L`A.O. en régime non linéaire

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L'A.O. en régime non linéaire
I. Comparateur de tension
1. Comparateur simple en boucle ouverte
@ ∞
+
ε
ve
-
vs
Vref
si ve > Vref
ε > 0 alors vs = + Vsat
si ve < Vref ε < 0 alors vs = - Vsat
si la tension de référence Vréf est sur l’entrée non inverseuse, les rôles sont inversés
La fonction de transfert possède la caractéristique suivante ( cas du dessin ) :
vs
+ Vsat
Vref
ve
- Vsat
La vitesse de balayage finie limite les performances du comparateur simple à fréquences
élevées.
Les comparateurs simples permettent la transformations d’un signal analogique en un signal
numérique à deux niveaux.
Rabeux Michel
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2. Comparateur à hystérésis ( trigger de Schmitt )
R2
ε
@∞
+
R2
R1
@ ∞
+
ε
ve
vs
R1
ve
vs
Vref
Vref
Comparateur inverseur à hystérésis
Comparateur non inverseur à hystérésis
( hystérésis veut dire être en retard )
• Comparateur inverseur à hystérésis
Vref vs
+
R 1 R 2 R 2 .Vref + R 1.vs
v+ =
=
1
1
R1 + R 2
+
R1 R 2
* si vs = + Vsat alors vd.e. > 0
ve <
ε = v+ − v− =
ε = v+ − v− =
R 2 .Vref + R1.vs
− ve
R1 + R 2
R 2 .Vref + R1.Vsat
− ve > 0
R1 + R 2
R2
R1
Vref +
Vsat = Ve2
R1 + R 2
R1 + R 2
si vS = + Vsat
alors v e < Ve2
Le basculement de + Vsat à – Vsat s’effectue lorsque ve atteint Ve2 dans le sens croissant.
* si vs = - Vsat alors vd.e. < 0
ve >
ε = v+ − v− =
R 2 .Vref − R1.Vsat
− ve < 0
R1 + R 2
R2
R1
Vref −
Vsat = Ve1
R1 + R 2
R1 + R 2
si vS = −Vsat
alors v e > Ve1
Le basculement de - Vsat à + Vsat s’effectue lorsque ve atteint Ve1 dans le sens décroissant.
Ve1 < Ve2
La caractéristique de transfert d’un comparateur inverseur à hystérésis est la suivante :
vs
Vsat
B
Ve1
- Vsat
Rabeux Michel
Ve2
ve
B’
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Le cycle d’hystérésis est centré sur Ve0 =
R2
R1
Vref et de largeur ∆Ve = 2
Vsat
R1 + R 2
R1 + R 2
 R 
R
vs = 1 + 2  . ( ε + ve ) − 2 Vref
R1
 R1 
vs
3
2
vs = f( ε )
1
ε
ve croissant
¤ cas 1 il y a un seul point de fonctionnement ( stable ) : vs = + Vsat
¤ cas 2 il y a trois points de fonctionnement : vs = + Vsat , - Vsat < vs < + Vsat ( instable )
vs = - Vsat
¤ cas 3 il y a un seul point de fonctionnement ( stable ) vs = - Vsat
Les valeurs de Ve1 et deVe2 peuvent se retrouver à l’aide de ce graphique ( cas pointillés ).
Trigger de Schmitt.fig
• Comparateur non inverseur à hystérésis
Le principe de calcul est identique, la caractéristique est la suivante :
vs
B
+ Vsat
Ve1
Ve2
ve
- Vsat
B'
Ve1 =
R1 + R 2
R
Vref − 1 Vsat
R2
R2
Le cycle d’hystérésis est centré sur Ve0 =
Ve2 =
R1 + R 2
R
Vref + 1 Vsat
R2
R2
R1 + R 2
R
Vref et de largeur ∆Ve = 2 1 Vsat
R2
R2
• Remarque
Les tensions de seuil Ve1 et Ve2 dépendent de Vsat. Or d'un A.O. à l'autre Vsat varie, de plus
les tensions de saturation positive et négatives ne sont toujours symétriques et varient avec la
tension d'alimentation. pour fixer Ve1 et Ve2, on place en sortie de l'A.O. un ensemble de deux
diodes Zener.
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R2
R1
+
_
R3
ve
DZ1
vS
vS'
Vref
DZ2
UZ1 ou 2 + US1 ou 2 est inférieur à Vsat
si vS = + Vsat alors vS' = UZ1 + US2
Ve1 =
si vS = - Vsat alors vS' = -US1 - UZ2
R1 + R 2
R
R + R2
R
Vref − 1 ( U Z2 + US1 )
Ve2 = 1
Vref + 1 ( U Z1 + US2 )
R2
R2
R2
R2
vS – vS' se trouve aux bornes de R3
Ce dispositif permet aussi de choisir les deux tensions de sortie vS'
II. Multivibrateurs
1. Généralités
Un multivibrateur ou bascule est un circuit qui possède deux états de fonctionnement, la
stabilité de ces deux états permet de distinguer trois types de multivibrateurs.
