Dossier de Candidature à un Poste de Maitre de Conférence
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Dossier de Candidature à un Poste de Maitre de Conférence
Dossier de Candidature à un Poste de Maitre de Conférence Elie BRETIN Etat civil Né le 30 avril 1982, à Niamey (Niger) Nationalité française, Adresse Professionelle : CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées Polytechnique Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex France Tél. : (+33)1 69 33 46 10 E-mail : Homepage: [email protected] www-ljk.imag.fr/membres/Elie.Bretin/ Situation administrative 2009 – 2011 Post-Doctorant, CMAP. Centre de mathématiques appliquées, Ecole Polytechnique. 2008 – 2009 Attaché Temporaire d’Enseignement et de Recherche, ENSIMAG. École nationale supérieure d’informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble 2005 – 2008 Doctorant, LJK, bourse BDI CNRS. Laboratoire Jean Kuntzmann, Grenoble 2005 – 2008 Moniteur d’enseignement supérieur en Mathématques, ENSIMAG. École nationale supérieure d’informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble Cursus universitaire 2005 –2009 2004 –2005 Thèse de doctorat de Mathématiques, LJK, Grenoble. Spécialité : Mathématiques Appliquées Titre : Mouvements par courbure moyenne et méthode de champ de phase Master Recherche de Mathématiques Appliquées, (Mention : Bien) . Université Joseph Fourier, Grenoble 2002 –2005 Ingénieur en Informatiques et Mathématiques Appliquées, (Mention : Bien) . ENSIMAG, INPG, Grenoble Expérience de Recherche 2009 – 2011 Post-Doctorant en Mathématiques Appliquées, CMAP, CMAP. Sous la direction de : Habib AMMARI (Directeur de Recherche CNRS) Sujet : Methodes inverses pour la transformée de Radon sphérique atténuée, Mots clefs : Méthodes inverses, équation des ondes atténuées, tranformée de Radon sphérique 2005 – 209 Doctorat de Mathématiques Appliquées au LJK, soutenue le 21 avril 2009. Sous la direction de : Valérie PERRIER (Professeur INPG, équipe MGMI) et Eric BONNETIER (Professeur UJF, équipe EDP) Sujet : Mouvements par courbure moyenne et méthode de champ de phase, Mots clefs : Méthode de champ de phase, mouvement par courbure moyenne anisotrope, méthode spectrale, analyse multirésolution, curvelets. Jury composé de : M. M. M. M. M. M. 2005 COTTET Georges-Henri, Président CHAMBOLLE Antonin, Rapporteur GOUT Christian, Rapporteur MISBAH Chaouqi, Examinateur BELLETTINI Giovanni, Examinateur OUDET Edouard, Examinateur Stage de Master-Recherche, Avec Valérie PERRIER et d’Eric BONNETIER. Sujet : Curvelets pour la croissance cristalline Responsabilités collectives 2007 – 2008 juin 2007 Représentant élu des doctorants au conseil du LJK. Membre du comité d’organisation du congrès SMAI 2007. Compétences Programmation Software Graphique OS Langues ADA, C, C++, C#, JAVA Matlab, Scilab, Maple Gimp, Xfig Linux, Windows Anglais : lu, écrit, parlé ACTIVITES D’ENSEIGNEMENT Voici un bref descriptif de mes différents enseignements que j’ai effectué à l’ENSIMAG, tout d’abord en tant que moniteur, puis en tant que ATER : • 2007 – 2008 , Moniteur en mathématiques appliquées à l’ INP Grenoble (ENSIMAG). • 2008 – 2009 , ATER à l’ENSIMAG, en section 26, mathématiques appliquées. Monitorat à l’ ENSIMAG TD d’Analyse mathématique, 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3) Années scolaires: Volume horaire: Effectif: Cours: 2005–2008 12 séances de TD d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD une classe de 40 étudiants Valérie PERRIER Nous abordons dans ce Td les différentes notions suivantes : Bases Hilbertiennes, Série de Fourier, transformée de Fourier de fonctions, distributions, et enfin transformée de Fourier de distributions tempérées. Un TP Scilab est aussi organisé sur deux séances en salles machines. Il porte généralement sur les propriétés de la transformée de Fourier discrète ( phénomène de Gibbs ) et son utilisation pour la résolution d’équations au dérivées partielles. TD de probabilité-statistique, 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3) Années scolaires: Volume horaire: Effectif: Cours: 2005–2008 18 séances de TD d’1 h 30 : 24 heures équivalent TD une classe de 40 étudiants Yvan PIGEONNA Ce TD est divisé en deux parties : il contient tout d’abord les bases des probabilités avec les notions de modèles et mesures du hasard, de variables aléatoires réelles et de vecteurs aléatoires. Un deuxième volet plus applicatif concerne les statistiques avec une introduction aux statistiques descriptives, aux estimations paramétriques et enfin aux tests d’hypothèses. Projet de méthodes numériques : 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3) Années scolaires: Volume horaire: Effectif: Responsable : 2005–2008 1 semaine de TP : 26 heures equivalent TD une classe de 40 étudiants Jean DELLA DORA Ce projet est présenté sous la forme d’une succession de TPs, se déroulant durant une semaine entière. Il a pour objectif la découverte du logiciel SCILAB et du langage LATEX ( un rapport de TP écrit en LATEX est demandé à la fin de chaque séance de TP). La thématique des TPs illustre essentiellement des problèmes d’interpolations polynômiales et d’intégrations numériques, des notions découvertes précédemment en cours. ATER à l’ ENSIMAG TD d’Eléments finis , 2ieme année de l’ENSIMAG (niveau M1) Années scolaires: Volume horaire: Effectif: Cours: 2008–2009 12 séances de TD d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD une classe de 15 étudiants Emmanuel MAITRE Ñous abordons dans ce TD les notions suivantes : Espace de Sobolev, Théorème de trace et inégalités de Poincaré, méthode de Galerkin, maillage conforme et enfin méthodes d’éléments Finis P1 et P2 . TP d’Eléments finis , 2ieme année de l’ENSIMAG (niveau M1) Années scolaires: Volume horaire: Effectif: Cours: 2008–2009 12 séances de TP d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD une classe de 15 étudiants Emmanuel MAITRE Les 12 séances sont réparties en trois TPs. Un premier TP, sous MATLAB, compare les méthodes d’éléments finis P1 et P2 pour la résolution de l’équation de Poisson en dimension 1. Un deuxième TP, effectué cette fois-ci sous FREEFEM++, illustre l’intérêt de ces méthodes pour la résolution d’équation aux dérivées partielles dans des domaines de résolutions complexes. Enfin, dans un troisième temps, les étudiants implémentent en C + + le coeur de la méthode d’éléments finis P1 , dans le cas de l’équation de Poisson en dimension 2. TD de méthodes numériques , 1ieme année de l’ENSIMAG Années scolaires: Volume horaire: Effectif: Cours: 2008–2009 12 séances de TD d’1 h 30 : 2 ×18 heures equivalent TD deux classes de 40 étudiants Guillaume JAMES Nous abordons dans ce TD les différentes notions suivantes : méthode des différences finies (discrétisation numérique , principe du maximum, convergence de la méthode ), résolution de systèmes linéaires ( Gauss, factorisation LU, Cholesky, méthode du gradient) et enfin résolution d’EDO par la méthode de Newton. Encadrement de TER , 2ieme année de l’ENSIMAG • • Avec Guillaume JAMES, "Effets non linéaires dans la dynamique d’ouverture