Correction bac blc2_TGSI 2013

CORRECTION DU BAC BLANC 2
EXERCICE 1 (6 points) Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry - 2010
Deux tableaux sont donnés en annexe : le premier donne l’évolution du prix du mètre carré dans
l’immobilier résidentiel ancien en France de 1996 à 2009, le second donne les propositions de salaires
d’une agence immobilière.
PARTIE A
On étudie l’évolution du marché immobilier résidentiel ancien en France entre 1996 et 2009.
Les résultats sont répertoriés dans le tableau 1.
1) Prix du mètre carré en 2009, sachant qu’il a subi une baisse de 14 % par rapport à 2008 :
1 + t2008− 2009 =
v2009 v2009
v
v
=
⇔ 1 − 0,14 = 2009 ⇔ 0,86 = 2009 ⇔ v2009 = 0,86 × 3028 = 2604
v2008 3028
v2008
v2008
2604€.
€. (0,5 point)
Le prix du mètre carré en 2009 arrondie à l’euro près est 2604
2) Le taux d’évolution de 1996 à 1997 est de + 2%. Prix du mètre carré en 1996 :
1 + t1996−1997 =
v1997 1400
1400
1400
1400
=
⇔ 1 + 0, 02 =
⇔ 1, 02 =
⇔ v1996 =
≈ 1372,55
v1996 v1996
v1996
v1996
1, 02
Le prix du mètre carré en 1996 arrondie à l’euro près est 1373€.
1373€. (0,5 point)
3) Taux global d’évolution de ce prix entre 1997 et 2007 :
1+t
g
1997 
→ 2007 , entre 1997 et 2007, le taux global d’évolution est
1 + tg =
3361
= 2, 400714 ⇔ t g = 2, 400714 − 1 = 1,400714 , soit t g = 140,1% valeur arrondie au dixième.
1400
On pourra calculer directement le taux global d’évolution en calculant :
v f − vi
3361 − 1400
tg =
× 100 =
× 100 = 140,0714
vi
1400
Le taux global d’évolution de ce prix entre 1997 et 2007 est d’environ 140,1%. (0,5 point)
4) Taux moyen annuel d’évolution du prix du mètre carré entre 1997 et 2007 :
Soit tam le taux annuel moyen ( en % ) .
1+ t
1+ t
1+ t
1+ t
1+ t
1+ t
1+ t
am
am
am
am
am
am
am
1997 
→1998 
→1999 
→ 2000 
→ 2001 
→ 2002 
→ 2003 
→ 2004 .
1+ tam
1+ tam
1+ tam
2004 → 2005 → 2006 → 2007
Pour trouver la hausse moyenne annuelle t, on doit donc résoudre
(1 + tam )10 = 1 + t g = 2, 4007 ⇔ tam = ( 2, 4007 )
1/10
− 1 ≈ 0,0915 . (1 point)
Le taux moyen annuel d’évolution du prix du mètre carré entre 1997 et 2007 est d’environ 9,15%.
PARTIE B
Une agence immobilière propose à ses agents 2 types de rémunérations mensuelles différents.
• Proposition B : le salaire fixe s’élève à 1 700 € et chaque vente rapporte 300 €.
• Proposition C : le salaire fixe s’élève à 1 700 € et chaque vente permet une augmentation de salaire de
15 %.
Le tableau 2 est un extrait d’une feuille d’un tableur qui donne les salaires des deux propositions en
fonction du nombre de ventes réalisées.
On note ‫ܤ‬௡ le salaire obtenu avec la proposition B et ‫ܥ‬௡ le salaire obtenu avec la proposition C pour ݊
ventes réalisées.
1) Justifier que ‫ܤ‬ଵ = 2000 et que ‫ܥ‬ଵ = 1955.
On note B1 le salaire obtenu avec la proposition B et C1 le salaire obtenu avec la proposition C pour
une vente réalisée. le salaire fixe s’élève à 1 700€ et chaque vente rapporte 300 € ; donc le salaire
B1 = 1700 + 300 = 2000€ et le salaire C1 = 1700 + 1700 ×
15
= 1700 + 255 = 1955 .
100
2) Déterminer ‫ܤ‬௡ en fonction de ݊. Nature de la suite (‫ܤ‬௡ ) :
Pour n + 1 ventes réalisées, on a Bn+1 = Bn + 300 = Bn−1 + 600 = ...... = B0 + 300( n + 1) et on a :
Bn+1 − Bn = ....... = B2 − B1 = B1 − B0 = 300 et par conséquent
la suite ( Bn ) est arithmétique de premier terme B0 = 1700 et de raison a = 300 et enfin
Bn = 1700 + 300n . (0,75 point)
3) Donner une relation entre ‫ܥ‬௡ et ‫ܥ‬௡ାଵ . Nature de la suite (‫ܥ‬௡ ) et expression de ‫ܥ‬௡ en fonction de ݊ :
Cn +1 = Cn +
15
× Cn = Cn (1 + 0,15) = 1,15Cn , donc on déduit que la suite ( Cn ) est de la forme
100
Cn +1 = qCn et par conséquent (0,75 point)
la suite ( Cn ) est géométrique de premier terme C0 = 1700 et de raison q = 1,15 et Cn = C0 × (1,15 ) ,
n
soit ࡯࢔ = ૚ૠ૙૙ × ૚, ૚૞࢔ .
