1 STG Statistiques

Statistiques
I.
Vocabulaire
Une étude statistique porte sur un ensemble ( de personnes, d’animaux, d’objets, … ) appelé
population.
Chaque élément de la population est un individu.
L’aspect étudié est nommé caractère ou variable.
Les résultats obtenus après observation donnent une série statistique.
Il existe des séries à une ou plusieurs variables.
Lorsque les variables prennent des valeurs numériques ( exemple : notes, tailles, âges, … ),
les variables sont dites quantitatives ( si la variable prend n’importe quelle valeur dans un
intervalle donné, la variable est dite continue , si elle prend des valeurs isolées, la variable
est dite discrète ).
Dans le cas contraire, les variables sont dites qualitatives (nationalité, couleurs, … ) ; les
différentes possibilités du caractère sont appelées modalités ( la commune de résidence
pour des élèves de première fréquentant un lycée).
II. Représentations graphiques
1) Diagramme circulaire
On l’utilise pour des séries à caractère qualitatif (les modalités ne sont pas des valeurs
numériques)
Dans un diagramme circulaire, l’angle au centre est proportionnel à l’effectif.
Application 1 p 93
L’exemple ci-dessous n’est pas adapté, prendre un autre exemple
Note
effectif
Angle
6
1
18°
7
2
36°
8
4
72°
9
6
108°
10
5
90°
11
1
18°
12
1
18°
2) Diagramme en barres, en bâtons
On utilise le diagramme en barres pour des séries à caractères qualitatif, et le diagramme en
bâtons pour des séries à caractère quantitatif discret (ex : nombre d’enfants dans un foyer,
différentes notes obtenues dans une classe lots d’un devoir)
Les valeurs du caractère sont classées dans l’ordre
croissant, la hauteur des bâtons est proportionnelle à
l’effectif.
Rappel : mode de la série
3) Histogramme
Il est utilisé pour des séries à caractère quantitatif continu (représentations d’intervalles)
les valeurs du caractère étudié sont regroupées en classes.
Exemple : n° 5 p 102
Dans tout histogramme, les effectifs des classes sont proportionnels aux aires des
rectangles qui les représentent.
Par conséquent, dans le cas particulier d’un histogramme à pas constant, les effectifs des
classes sont proportionnels aux hauteurs des rectangles qui les représentent.
Cela n’est plus le cas d’un histogramme à pas non constant.
Exemple :
Valeur du
caractère X
Fréquence
en %
[0 ; 4 [
15
[4 ; 5 [
25
[5 ; 6 [
30
[6 ; 8 [
20
[8 ; 10 [
10
La première classe est représentée par un rectangle dont l’aire est 3 cm² ; comme sa
largeur est de 4 cm, sa hauteur sera de 0,75 cm.
Pour l’étude de séries statistiques, on dispose aussi de :
III. Paramètres statistiques
On considère la série suivante :
Valeur xi
12
13
17
18
19
Effectif ni
4
7
2
9
3
1) La moyenne
La moyenne est le nombre x tel que : x =
n1x1+n2x2+…+npxp
1
=
N
N
p
n x .
i 1
i
i
Dans l’exemple, la moyenne est 15,68 :
12  4  13  7  ...  19  3 392
x =

 15,68
25
25
Exemple2 :
Les classes de STG1 et STG2 comptent respectivement 28 et 33 élèves. Les élèves ont fait
le même contrôle.
La moyenne de STG1 est de 9,8, celle de STG2 est de 10,4.
La moyenne des notes sur les deux classes est donc :
28  9,8  33  10,4 617,6
x

 10,1
28  33
61
La moyenne est une caractéristique de position.
2) La médiane
La médiane est la valeur qui sépare la population en deux sous-ensembles de même effectif.
C’est la valeur qui correspond à la fréquence cumulée croissante égale à 50 %.