de l’ADN" Avec Thomas MILCENT, "Comparaison des méthodes level-set et champ de phase pour la simulation de mouvement par courbure moyenne" ACTIVITES DE RECHERCHE Publications, Preprints, rapports Rapports [1] Curvelets et équation de champs de phase, stage de M2, Université Joseph Fourier(juin 2005). [2] Curvelets pour la croissance cristalline, Thèse de Doctorat de l’INPG, soutenue publiquement le 21 avril 2009. Evolution d’interfaces [1] [2] [3] [4] A modified phase field approximation for mean curvature flow with conservation of volume, Mathematical Methods in the Applied Sciences (accepté), Avec M. BRASSEL. Phase field method for mean curvature flow with boundary constraints, (Preprint), Avec V. PERRIER. Consistency result for a non monotone scheme for anisotropic mean curvature flow, Interfaces and Free Boundaries (soumis), Avec E. BONNETIER et A. CHAMBOLLE. Regularization of discrete contour by Willmore energy, Journal of Mathematical Imaging and Vision (accepté), Avec J.O. LACHAUD et E. OUDET. Imagerie [1] [2] [3] [4] [5] Photo-acoustic imaging for attenuating acoustic media, Chapter in a Lecture Notes in Mathematics Volume, Springer-Verlag, 2011, Avec H. AMMARI, V. JUGNON, et A. WAHAB. On the Green function in visco-elastic media obeying frequency power law, Mathematical Methods in the Applied Sciences (accepté), Avec L. G. BUSTOS et A. WAHAB. Coherent interferometry algorithms for photoacoustic imaging, (soumis), Avec H. AMMARI, J. GARNIER, V. JUGNON . Time reversal in attenuating acoustic media, (Preprint), Avec H. AMMARI et A. WAHAB. Some Anisotropic Viscoelastic Green Functions, (Preprint), Avec A. WAHAB. Communications orales Posters : Mai 2007 Simulation d’un mouvement par courbure moyenne anisotrope (prix de meilleur poster), Congrès SMAI 2007, Praz sur Arly. Juillet 2006 Nonlinear approximation with generalized curvelets, Conférence "wave 2006", EPFL. Séminaires : Décembre 2010 Algorithme itérative pour la transformée de Radon sphérique atténuée, Groupe de travail CEA Saclay. Octobre 2010 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne anisotrope, Groupe de travail MAP5, Université de Paris 5. Mars 2010 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne anisotrope, Séminaire au CMAP, Ecole Polytechnique. Janvier 2010 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne anisotrope, Séminaire au LMAH, Université du Havre. janvier 2009 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne anisotrope, Rencontre PPF Dysco 2009, (Annecy). Décembre 2008 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne anisotrope, Séminaire du LAMA, Université de Chambéry. Mai 2008 Convergence d’un nouvel algorithme pour les mouvements par courbure moyenne anisotrope, Canum 2008, Saint Jean de Monts. Mai 2008 Méthodes numériques pour les mouvements d’interfaces, Séminaire équipe MGMI (LJK), Grenoble. Octobre 2006 Approximation non linéaire, des ondelettes 1D aux curvelets, Groupe de travail MGMI, Grenoble. Utilisation d’ondelettes pour la compression, Séminaire compréhensible, Université Josephe Fourier, (Grenoble). Octobre 2006 Contexte mathématiques et résumé des résultats obtenus en thèse Mes recherches portent sur le développement de méthodes numériques "efficaces" pour l’approximation de mouvements d’interfaces géométriques. Ces évolutions apparaissent naturellement dans de nombreux systèmes physiques et biologiques, notamment en croissance cristalline. L’exemple phare est le mouvement par courbure moyenne : un flot de mouvement par courbure moyenne Ω(t) est défini