Modélisation et construction d`une structure gonflable avec

Modélisation et construction
d’une structure gonflable
avec Cabri
Robert March
Ecole d’Architecture
Paris-Val-de-Seine
Un gonflable dans une Ecole d’Architecture
Cette structure gonflable a été réalisée par un groupe d’étudiants et d’enseignants de
l’Ecole d’Architecture Paris-Villemin. Plusieurs jours ont été nécessaires pour sa
confection, qui faisait suite à un travail de conception et de modélisation à l’aide de
Cabri. Cet atelier qui s’est déroulé sous la direction de J.-M. Delarue, enseignant et
architecte, responsable du cours de morphologie constructive, a bénéficié de l’aide
précieuse de H. W. Müller, architecte spécialiste des structures gonflables.
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La géométrie des gonflables
Comment concevoir une structure gonflable ? Quelques objets
courants - bouées, ballons… - permettent de préciser cette
question. Il s’agit de réaliser une enveloppe qui, une fois gonflée,
épouse parfaitement une forme prédéfinie. Parfaitement, c’est-àdire sans faire de pli et sans jouer sur une éventuelle élasticité de
l’enveloppe.
La sphère est une réponse tout indiquée. Mais, contrairement au cône
ou au cylindre, la sphère n’est pas développable. Autrement dit,
elle n’est pas applicable sur un plan : on ne peut pas envelopper
une boule dans une feuille de papier sans faire de plis. Pour réaliser
une enveloppe sphérique dans un matériau plan inextensible, on
procède donc à une approximation : la sphère est découpée en
fuseaux et chaque fuseau sphérique est remplacé par un fuseau
cylindrique, donc développable.
Plus généralement, on peut prendre comme modèle géométrique une
surface définie comme enveloppe d’une famille de sphères : c’est
le cas du cône, du cylindre, du tore - la bouée - et, plus
généralement, des surfaces de révolution.
Les cyclides de Dupin
Les cyclides, dont le première étude connue est due à Dupin, offrent
un exemple de surfaces gonflables. Elles peuvent être définies
comme surfaces enveloppes d’une famille de sphères tangentes à
trois sphères données. Parmi d’autres définitions équivalentes,
on peut retenir celle qui les considère comme inverses d’un tore.
On a donc choisi de prendre comme modèle de structure gonflable
une demie cyclide arrimée au sol (le plan de symétrie contenant
les centres des sphères). La modélisation se fait en se donnant,
dans un plan P, deux cercles C1 et C2 de centres O1 et O2, avec
C1 intérieur à C2 , et en construisant une sphèreS dont le centre
est dans P et qui est tangente à C1 et C2.
En projection sur P, on obtient une figure plane classique, parfois
utilisée pour définir les coniques - ici une ellipse - comme
ensemble des centres des cercles tangents à deux cercles donnés.
On construit ainsi sans grande difficulté le centre O d’un tel cercle
et ses points de contact M1 et M2 avec C1 et C2. Le segment
M1M2 est la projection sur P du cercle de contact entre la sphère
S de centre O et son enveloppe, la cyclide.
M2
O
M1
O1
O2
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Une cyclide modélisée avec Cabri
ligne de niveau
ligne de terre
O
o'
o
On construit d’abord la vue de dessus en y représentant une sphère S de centre O (un cercle C de
centre o) qui engendre la cyclide. En vue de face, O se projette en o’ sur la ligne de terre, et S a
pour contour apparent le cercle C’ de centre o’, de même rayon que C. On a également représenté
le cercle de contact de S avec son enveloppe (un segment en vue de dessus, une ellipse en vue de
face). La troisième vue est aussi une projection orthogonale, de sorte que S a encore un cercle
pour contour apparent. Sur les trois vues apparaît une ligne de niveau obtenue en coupant la
cyclide par un plan horizontal.
De la modélisation à la réalisation
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La cyclide n’est pas plus développable que la sphère ou le tore (une cyclide à sa
façon). Il faut donc en concevoir une forme approchée qui soit développable par
morceaux.
Parmi les sphères qui engendrent la cyclide, on en retient un petit nombre,
régulièrement distribuées, et on considère les cônes tangents à deux de ces sphères
voisines. Le cône K12 tangent aux sphères S1 et S2 coupe le cône K23 selon une
courbe plane, une ellipse. Entre les sphères S2 et S3, on remplace donc la cyclide
par le segment du cône K23 compris entre ses intersections avec K12 et K34.
Il s’agit d’un segment de cône de révolution dont on sait construire le développement
plan. On définit ainsi une « macro » de Cabri qui permet d ’obtenir un patron de la
surface développable par morceaux et donc de modéliser la cyclide avec une
bonne approximation, même si des questions pratiques évidentes conduisent à
limiter le nombre de ces morceaux.
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Patron approché de la cyclide
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4
1
Une maquette de contrôle
Le patron
créé et
agrandi
sous Cabri,
a été
imprimé
puis
découpé
dans un
plexiglas
souple
pour
obtenir la
maquette
photographiée ici.
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Grandeur nature
Il faut maintenant passer à la fabrication, en reproduisant les patrons
à grande échelle, pour les découper dans des rouleaux de film
plastiques, utilisés dans le bâtiment, de 5 mètres de large. On a
donc fabriqué une sorte de règle parallèle qui permet de repérer
un point sur le sol par des coordonnées cartésiennes. Ces
coordonnées nous sont données par Cabri, à l’échelle voulue ; il
suffit d’attacher un repère local à chaque patron de segment de
cône et de faire afficher par Cabri les coordonnées d’un point
qui décrit les courbes limitant le patron. On procède, de façon
manuelle, à un usinage à commande numérique.
L’assemblage des morceaux adjacents se fait avec un scotch double
face de 5 cm de large. Chaque segment aux deux bords d’un
morceau est prolongé de façon à former une jupe, roulée sur
elle-même et scotchée pour obtenir une sorte de gouttière : on y
glissera des boudins cylindriques remplis de sable pour lester
l’ensemble et assurer un ancrage souple du gonflable au sol. Une
soufflerie offrant à la fois la surpression et le débit nécessaires
permet de parachever cette réalisation et de créer un espace
couvert très agréable.
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M
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Du modèle à la réalité
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De la légèreté en architecture...
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