T40 - Courbe de Gini - Tableur - NPIR

Tp Ma
Math
E C O N O M I E – La courbe de Lorenz
Tableur
T40
Travail sur logiciel - Exemple 1
Dans une entreprise, on a relevé la répartition des salaires mensuels entre les différents employés. Les
résultats de l’enquête sont donnés dans le tableau suivant :
Salaire mensuel en € 1124 1561 1969 2149 2257 2365 2473 2977 3559 4060
Nombre d’employés 101
83
54
49
33
29
38
16
10
5
Pour étudier cette échelle des salaires et pour en mesurer d’éventuelles inégalités, on désire pouvoir
répondre à des questions telles que : quelle part de la masse salariale revient aux 20% des salariés les plus
pauvres ? Aux 50% les plus pauvres ?
1°) Compléter le tableau suivant :
Salaire
Effectifs
Si
Ni
1124
1561
1969
2149
2257
2365
2473
2977
3559
4060
101
83
54
49
33
29
38
16
10
5
Fréquences Fréquences
Masse salariale
en %
cumulées
fi
xi
mi = Ni Si
Fréquences
des masses
salariales
en %
Fi
Fréquences
cumulées
des masses
salariales
yi
Total :
2°) a) Représenter graphiquement les points de coordonnées x et y du tableau précédent,
x représentant le pourcentage des employés les plus pauvres (pourcentage ramené à 1)
et y le pourcentage de la masse salariale qui leur est attribué (pourcentage ramené à 1).
Tracer enfin la courbe polygonale passant par ces points.
Cette courbe représentative s’appelle une courbe de Lorenz.
Elle illustre ici la répartition de la masse salariale dans l'entreprise.
b) En utilisant cette courbe indiquer quel pourcentage de la masse salariale revient :
- aux 30% des salariés les plus pauvres : ………………………………………………..
- aux 50% des salariés les plus pauvres : ………………………………………………..
- aux 20% des employés les plus riches : ………………………………………………..
Un peu de théorie : la courbe de Lorenz
Le modèle « idéal » :
Plus la courbe de Lorenz est éloignée de la première bissectrice, plus la concentration de la
grandeur étudiée est forte et la répartition inégalitaire.
Cette concentration est mesurée par un indice appelé
le coefficient de Gini défini par le nombre :
γ =
aire de concentration
aire du triangle ABC
où l’aire de concentration est celle du domaine
délimité par la courbe de Lorenz et la droite
d’équation y = x .
Le coefficient de Gini, développée par le
statisticien italien Corrado Gini, est
principalement utilisé pour mesurer l'inégalité
de revenu, mais peut aussi servir à mesurer l'inégalité de richesse ou de patrimoine.
Le coefficient de Gini est compris entre 0 et 1 :
-
si γ = 0, la répartition est parfaitement égalitaire,
si γ = 1, la répartition est parfaitement inégalitaire.
Les pays les plus égalitaires ont un coefficient de l'ordre de 0,2 (Danemark, Suède, Japon, République
tchèque...). Les pays les plus inégalitaires au monde ont un coefficient de 0,6 (Brésil, Guatemala,
Honduras, ...).
En France, le coefficient de Gini est de 0,289. Celui de la Chine est en train d'augmenter et avoisine
désormais 0,5.
Travail sur feuille - Exemple 2
La courbe ci-dessous rend compte de la concentration du revenu des ménages en France (Insee, 1996)
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1°) a) Quel pourcentage du revenu des ménages se partagent les 40% des ménages les plus pauvres ?
…………………………………………………
b) Sur cette courbe, interpréter le point de coordonnées ( 75 ; 50 ) :
………………………………………………………………………………..………………
2°) On admet que la courbe (C) représentative de la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; 1 ] par
f : x ֏ 1,5 x 4 − 2 x 3 + 1, 4 x 2 + 0,1x est une bonne approche de la courbe de Lorenz du revenu.
1
a) Calculer l’intégrale
∫
f ( x ) dx
0
( réponse après calculs … )
b) En déduire le coefficient de Gini du revenu obtenu à l’aide de la courbe (C).
3°) On donne les répartitions des salaires de deux entreprises.
1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Entreprise 1
1
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Entreprise 2
a) Dans quelle entreprise la répartition des salaires est-elle la moins inégalitaire ?
b) Calculer le coefficient de Gini dans chacun des deux cas sachant que :
- Pour l’entreprise 1 la courbe de Lorentz a pour équation y = x3 .
- Pour l’entreprise 2 la courbe de Lorentz a pour équation y = e x + ( 2 − e ) x −1 .
1