4)
a. Formule à écrire dans la cellule C3 :
En cellule C3, la formule à rentrer est la suivante : « = C2 * (1,15 ) ». (0,5 point)
b. Pour chaque proposition de salaire, nombre minimum de ventes que doivent effectuer les
agents pour leur salaire dépasse 7 000 € : (1,5 point)
Il faut résoudre les inéquations suivantes ‫ܤ‬௡ ≥ 7000 et ‫ܥ‬௡ ≥ 7000
‫ܤ‬௡ ≥ 7000 ⟺ 1700 + 300݊ ≥ 7000
⟺ 300݊ ≥ 5300
⟺݊ ≥
ହଷ଴଴
ଷ଴଴
≈ 17,67
‫ܥ‬௡ ≥ 7000 ⟺ 1700 × 1,15௡ ≥ 7000
଻଴଴଴
⟺ 1,15௡ ≥ ଵ଻଴଴଴
଻଴
⟺ ݊ ln(1,15) ≥ ln ቀଵ଻ቁ
଻଴
⟺ ݊ ≥ ln ቀଵ଻ቁ ÷ ln(1,15) ≈ 10,13
Proposition B : les agents doivent vendre au minimum 18 logements.
Proposition C : les agents doivent vendre au minimum 11 logements.
EXERCICE 2 (4 points) Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry - 2010
Une agence de voyage effectue un sondage auprès de ses clients.
Elle répertorie ses clients en 2 catégories : les groupes et les personnes seules.
Elle les interroge sur leur destination de vacances.
Sur 100 clients interrogés, 63 partent en groupe, et parmi ceux-là, 55 % partent en France.
De plus, 75 % des personnes seules partent à l’étranger.
On choisit au hasard un client de l’agence parmi ceux qui ont été interrogés ; on admet que tous les
clients interrogés ont la même probabilité d’être choisis. On note :
‫ ܩ‬l’événement : « le client choisi part en groupe »,
‫ܩ‬ҧ l’événement contraire de G : « le client choisi part seul »,
‫ ܧ‬l’événement : « le client choisi part à l’étranger »,
‫ܧ‬ത l’événement contraire de E : « le client choisi part en France ».
( )
1) On cherche pG E , puis pG ( E ) . (0,5 point)
L’événement E sachant que G est réalisé signifie : le client choisi part en France sachant qu’il part en
groupe, or sur 100 clients interrogés, 63 partent en groupe, et parmi ceux-là, 55 % partent en France
ഥ ) = ૙, ૞૞.. 75 % des personnes seules partent à l’étranger, donc ࡼࡳഥ (ࡱ) = ૙, ૠ૞..
donc ࡼࡳ (ࡱ
2) Arbre de probabilité correspondant à cette situation : (1 point)
sur 100 clients interrogés, 63 partent en groupe, donc 63% des clients partent en groupe alors,
P (G ) = 0, 63 et P (G ) = 1 − P (G ) = 1 − 0, 63 = 0,37
63 partent en groupe, et parmi ceux-là, 55 % partent en France.
De plus, 75 % des personnes seules partent à l’étranger.
0,63
PG ( E ) = 0,55 et PG ( E ) = 1 − PG ( E ) = 1 − 0,55 = 0, 45 .
De plus, 75 % des personnes seules partent à l’étranger
0,45
E
0,55
E
0,75
E
0,25
E
G
0,37
G
PG ( E ) = 0, 75 et PG ( E ) = 1 − PG ( E ) = 1 − 0, 75 = 0, 25 .
3) Probabilité p ( G ∩ E ) : ࡳ ∩ ࡱ est l’événement « le client part en groupe à l’étranger ». (0,5 point)
P(G ∩ E ) = P(G ) × PG ( E ) = 0, 63 × 0, 45 = 0, 2835 ; donc ࡼ(ࡳ ∩ ࡱ) = ૙, ૛ૡ૜૞..
4) Montrer que la probabilité p ( E ) de l’évènement E est égale à 0, 561 .
D'après la formule des probabilités totales on a : ܲ(‫ )ܧ ∩ ܩ(ܲ = )ܧ‬+ ܲ(‫ܩ‬ҧ ∩ ‫)ܧ‬.
Or P (G ∩ E ) = P (G ) × PG ( E ) = 0,37 × 0, 75 = 0, 2775
donc P ( E ) = P (G ∩ E ) + P (G ∩ E ) = 0, 2835 + 0, 2775 = 0, 561 .