comme l’évolution d’une interface dont la vitesse normale est proportionnelle à la courbure moyenne : Vn = κ. Cette dynamique peut s’obtenir comme le flot de gradient du périmètre ˆ P (Ω) = 1ds. ∂Ω Plus précisément, nous nous sommes focalisés sur les méthodes de champ de phase, une alternative aux méthodes level-set, elles aussi basées sur une description implicite de l’interface. Ces méthodes permettent d’obtenir des approximations du mouvement par courbure moyenne en suivant l’évolution des lignes de niveau des solutions u de l’équation d’Allen-Cahn [AC79], ut = 4u − 1 0 W (u). 2 Le paramètre est un paramètre d’approximation qui représente l’épaisseur de "l’interface diffuse", et W désigne un potentiel double puits positif. Les méthodes d’éléments finis ou de différences finis semiimplicites sont usuelles pour obtenir des approximations numériques des solutions de ces équations. Dans ce travail, nous avons préféré utiliser un algorithme basé sur un splitting d’opérateurs, où les termes de diffusion sont traités de manière exacte dans la base de Fourier. L’intérêt est d’obtenir ainsi une méthode de résolution inconditionnellement stable, plus précise et dont l’implémentation reste très simple en dimensions supérieures à 2. Extension pour la conservation de volume Nous nous sommes ensuite intéréssés à la simulation de mouvement par courbure moyenne avec conservation du volume : [Gag86] où la vitesse normale de l’interface vérifie ˆ 1 Vn = κ − κds. |∂Ω| ∂Ω Classiquement, les méthodes de champ de phase conduisent [BS97, RS92] à l’équation ˆ 1 0 1 1 0 ut = 4u − 2 W (u) + 2 W (u(t, x), x)dx, |Q| Q ´ 0 1 où le terme 12 |Q| Q W (u)dx peut être interprété comme un multiplicateur de Lagrange, qui préserve la masse des solutions u . Bien qu’aucune preuve rigoureuse de convergence de ce modèle ne soit encore établie, les tests numériques montrent un ordre de convergence en O() seulement, ce qui se traduit en pratique par des pertes de volumes conséquentes dans les simulations, limitant ainsi l’efficacité de ces méthodes. Plutôt que d’utiliser un multiplicateur de Lagrange, nous avons pensé à modifier le potentiel W pour intégrer la conservation de volume. Nous avons alors étudié un modèle de champ de phase d’approximation de mouvements par courbure moyenne avec terme de forçage : Vn = κ + g, q 1 ut = 4u − 2 W 0 (u) − g 2W (u) , pour lequel, nous avons établi une preuve de convergence en O(2 log()2 ). Ce résultat s’obtient en démontrant un principe de comparaison, puis en explicitant une sous-solution et une sur-solution de l’équation pour obtenir un contrôle sur l’évolution des lignes de niveau des solutions de l’équation. Cette démarche a finalement conduit à l’équation 1 ut = 4u − 2 ´ ! W 0 (u)dx q W (u) − ´ p 2W (u) . 2W (u)dx 0 Les résultats numériques que nous avons obtenu exhibent un ordre de convergence en O(2 ), ce qui réduit considérablement les pertes de volume par rapport au modèle original. Ce travail a fait l’objet d’un article co-écrit avec Morgan Brassel. Traitement de zones d’inclusion-exclusion Nous nous sommes aussi intéressés à l’évolution d’une interface Ω(t), obtenue comme le flot de gradient du périmètre pénalisé (´ 1σ si Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 , JΩ1 ,Ω2 (Ω) = ∂Ω +∞ sinon où Ω1 et Ω2 sont deux domaines de Rd donnés. L’approche champ de phase habituelle consiste à résoudre l’équation d’Allen Cahn dans Ω2 \ Ω1 avec des conditions de bord de type Dirichlet sur ∂Ω1 et ∂Ω2 : ( ut = 4u − 12 W 0 (u), dans u|∂Ω1 = 1, u|∂Ω2 = 0 Ω2 \ Ω1 Or, l’utilisation de