I Lancement d`un satellite par la fusée Ariane (Correction)

I Lancement d’un satellite par la fusée Ariane (Correction)
1. Décollage
1. Pour la date t = 1,6 s,
m · s–1, ce qui est conforme à la valeur du
tableau.
2. Sur le graphe de v(t), on lit que v> 0 à t≈ 0,8 s, c’est-à-dire à la date de décollage. Ce qui
est confirmé par les valeurs du tableau.
3. La fusée voit sa masse varier au cours du décollage d’où l’écriture de la quantité de
mouvement p2 =M2v2 et p3 =M3v3.
« Les moteurs d’Ariane 5 éjectent chaque seconde 4 000 kg de matière ».
Donc 2 s après le décollage correspond à la date t2 = 2,8 s.
La masse M2 est alors égale à la masse de la fusée moins celle du carburant consommé
pendant les 2 s de propulsion, soit 2 × 4 000 kg.
On a donc M2 = 780 – 2 × 4 = 772 t
et v2 = 16,1 m · s–1 (vitesse à t = 2,8 s lue dans le tableau).
D’où p2 =M2v2 = 772 × 103× 16,1 =12,4 × 106 kg · m · s–1.
À t3 = 3,8 s, la masse est M3 = 780 – 3 × 4 = 768 t et v3 = 22,5 m · s–1.
Donc p3 =M3v3 = 768 × 103× 22,4 =17,2 × 106 kg · m · s–1.
4. Entre t2 et t3, pendant une seconde, p varie de m · s–2.
=4,8 × 106 kg ·
5. La fusée est étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à son
poids et à la force F de propulsion. Appliquons la deuxième loi de Newton sur l’axe (Oy)
orienté vers le haut :
Sur (Oy), ΣFy =Fy+Py =F‒ P =F‒ Mg = donc F =
+ Mg = 4,8 × 106+ 770 × 103× 10
= 12,5
× 106 N
F = 12 500 kN.
Comparons avec les données :
F = 13 000 kN au décollage, soit un écart de 3,8 % avec la valeur calculée.
6.
Analyse dimensionnelle
L’intensité d’une force s’exprime en newton en utilisant les unités S.I. : P =mg
newton = [M].[L].[T]−2
[v3] =
[M].[L].[T]−2 = [L].[T]−1, ces unités sont bien celles d’une vitesse.
Calcul de v3
En Δt = 1 s, la fusée subit une variation de masse |Δm| = 4 000 kg.
v3 =
m · s–1.
est négatif puisque ΔM 0 (perte de masse). Donc
est orienté vers le bas, dans le sens
opposé à . Ceci est logique, quand les molécules de gaz sont éjectées de la fusée, elles
s’éloignent de celle-ci.
D’après la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques), les moteurs exercent
sur les gaz une force verticale orientée vers le bas, alors les gaz exercent sur la fusée une
force verticale orientée vers le haut de même valeur.
2. Après 2 minutes 15 : éjection des propulseurs
1. L’énergie cinétique est Ec =
avec M = 780 – 540 = 240 t et v = 240 m · s–1 donc Ec =
0,5 × 240 × 103× 2402 = 6 900 × 106= 6,90 × 109 J.
2. En prenant comme référence des énergies le niveau du sol Ep0 = 0, à 60 km d’altitude,
l’énergie potentielle de pesanteur de la fusée est :
Ep =Mgy = 240 × 103× 10 × 60 × 103 = 144 000 × 106 =1,4 × 1011 J.
3. L’énergie mécanique totale de la fusée est :
E =Ec+ Ep = 150 900 × 106 =1,5 × 1011 J.
4.
=7,8 × 1011 J.