième case avant le premier S placé.
Le joueur 1 a encore les deux possibilités de mettre son deuxième S. Soit dans la troisième
case avant soit dans la troisième case après le premier S placé.
Étape 3 :
Après avoir fait la combinaison il n'y a pas d'obligation de mettre une certaine lettre dans
une certaine case. Il faut juste attendre que le deuxième joueur mette un S ou un O dans une
des cases vides de la combinaison.
- On va repartir du cas b :
Combinaison
O
2
S
1
S
3
Combinaison
O
5
O
4
O
2
S
7
S
1
Les deux joueurs doivent jouer dans les cases qui
entourent la combinaison et pas dans les deux cases
de la combinaison.
S S
3 6
Ici, les joueurs ont rempli toutes les cases
qui entourent la combinaison. Et c'est au
tour du joueur 2 de mettre une lettre. Il n'a
donc pas d'autre choix que de la mettre
dans une des deux cases de la conbinaison
Combinaison
O
5
O
4
O
2
S
6
S
1
O
8
S
3
S
7
Au 8eme coups, Le joueur 2 a mit
un O dans une des cases vides de
la combinaison.
Dernière étape :
Le joueur 1 n'a plus qu'à mettre la lettre manquante pour écrire « SOS ». Dans
ce cas là il n'y a plus qu'à rajouter un S dans la dernière case vide de la
combinaison.
Combinaison
O
O
O
S
5
4
2
S
6
S
1
9
O
S
8
3
S
7
Quand le nombre de cases du départ est pair, aucun joueur ne peut gagner si les 2
joueurs jouent intelligemment sauf quand n > 16
2) Quand 7≤n≤16 et n est pair
Quand le nombre de cases du départ est pair, aucun joueur ne peut gagner si les deux
joueurs jouent intelligemment. La combinaison « S..S » ne marche plus pour le premier
joueur car il fera gagner le joueur 2 (il y a une case de plus à remplir!). Si jamais le joueur 1
met un S, le joueur 2 peut gagner si lui même fini la combinaison mais aussi si le joueur 1
fini la combinaison.
1er cas : Le joueur 1 ne fait pas la combinaison S..S
Combinaison
S
O O S
S
O
S
3
5
4
1
7
2
6
Ici, c'est le joueur 2 qui a fini la combinaison mais c'est le joueur 1 qui a mis un S ou un O
dans la combinaison. Le joueur 2 n'a plus qu'à mettre la lettre qui manque pour former le
mot « SOS ».
2ème cas : Le joueur 1 fait la combinaison S..S
Combinaison
O
2
O
4
O
5
S
1
S
7
S
3
S
6
Ici, c'est le joueur 1 qui a fini la combinaison et c'est aussi lui qui a mis un S ou un O dans la
combinaison. Le joueur 2 n'a plus qu'à mettre la lettre qui manque pour former le mot
« SOS ».
3) Quand 17≤n et n est impair
Étape 1:
Le joueur 1 doit mettre une lettre (n'importe laquelle ) afin qu'il y ai plus au moins huit
cases vides de chaque coté de cette lettre.
8 cases libres
8 cases libres
O
1
Étape 2:
Le joueur 2 va essayer d’empêcher le joueur 1 de faire la combinaison :
Combinaison
O
O
S
2
1
3
Mais le joueur 1 peut encore faire la
combinaison sur l'autre partie libre
Ensuite il n'y a plus qu'à continuer la combinaison comme on l'a démontrer avant.
4) Quand n≤6 et n est impair
Les joueurs ne peuvent pas gagner, il y aura tout le temps égalité.
Explication/Exemple :
Disons que le joueur 1 essaye d'utiliser la combinaison « S..S ».
S
1
O
2
Le joueur 1 aurais voulu faire la combinaison et mettre un S dans la
cinquième case pour gagner. Mais le joueur 2 l'a bloqué car il n'y a plus
trois cases vides à coté du S.