ces conditions de bord influence l’ordre de convergence de ce modèle de champ de phase, qui apparaît maintenant en O( ln()) seulement. Cet ordre correspond en fait à la taille de l’interface diffuse. L’approximation numérique de ces solutions nécessitent aussi l’utilisation de méthode d’éléments finis, qui s’avèrent beaucoup plus couteuses en pratique que les approches par Fourier introduites précédemment. Pour toutes ces raisons, nous avons cherché à introduire une alternative à ce modèle, en imposant les contraintes de bord à l’aide d’une pénalisation sur le potentiel double puits W utilisé. Nous avons ainsi considéré des énergies de la forme ˆ 1 2 J,Ω1 ,Ω2 (u) = |∇u| dx + WΩ1 ,Ω2 (u, x) dx, Rd 2 où le potentiel WΩ1 ,Ω2 dépend des domaines Ω1 , Ω2 . Cette démarche conduit ainsi à l’équation d’AllenCahn 1 ut = 4u − 2 ∂s WΩ1 ,Ω2 (u, x), dont les solutions peuvent maintenant être approchées via des algorithmes numérique basés sur un splitting d’opérateurs plus Fourier. Sous la condition suivante, WΩ1 ,Ω2 (s, x) = W1 (s) si x ∈ Ω1 si x ∈ Ωc2 sinon, W (s) 2 W (s) et ( W1 (s) = W (s) W1 (s) ≥ max(W (s), W (1/2)) pour s ≥ 1/2 pour s ≤ 1/2 ( et W2 (s) = W (s) W2 (s) ≥ max(W (s), W (1/2)) pour s ≤ 1/2 , pour s ≥ 1/2, nous avons établi un résultat de Γ-convergence de J,Ω1 ,Ω2 vers cW JΩ2 ,Ω1 . L’ordre de convergence de ce nouveau modèle apparaît aussi en O(2 ln()2 ). Ce résultat fait l’objet d’un preprint, co-écrit avec Valérie Perrier. Exemple de mouvement par courbure moyenne obtenu avec notre approche où la zone d’inclusion Ω1 est composée de deux anneaux Tension de surface anisotrope Une troisième partie de mon travail s’intéresse à la simulation numérique de mouvements par courbure moyenne anisotrope, définis comme le flot de gradient du périmètre anisotrope ˆ Pγ (Ω) = γ(~n)ds, ∂Ω où γ : S d−1 → R+ représente la tension surface anisotrope. En dimension 2 les vitesses normales des interfaces vérifient Vn = γ(~n)κγ , où la courbure anisotrope est donnée par κγ = κ (γ(~n) + γ 00 (~n)). La formulation champ de phase usuelle de ce mouvement est l’équation d’Allen-Cahn anisotrope [BP96] : ut = div φo (∇u)φoξ (∇u) − 1 0 W (u), 2 où pour tout ξ ∈ Rd , φo (ξ) = |ξ|γ(ξ/|ξ|). La difficulté numérique vient de l’opérateur de diffusion anisotrope 4φ u = div φo (∇u)φoξ (∇u) , qui est fortement non linéaire. Les méthodes classiques de résolution ont en effet un coût de calcul bien supérieur au coût des méthodes utilisées dans le cas isotrope. Nous avons alors introduit une approximation de cette équation, ut = 4̃φ u − 1 0 W (u), 2 (1) dans laquel, nous utilisons un opérateur 4̃φ u de symbole σ(ξ) = −4π 2 φo (ξ)2 , obtenu comme le linéarisé de 4φ dans l’espace de Fourier. L’implémentation de ce modèle est alors très facile (multiplication dans la base de Fourier) et les calculs deviennent très rapides. Les tests numériques montrent de très bonnes qualités d’approximation et indiquent que la méthode converge en O(). Nous avons de plus établi la consistance d’un algorithme de Bence Merriman Osher [MBO92] pour les mouvements par courbure moyenne anisotrope lorsque le noyau de diffusion utilisé est associé à l’opérateur 4̃φ et défini par ˆ e−4π K(x) = 2 φo (ξ)2 e2iπ x·ξ dx. Rd Nous nous sommes inspirés des travaux d’Ishii, Pires et Souganidis [IPS99]. La difficulté de ce travail provient du fait que le noyau de la chaleur anisotrope K n’est pas positif, et n’admet pas de moment d’ordre 2, deux hypothèses à priori nécessaires dans la preuve de [IPS99]. En regardant de plus près ce noyau et en utilisant des