 Dans l’exemple, la médiane est 17 ( l’effectif total est 25 ; le 13ème élément a une
valeur de 17 )
 Déterminer la médiane de la série suivante : 8 ; 6 ; 9 ; 15 ; 11 ; 7 , 5 ,9 , 9 ; 8
<
Point calculatrice :
Entrée une liste : STAT 1(Edit) liste (L1, L2, ...)
Ranger dans l’ordre croissant
Paramètres stat : STAT CALC 1 (Stat 1 var)
Q1 et Q3 sont le premier et troisième quartile
3) Quartiles et déciles
a) Les quartiles Q1, Q2 et Q3 partagent la série en quatre parties.
Le quartile Q1 est la plus petite valeur telle que au moins le quart de la série prend une
valeur inférieure ou égale à Q1.
Le quartile Q3 est la plus petite valeur telle que au moins les trois quarts de la série prend
une valeur inférieure ou égale à Q3.
Méthode de calcul des quartiles :
 on range les valeurs dans l’ordre croissant, on détermine la médiane M
 On extrait les deux séries partielles situées strictement de part et d’autre de la
médiane
 Q1 est la médiane de la série partielle inférieure et Q3 celle de la série partielle
supérieure
L’intervalle [Q1 ; Q3] est l’intervalle interquartile.
C’est une nouvelle caractéristique de dispersion qui permet l’étude de la série ; il vient
s’ajouter à la moyenne et à la médiane qui sont des caractéristiques de position
Q1 = 13 ; Q3 = 18 ;
Remarques : Le deuxième quartile correspond à la médiane
Exemple :
Valeur du caractère
effectif
50
45
30
60
61
2
3
2
2
2
Médiane ? Quartiles ?
30 ; 30 ; 45 ; 45 ; 45 ; 50 ; 50 ; 60 ; 60 ; 61 ; 61.
M = 50.
Q1 est la médiane de la série inférieure ( 30 ; 30 ; 45 ; 45 ; 45 ) donc Q1 = 45.
Q3 est la médiane de la série supérieure ( 50 ; 60 ; 60 ; 61 ; 61 ) donc Q3 = 60.
b) Décile
De la même manière, les déciles partagent la série en 10 parties.
Les déciles séparent une série en dix sous-ensembles ; la médiane est alors le cinquième
décile.
4) Diagrammes en boîtes
Définition : il résume par les quantiles la répartition des valeurs de la série
Min
Q1
Mé
Q3
Max
Un tel diagramme est appelé diagramme en boîtes ou boites à moustaches
La position des valeurs est indiquée par la médiane ; la dispersion des valeurs est
indiquée par l’écart interquartile Q3 – Q1 ou l’écart interdécile D9 – D1
 entrée des listes, les trier, donner à la calculatrice les quantiles
Faire le diagramme en boite : Graph Stat
1 enter, on enter, sélectionner le graphe, la liste à représenter, Zoom, 9 (zoom Stat)
IV. Autre paramètres de dispersion
1) La variance
Valeur
x1
x2
xp
Total
effectif
n1
n2
np
N
La variance, notée V, de la série statistique donnée par le tableau ci-dessus est définie par :
p
1
[ n1 (x1 - x )²+ n2 (x2 - x )²+… +np (xp - x )²] =
N
où x est la moyenne de cette série.
V=
 n (x  x )
i 1
i
i
N
2
V est donc la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs xi du caractère et la moyenne
x . La variance peut donc permettre de mesurer la dispersion des valeurs autour de la
moyenne.
Une autre formule de la variance est :
p
ni xi2

1
V=
[ n1 x1²+ n2x2²+… +npxp²] - x 2 = i1
x2
N
N
Variance = moyenne des carrés – carré de la moyenne
Dans l’exemple, la variance est :
Valeur xi
12
13
17
18
19
Total
Effectif ni
4
7
2
9
3
25
xi2
144
169
289
324
361
ni xi2
576
1183
578
2916
1083
V=
6336
6336
–15,68² = 7,5776
25
2) L’écart type
L’écart type, noté  , est la racine carrée de la variance σ = V
L’écart type est exprimé dans la même unité que la variable.