Ainsi, la probabilité que le client parte à l’étranger est P ( E ) = 0,561 . (1 point)
5) Calcul de pE ( G ) : (1 point)
La probabilité conditionnelle de G sachant que E est réalisé est :
PE (G ) =
P(G ∩ E ) 0, 2835 189
=
=
≈ 0,505 .
P( E )
0,561 374
Donc la probabilité que le client voyage en groupe sachant qu’il est parti à l’étranger est de 0,505.
EXERCICE 3 (1 point par réponse) Baccalauréat STG Mercatique Nouvelle Calédonie - 2009
1) Les points de la figure 2 semblent alignés donc la réponse est : (b).
2) Les coordonnées du point moyen sont (8 ; 290) donc la réponse est : (c).
3) La droite qui réalise le meilleur ajustement affine est ݀ଷ donc la réponse est : (c).
4)
A. Une équation de la droite de régression de ‫ ݕ‬en ‫ ݔ‬est ‫ = ݕ‬−2000‫ ݔ‬+ 17600 donc la réponse
est : (b).
B. L’estimation du prix de son véhicule en 2010, soit pour x=7, est alors de 1600€ donc la
réponse est : (a).
C. Sur la période 2003-2008, le véhicule perd en moyenne 2000€ par an donc la réponse est :
(b).
EXERCICE 4 (7 points) Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry - 2010
On considère la fonction ݂ définie sur l’intervalle ሾ−0,5 ; 5ሿ par ݂(‫ ݔ = )ݔ‬ଶ − 9‫ ݔ‬+ 14 ln(‫ ݔ‬+ 1).
Dans le repère de la feuille annexe, la courbe ‫ܥ‬௙ est sa courbe représentative.
(ܶ଴ ) est la tangente à la courbe représentative de ݂ au point d’abscisse 0.
On admet que la fonction ݂ est dérivable sur l’intervalle ሾ−0,5 ; 5ሿ et on note ݂′ sa fonction dérivée.
PARTIE A
1) ݂(0) est l’image de 0 par la fonction f donc on lit ࢌ(૙) = ૙.
݂ ᇱ (0) est le coefficient directeur de (ܶ଴ ) qui passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 5) donc
ହି଴
݂ ᇱ (0) = ଵି଴ donc ࢌᇱ (૙) = ૞. (0,75 point)
2) Les solutions de l’équation ݂(‫ = )ݔ‬1,5 sont les abscisses des points de la courbe de ݂ dont l’ordonnée
vaut 1,5 donc ࡿ = ሼ૙, ૟ ; ૚, ૠ ; ૜, ૛ሽ. (1,25 point)
PARTIE B
ଵ
1) Pour tout ‫ ݔ‬de ሾ−0,5 ; 5ሿ, ݂′(‫ = )ݔ‬2‫ ݔ‬− 9 + 14 × ௫ାଵ.
૚૝
Donc ࢌ′(࢞) = ૛࢞ − ૢ + ࢞ା૚. (1 point)
2) On a
(ଶ௫ିହ)(௫ିଵ)
௫ାଵ
Donc ࢌᇱ (࢞) =
=
ଶ௫²ି଻௫ାହ
.
௫ାଵ
Or 2‫ ݔ‬− 9 +
ଵସ
௫ାଵ
=
(ଶ௫ିଽ)(௫ାଵ)
௫ାଵ
+
ଵସ
௫ାଵ
=
ଶ௫²ି଻௫ିଽାଵସ
௫ାଵ
=
ଶ௫²ି଻௫ାହ
.
௫ାଵ
(૛࢞ି૞)(࢞ି૚)
࢞ା૚
. (1 point)
3)
a. Si ‫ ݔ‬appartient à ሾ−0,5 ; 5ሿ alors −0,5 ≤ ‫ ≤ ݔ‬5 donc −0,5 + 1 ≤ ‫ ݔ‬+ 1 ≤ 5 + 1 soit
0,5 ≤ ‫ ݔ‬+ 1 ≤ 6.
Ainsi ݂’(‫ )ݔ‬est du signe de (2‫ ݔ‬− 5)(‫ ݔ‬− 1). D’où le tableau de signes : (1,5 point)
‫ݔ‬
‫ݔ‬−1
2‫ ݔ‬− 5
݂′(‫)ݔ‬
−0,5
−
−
+
1
0
0
+
−
−
2,5
0
0
+
+
+
5
b. On en déduit le tableau de variation suivant : (1 point)
‫ݔ‬
ᇱ
݂ (‫)ݔ‬
݂(‫)ݔ‬
−0,5
+
1
0
1,7
−
−4,95
2,5
5
5,1
1,3
4) Equation de la tangente en 1 notée (ܶଵ ) ∶ (0,5 point)
Elle est de la forme ‫ ݔܽ = ݕ‬+ ܾ avec ܽ = ݂’(1) = 0 donc ‫ ܾ = ݕ‬avec ܾ = ݂(1) = −8 + 14 ln(2).
Donc (ࢀ૚ ) a pour équation ࢟ = −ૡ + ૚૝‫( ܖܔ‬૛).