Généralisation intégrale

Généralisation de la notion d’intégrale
I)
Intégration d’une fonction discontinue
On considère une fonction continue sur un intervalle , sauf en un nombre fini de points en
lesquels elle admet des limites à droite et à gauche finies (mais distinctes, sinon on pourrait utiliser
des prolongements par continuité). On peut calculer l’intégrale de à de cette fonction comme
somme des intégrales de la fonction sur chacun des intervalles où cette fonction est continue.
1.1) Fonction définie par morceaux
Par exemple, considérons la fonction définie par
1 si
2 1 si
1
si
1
1 3
3
Représentons graphiquement cette fonction.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
On aura
-1
0
1
2
3
4
5
1
2 1
ln
3
8
10 5 ln5
% 3 % ln3
3
44
5
ln ' (
3
3
1
1
6
1.2) Vers la notion de convergence
La question abordée dans l'exemple précédent est tout à fait différente si la limite de la fonction est
infinie pour l'une des bornes.
Considérons par exemple la fonction définie sur )+* par Sa courbe représentative est alors :
√-
.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Comme la fonction n'est pas continue en 0, on n'a aucune garantie sur l'existence de l'intégrale :
/
On peut par contre calculer pour tout 0,
On a
0
On a
0
0
1
2√
1√20 1 % √
lim lim 1 % √ 1
04/ 0
04/
On dira que l'intégrale existe ou converge
et l'on écrira D 1.
/
Considérons maintenant la fonction définie sur )+* par E
1/.
Comme la précédente, elle n'est pas définie (et donc pas continue en 0).
Que peut-on penser de son intégrale entre 0 et 1?
On reprend la même méthode. Soit 0.
On a
2
/
E
0
On a donc
On dira que l'intégrale diverge.
0
1
ln
0 %ln lim E
lim %ln ∞
04/ 0
On dira que l'intégrale E
n'existe pas.
04/
/
1.3) Définition de la convergence d'une intégrale
Définition
On considère une fonction continue sur un intervalle , (ou , ) telle que lim ∞.
Si la fonction φ définie par
-4I
L
JK
0
admet une limite finie quand K tend vers , on dit que
I
I
L
existe ou est convergente et l'on pose D lim .
0
0
L4I 0
Dans le cas contraire on dit que l'intégrale est divergente.
On considère la fonction définie sur un intervalle , par :
1
% M
Pour N O 1, on a
1.4) L'exemple fondamental
L
% M*
1
M
JK
% %
M
1%N
0
0 % 0
0
L
L
% K
M* % M*
JK
%
1%N
1%N
On s'intéresse à la quantité % K
M* % K
M .
Si P % Q R, on a :
lim % K
M 0
Ce qui donne
L4I
On a donc
Si P % Q R, alors N % 1 0. On a :
On a alors
Si N 1, on a
% M*
lim JK
L4I
1%N
1
∞
L4I % K
M
lim % K
M lim
L4I
lim JK
∞
L4I
3
L
JK
L
0
On a donc
1
% ln| % |
0L % ln| % K|
ln | % |
%
lim JK
∞
L4I
La fonction φ n'admet une limite finie que si N 1.
D'où le théorème :
Théorème
I
1
L'intégrale est convergente si et seulement si N 1.
M
0 % On suppose ici que la fonction est positive de limite égale à +∞ quand tend vers et que .
On définie toujours la fonction φ par
1.5) Un critère de convergence dans le cas des fonctions positives
L
JK
0
Cette fonction est la primitive de qui s'annule en . Elle est croissante puisque sa dérivée est
positive.
Si elle n'est pas majorée, elle tend vers +∞.
Comme dans le cas des suites, on démontre que si elle est majorée elle admet une limite finie quand tend vers .
On en déduit le théorème suivant
Théorème
I
Une condition nécessaire et suffisante pour que soit convergente est que
0
L
JK
soit majorée sur l'intervalle , .
0
Une conséquence importante est la suivante :
Soient et E deux fonctions telles que E sur l'intervalle , .
On a donc
T U , , E
Comme , on a
I
L
L
E
0
0
L
Si l'intégrale E
est convergente, alors la fonction E
est majorée.
0
L
0
I
Donc la fonction est majorée et donc l'intégrale converge.
I
0
0
L
Si l'intégrale n'est pas convergente, alors la fonction n'est pas majorée.
0
0
L
I
Donc la fonction E
n'est pas majorée et donc l'intégrale E
ne converge pas.
0
4
0
Considérons que fonctions positives et E telles que Z E
. Alors
1.6) Le critère des équivalents
I
lim
1
-4I E
Ce qui signifie qu'il existe un nombre réel / de l'intervalle , tel que
1
3
T U / , , E
E
2
2
Sur l'intervalle / , , on peut appliquer les critères du 1.5). Comme sur , / , les fonctions sont
continues et que les intégrales existent, on peut en conclure le théorème suivant :
Théorème :
Soit et E deux fonctions positives sur l'intervalle , telles que Z E
.