Dans l’exemple, l’écart-type est :
 =
V=
7,5776  2,75
Ex 3-4 p.97
V.
Tableau à double entrée
On s’intéresse à l’étude de deux caractères sur une même population.
1) Un exemple d’étude
On se propose d’étudier la répartition de 25 élèves selon la distance, exprimée en
kilomètres, de leur domicile au centre-ville et le nombre de séance de cinéma auxquelles ils
ont assisté dans une salle du centre-ville pendant le mois précédant l’enquête.
Les résultats de cette étude sont indiqués dans le tableau ci-dessous. Par convention un
tiret dans une case indique que l’effectif correspondant est nul.
Distances
[0;5[
[ 5 ; 10 [
[ 10 ; 15 [
[ 15 ; 30 [
total
0
3
2
1
1
7
Nombre de séances
1
2
3
3
2
1
3
2
1
2
1
1
10
4
2
4
1
1
2
Total
10
6
4
5
25
Exemples de lecture :
 La case verte indique que deux élèves ont leur domicile dans la classe [0 ; 5 [ et sont
allés deux fois au cinéma.
 La case rose indique que six élèves ont leur domicile dans la classe [5 ; 10 [.
 La case bleue indique que quatre élèves sont allés deux fois au cinéma pendant le mois
précédant l’enquête.
2) Etude fréquentielle
A partir du tableau précédent, on peut obtenir le tableau des fréquences ci-contre en
divisant l’effectif qui figure dans chaque case par l’effectif total.
Distances
[0;5[
[ 5 ; 10 [
[ 10 ; 15 [
[ 15 ; 30 [
total
0
12 %
8%
4%
4%
28 %
Nombre de séances
1
2
3
12 %
8%
4%
12 %
8%
4%
8%
4%
4%
40 %
16 %
8%
4
4%
4%
8%
Total
40 %
24 %
16 %
20 %
100 %
Exemples de lecture :
 La case jaune indique que 12 % des élèves ont leur domicile dans la classe [5 ; 10 [ et sont
allés une fois au cinéma au centre-ville.
3
En effet, 3 élèves sur 25 sont dans cette catégorie. Or
= 0,12, donc 12 % des élèves
25
sont dans cette catégorie.
 La case rose indique que 20 % des élèves ont leur domicile dans la classe [15 ; 30 [.
 La case bleue indique que 28 % des élèves ne sont pas allés au cinéma pendant le mois
précédant l’enquête.
Exercice : fréquence conditionnelle
Dimathème p 22
Dans un lycée, un sondage concernant le rapport des élèves avec le tabaca donné les résultats suivants :
1. Compléter l’arbre ci-contre.
2. Interpréter fG(FU)
3. Ecrire toutes les fréquences conditionnelles (avec
les notations)données par cet arbre.
4. Caculer la proportion des garçons fumeurs en
fraction, puis la proportion des élèves fumeurs.
5. Calculer la fréquence conditionnelle des garçons
chez les fumeurs.
6. Calculer fFu(F).
7. Quel autre arbre pourrait-on construire ?
Remarque :
Le total des fréquences qui figurent dans les 20 cases du tableau, marges exclues, est égal à
100 %. De même, le total des fréquences de la ligne « total » est égal à 100 %, ainsi que celui
des fréquences de la colonne « total ».
3) Notion de fréquence de A sachant B
On s’intéresse à l’ensemble des élèves habitant à moins de 5 kilomètres du centre-ville.
Notons B cet ensemble. Sur 10 élèves de cet ensemble, 3, c'est-à-dire 30 % d’entre eux,
sont allés une fois au cinéma.
Notons A l’ensemble des élèves qui sont allés une fois au cinéma.
Par définition, on dit que la fréquence de A sachant B est égale à 30 % ou encore 0,3. Cette
fréquence est notée fB(A).
Remarque :
Dans le tableau précédant, on a vu que, parmi l’ensemble de tous les élèves, 12 %
appartiennent à la fois aux ensembles A et B. Ainsi, ce pourcentage est différent de fB(A).
4)