• multivibrateurs astables : les deux états sont instables, la commutation d’un état à l’autre
s’effectue spontanément et indéfiniment. Ce sont des oscillateurs de relaxation.
• multivibrateurs monostables : un des deux états est stable, l’autre est instable. Le basculement de l’état stable vers l’état instable doit être provoqué, le retour à état stable s’effectue
spontanément.
• multivibrateurs bistables : les deux états sont stables, la commutation d’un état à l’autre ne
être que provoqué.
2. Multivibrateur astable
Le multivibrateur étudié est constitué d’un comparateur à hystérésis et d’un circuit R.C ( intégrateur ) qui permet de faire varier la tension ve.
Le comparateur peut être inverseur ( cas du schéma avec Vref = 0 ) ou non inverseur.
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_
@ ∞
R
+
R2
vs
C
ve
vs
R1
Hypothèse de départ : initialement, le condensateur est déchargé et vS = + Vsat
R1
Dans ce cas à t = 0 ve = ve- = 0 et ve+ = +
Vsat = Ve2 ( ve+ > ve- ) le condensateur se
R1 + R 2
charge, la tension ve- augmente jusqu'à atteindre Ve2, la sortie va alors basculer à – Vsat,
R1
ve+ = −
Vsat =Ve1 ( = - Ve2 ). Le condensateur va se décharger puis se recharger de
R1 + R 2
signe contraire jusqu'à ce que la tension ve- atteigne Ve1. La sortie va alors basculer à + Vsat,
le condensateur va à nouveau se charger comme dans la première étape etc.
On observe donc un phénomène périodique, la période va être fixée par le temps de charge ou
de décharge du condensateur ( passage de Ve1 à Ve2 ou passage de Ve2 à Ve1 ). Cette période
va donc dépendre de R et de C. La tension vs bascule indéfiniment de + Vsat à – Vsat , le
multivibrateur est bien astable.
Lors de la phase de "charge" du condensateur, le circuit de charge est le suivant :
R
C
ve
+ Vsat
Pendant la phase de "décharge", il suffit de changer + Vsat en – Vsat.
• Calcul de la période : à t = 0 ve = Ve1 ( < 0 )
La première étape est la charge du condensateur. L'équation différentielle en ve s'écrit :
dv e v e
V
+ = + sat avec τ = R.C .
dt
τ
τ
−
t
τ
La solution de cette équation est : v e = (Ve1 − Vsat ).e + Vsat . Le basculement s'effectue à
 V − Vsat 
la date t1 tel que : ve = Ve2 d'où : t1 = τ.ln  e1
 . A partir de cette date, le conden Ve2 − Vsat 
sateur se "charge" sous la tension –Vsat . Dans l'équation différentielle il suffit de changer
+ Vsat en – Vsat . Le basculement s'effectuera à l'instant t2 tel que ve = Ve1.
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Pendant la deuxième phase la solution de l'équation différentielle est ( compte tenu de
faite à t = t1 ve = Ve2 ) : v e = (Ve2 + Vsat )e
−
t − t1
τ
− Vsat .
 V + Vsat 
La période correspond à t2. T = t 2 = t1 + τ.ln  e2

 Ve1 + Vsat 
 V − Vsat Ve2 + Vsat 
R1
 1+ k 
T = τ.ln  e1
⋅
 = 2.τ.ln 
 avec k =
R1 + R 2
 1− k 
 Ve2 − Vsat Ve1 + Vsat 
Le rapport cyclique δ ( rapport de la durée à l'état haut sur la période ) est égal à 0,5.
pour obtenir un rapport cyclique différent de 0,5 il faut que le temps de charge soit
différent du temps de "décharge". il faut donc deux résistances R ( l'une pour la charge et
l'autre pour la "décharge" ). Ceci est réalisé par l'utilisation de diodes. Il faut remplacer la
résistance R par le groupement suivant :
R3
δ=
R3
R3 + R4
R4
Si l'on veut un apport cyclique variable, on réalise le montage suivant :
r
( 1 – x ).R
δ=
x.R
(1 − x ) .R + r
R + 2.r
r
• Il y a une limitation due à la vitesse de balayage ( slew rate ), les durées de basculement de
l'état haut à l'état bas ( et vice versa ) ne sont pas nulles. L'effet est d'autant plus marqué
que la fréquence est élevée.