I
I
Alors les intégrales et E
sont de même nature.
Exemple
L'intégrale On a
0
√2 % 0
dx est‐elle convergente ?
√2 % 1
Z
2
2 % est convergente N 1
.
2 % Donc l'intégrale est convergente.
√2 % Nous savons que I
Soit une fonction de signe quelconque continue sur un intervalle , avec .
On a le théorème suivant que l'on admettra sans démonstration :
1.7) Intégrale absolument convergente
Théorème et définition :
I
I
Si |
| est une intégrale convergente, alors est aussi une intégrale
0
convergente.
0
I
On dit alors que est absolument convergente.
0
II) Intégration sur , ∞.
On reprend les mêmes notions que dans la première partie, mais avec cette fois-ci ∞.
On a donc fonction continue sur , ∞.
Cette fois-ci la condition lim ∞ disparaît.
2.1) Convergence
-4*_
Nous verrons même qu'elle conduit à une divergence de l'intégrale.
5
Dans la première partie, la condition lim ∞ était nécessaire pour que le problème se pose. En
-4I
effet si cette limite avait été finie, par prolongement par continuité, on pouvait considérer la fonction comme continue sur , et l'existence de l'intégrale était alors assurée.
Si la borne est infinie, ce prolongement par continuité n'est plus possible. Le problème de l'existence
de l'intégrale se pose donc a priori quelle que soit la limite de la fonction en +∞.
Nous verrons toutefois que suivant la limite, l'intégrale sera automatiquement divergente.
On pose toujours
L
JK
0
On a alors la définition suivante :
Définition
Si JK
admet une limite finie quand tend vers ∞, on dit que l'intégrale existe ou est convergente et l'on pose :
*_
0
Remarque importante
On a pour tout D
I
L
lim L
0
0
L4*_ 0
I
L
0
0
I
La fonction étant continue, est une quantité ainie.
L
*_
L
Donc les intégrales et tendent simultanément vers l'inaini ou vers une limite
ainie.
0
I
L
On en déduit que la convergence ou la divergence de ne dépend pas de .
0
On considère la fonction définie sur , ∞ (avec 0
par :
1
M
Si Q P, on a :
L
1
ln
0L lnK
% ln 0 On en déduit que
L
1
lim ∞
L4*_ 0 Il y a donc divergence.
2.2) L'exemple fondamental
Si Q O P, alors :
L
M*
1
1
M
KM % M JK
M %N
1
1
%
N
0
0
0
L
L
6
Si P % Q R, c'est-à-dire si N 1 D
lim KM ∞
Donc
L4*_
L'intégrale est divergente.
L4*_
lim JK
∞
Si P % Q R, c'est-à-dire si N 1 D
On a alors
lim KM lim
L4*_
L'intégrale *_
0
0
M
lim JK
%
L4*_
1%N
L'intégrale converge.
On en déduit le théorème suivant :
Théorème :
1
L4*_ K M
1
converge si et seulement si N 1
M
On considère une fonction continue et positive sur , ∞.
On définit toujours la fonction φ par
2.3) Critère de convergence des fonctions positives
L
JK
0
Cette fonction est croissante puisque se dérivée est positive.
Si la fonction φ n'est pas majorée alors, on a lim JK
∞. L'intégrale est donc divergente.
L4*_
On démontre comme pour les suites que si la fonction φ est majorée, comme pour les suites que
puisque φ est croissante et majorée, elle admet une limite finie quand K tend vers +∞.
On a donc le théorème suivant :
Soit une fonction continue et positive sur , ∞.
Théorème
Une condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale L
la fonction JK
soit majorée.
0
*_
0
existe est que
Conséquence fondamentale
Soit et E deux fonctions continues et positives sur , ∞ telles que E
Si *_
0
*_
Si 0
E
converge alors diverge alors *_
0
*_
0
converge.
E
diverge.
Cette propriété se démontre comme la propriété équivalente du I.
7
On peut démontrer facilement que b/
c
*_ -
Exemple
L
En effet
converge.
c - %c - /L %c L 1
/
On a
lim %c L 1 1
L4*_
L
Donc
c - 1
/
On en tire en particulier sans qu'il soit besoin d'en calculer la valeur que b c - converge.
L
Or T d 1, , donc – d % et donc par croissance de la fonction exponentielle :
Donc, l'intégrale *_
Et donc, l'intégrale f
c - converge.
*_
/
c - c -
f
c - converge.
f
Nous verrons bientôt que l'on a
Deuxième exemple
Nous voudrions étudier maintenant
*_
c - /
f
√h
2
*_
/
c - Ici on ne peut plus directement utiliser la comparaison comme précédemment, car
T d 1, c - d c Nous n'avons pas de conclusion possible.