Multivibrateur.fig
• Vérification de la non stabilité entre régime linéaire
R1
R1
1
e+ =
vS e + = k.vS avec k =
k<1
e− =
vS
R1 + R 2
R1 + R 2
1 + j.R.C.ω
AO idéal si le régime est linéaire ε = 0
1
dv
k.vS =
vS
k. (1 + j.R.C.ω) .vS = vS
(1 − k ) .vS − k.R.C s = 0
1 + j.R.C.ω
dt
vS(t) est une fonction exponentielle croissante du temps, l’AO va arriver à saturation
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III. Générateurs de fonctions
Un générateur de fonctions permet de réaliser des signaux réglables en fréquence. Ces
signaux peuvent être carrés ( de rapport cyclique δ = 0,5 ou variable ), triangulaire symétrique
ou non et sinusoïdaux ( par filtrage ou par conformateur à diodes ).
Il est généralement constitué d'un comparateur à hystérésis et d'un intégrateur. Une
composante continue peut être ajoutée à l'aide d'un sommateur.
1. Générateur de fonction réalisé à l'aide d'un comparateur à hystérésis non inverseur
C
R2
+
-
R1
R
_
+
e(t)
s(t)
e(t)
La première partie du montage correspond à un comparateur à hystérésis non inverseur avec
une tension de référence Vref nulle. La deuxième partie est un montage intégrateur inverseur.
La caractéristique de transfert du comparateur est la suivante :
s(t)
B + Vsat
A
Ve1
Ve2
A'
- Vsat
e(t)
B'
Si s(t) = + Vsat alors e(t) est une fonction affine décroissante et si s(t) = - Vsat e(t) est une
fonction affine croissante ( rôle de l'intégrateur inverseur ).
de(t)
de(t)
Si s(t) = + Vsat alors
< 0 ( A vers B ) et si s(t) = - Vsat alors
> 0 ( A' vers B' )
dt
dt
( rôle de comparateur non inverseur ).
La fonction de transfert va décrire le rectangle ABA'B' ( sens trigonométrique ).
s(t) sera un signal carré d'amplitude Vsat et e(t) sera un signal triangulaire.
La demi-période correspond au temps de passage de Ve2 à Ve1 ( ou vice versa ).
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de(t)
1
V
=−
s(t)
e(t) = Ve2 − sat t ( passage de A à B )
dt
R.C
R.C
T Ve2 − Ve1
R
tB = =
R.C avec Ve2 = − Ve1 = 1 Vsat
2
Vsat
R2
R
T = 4 1 R.C le rapport cyclique δ est de 0,5
R2
s(t) e(t)
+ Vsat
Ve2
t
Ve1
- Vsat
T
Pour faire varier le rapport cyclique sans changer la fréquence, il suffit de remplacer la
résistance R par le dispositif avec diodes comme pour le multivibrateur. Dans ce cas la
période est la somme de deux termes :
R
R
T = 2 1 ( (r + R.(1 − x)) + (r + R.x) ) .C = 2 1 .(2.r + R).C . Le rapport cyclique est :
R2
R2
(1 − x).R + r
δ=
R + 2.r
Pour faire varier la fréquence, il suffit de choisir un condensateur variable, pour faire varier
l'amplitude de la tension triangulaire ( Ve2 ), il faut remplacer la résistance R1 par un
potentiomètre
( R1 fera aussi varier la fréquence )
2. Conformateur à diodes
R0
+
_
e(t)
R2
R1
R1
R2
D3'
D2'
D1'
D1
D2
D3
E3
E2
E1
E1
E2
E3
s(t)
E1 < E2 < E3
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La tension e(t) est une tension triangulaire délivrée par le générateur précédent. Les diodes
sont supposées idéales ( sinon il faut ajouter US aux tensions Ei ).
¤ si 0 < e(t) < E1, toutes les diodes sont bloquées s(t) = e(t)
 e E1 
+ 
¤ si E1 < e(t) < E2, seule la diode D1 conduit : s(t) = (R 0 // R 1 ). 
 R 0 R1 
 e E1 E 2 
¤ si E2 < e(t) < E3, les diodes D1 et D2 conduisent : s(t) = (R 0 // R 1 // R 2 ). 
+
+

 R 0 R1 R 2 
¤ si E3 < e(t), les diodes D1, D2 et D3 conduisent : s(t) = E3
Pour les tensions négatives le raisonnement est identique en considérant les diodes D1', D2'
et D3'.
Si l'on augmente le nombre de diodes et de tensions Ei on s'approche d'une tension
sinusoïdale en choisissant convenablement Ei et Ri , avec huit diodes l'écart maximal avec la
fonction sinusoïdale est inférieur à 0,6 %.
s(t)
- E3 - E2
s(t)
- E1
E1
E2
E3
e(t)
t
e(t)
t
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