Pour montrer que l'intégrale converge, nous allons essayer de majorer la fonction i c - par une
fonction dont on sait qu'elle correspond à une intégrale convergente, c'est-à-dire une fonction du type
-j
avec N 1. Essayons de montrer par exemple que
1
Il y a peu de chance que cette inégalité soit toujours vérifiée. Mais ce qui nous importe, c'est qu'elle le
soit à partir d'un certain réel / .
Peut-on affirmer qu'il existe un réel / d 1, pour lequel si d / , on a bien :
1
c - Cela revient à prouver qu'il existe un réel / pour lequel si d / , on a
k c - 1
Sous cette forme, on peut garantir l'existence de / .
En effet, on sait par croissance comparée que
lim k c - 0
c - -4*_
8
Ce qui garantit qu'à partir d'une certaine valeur / , la quantité k c - sera toujours inférieure ou égale
à 1.
On en déduit donc que pour d / , on a
1
c - *_
*_
1
converge, donc l'intégrale c - converge.
Or l'intégrale -l
-l
Et donc l'intégrale *_
/
c - converge.
Considérons une fonction positive et continue sur un intervalle , ∞. Posons
lim ℓ
2.4) Un critère simple de divergence.
-4*_
Si ℓ ≠ 0, alors l'intégrale diverge.
La fonction étant positive, nous savons que ℓ est un nombre positif.
Si lim ∞, alors quelque soit le réel strictement positif n, il existe un réel / tel que si d / ,
-4*_
alors d n.
Or
Et
L
n n0L nK % n
0
lim nK % n ∞
L4*_
Si ℓ est un nombre réel strictement positif (et donc pas +∞), on sait qu'il existe un réel / tel que si
d / , on a
ℓ
3ℓ
' (
2
2
On aura de la même façon
L
ℓ
ℓ L ℓ
ℓ
o p K % 2 0 2
2
0 2
Et
ℓ
ℓ
lim K % ∞
L4*_ 2
2
Dans le cas où ℓ = 0, on peut seulement majorer , puisque la fonction étant positive elle est
nécessairement minorée par 0.
Mais on ne plus rien en conclure.
On a donc le théorème suivant :
Théorème
Soit une fonction continue positive sur un intervalle , ∞ telle que lim ℓ (ℓ
pouvant être un réel positif ou nul ou +∞).
Si ℓ O 0, alors l'intégrale *_
0
2.5) Utilisation des équivalents
diverge.
-4*_
Comme dans le I, nous avons un théorème sur les équivalents qui se démontrent de la même façon.
9
Théorème
Soient et E deux fonctions continues positives sur un intervalle , ∞ telles que
Z E
.
*_
Alors les intégrales Etude de l'intégrale On a :
et 0
Exemple
La fonction i
*_
*_
√ 1
q
.
est déainie et continue sur 1, ∞.
Donc
*_
*_
Z
√ 1 *_ q
Or comme 1, nous savons que
*_
Un deuxième exemple plus compliqué
Etude de la convergence de l'intégrale
Posons
1 Z r 1 Z q
Et donc
Donc
E
ont la même nature.
0
√ 1
q
*_
*_
1
*_
diverge
√ 1
q
*_
1
Z
diverge
1
√ % 1
1
1
1
√ % 1
La difficulté est que cette fonction est bien continue et positive sur l'intervalle ouvert 1, ∞.
On doit donc procéder à deux études séparées.
On va examiner la convergence des intégrales :
*_
1
1
et 1
√ % 1
1
√ % 1
Sur l'intervalle 1,2 et sur l'intervalle 2, ∞, la fonction est continue.
On a
1
1
1
√ % 1 1
√ 1√ % 1
10
Donc
Z
2√2√ % 1
C'est-à-dire
1
1
Z
1
2√2 % 1
D'après les critères vues dans le I, on peut conclure que
1
converge
1
√ % 1
1
*_ √ *_ On a également
Donc
On a donc
*_
1
*_
1
√ % 1
*_
1
Z
1
1
√ % 1
1
1
√ % 1
Z
converge
convergente avec
1
1
√ % 1
*_
2.6) Cas des fonctions de signe quelconque
1
1
√ % 1
Comme dans la première partie, on a le résultat suivant.
Théorème et définition
Si l'intégrale *_
0
|
| converge, alors l'intégrale On dit alors que l'intégrale 0
*_
0
*_
converge.
est absolument convergente
2.8) Etude d'un exemple : la fonction gamma
On définit la fonction Γ de la façon suivante :
Γ
*_
/
c t u - u
1) Montrer que Γ
existe pour tout 0.
2) A l'aide d'une intégration par partie, établir une relation entre Γ 1
et Γ
.
3) On pose pour tout v 0, wx Γv
. Déterminer w et écrire la relation qui existe entre wx et
wx* . En déduire la valeur de Γv
.
4) En posant u w et en se servant d'un résultat vu en cours, montrer que
1
Γ ' ( √h
2
11