techniques d’interpolation d’espaces, nous avons ´ s montré qu’il admet des moments d’ordre s < 2, et que les intégrales V |x| K(x)dx, sur les hyperplans V de Rn , restent positives et cela, malgré la non positivité de K. Ces estimations se sont finalement révélées suffisantes pour généraliser la preuve de consistance aux noyaux K. Ces travaux, co-écrit avec Eric Bonnetier et Antonin Chambolle, ont été soumis. Le cas d’anisotropies non convexes a aussi été abordé. De la non convexité résulte un certain nombre de complications car le périmètre anisotrope associé n’est pas semi-continu inférieur et la notion même d’évolution d’interfaces par courbure moyenne anisotrope n’est pas clairement définie. D’un point de vue approximation champ de phase, contrairement au laplacien anisotrope 4φ qui possède un caractère "fordward backward parabolic" lié à la non convexité de l’anisotropie, l’opérateur 4̃φ conserve lui de bonnes propriétés. L’utilisation de cet opérateur peut être ainsi interprétée comme une régularisation du modèle original. Les simulations numériques obtenues (voir figure ci-dessous) par nos algorithmes montrent notamment des interfaces dont l’évolution correspondrait au flot de gradient d’une énergie composé du périmètre anisotrope et de termes d’ordre supérieur comme des énergies de courbure. L’utilisation de notre opérateur pourrait donc permettre, par l’intermédiaire d’un algorithme de Bence Merriman Osher, de donner une définition propre de mouvement par courbure moyenne anisotrope non convexe. Ces travaux, présentés dans le septième chapitre du manuscrit de thèse, seront prochainement soumis à publication. Exemple de mouvement par courbure moyenne anisotrope non convexe Curvelets pour le cas d’anisotropies avec dépendance spatiale. Une troisième partie de thèse concerne la généralisation de la linéarisation de l’opérateur 4φ par rapport à la base de Fourier lorsque l’anisotropie utilisée φo (x, ξ) dépend maintenant de la localisation spatiale x. Nous avons alors cherché à linéariser cet opérateur par rapport à une nouvelle base dont les éléments seraient suffisamment localisés à la fois en fréquence (comme les éléments de Fourier) mais aussi en espace, afin de traiter la dépendance spatiale en x. L’utilisation des ondelettes a alors été envisagée, mais ces base d’analyses multirésolution n’étaient pas suffisament localisées en fréquences. Nous nous sommes alors dirigés vers le frame de curvelets, vérifiant une échelle parabolique et présentant de meilleurs propriétés que les ondelettes pour une telle démarche. Nous avons alors généralisé le concept de curvelet en donnant la construction d’une nouvelle famille d’ondelettes géometriques, les β-curvelets, et pour lequels, nous établissons un résultat d’approximation non linéaire. Ce travail est une généralisation du résultat d’approximation non linéaire obtenu par Candès et Donoho [CD00]. Travaux effectués après la thèse Minimisation de l’energie de Willmore sous contrainte : A la suite de ma thèse, j’ai commencé une collaboration avec Jacques-Olivier Lachaud et Edouard Oudet sur des problèmes d’approximation d’objets discrèts. Le but est ici de déterminer une "bonne" approximation d’un ensemble Ω0 , à partir d’une pixélisation Ωa de ce dernier. Les propriétés de pixélisation nous permettent de définir, à partir de Ωa , deux ensembles notés Ω1 et Ω2 qui vérifient les inclusions Ω1 ⊂ Ω0 ⊂ Ω2 . Une solution consiste alors à choisir, parmi les Ω vérifiant la contrainte Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 , l’ensemble Ω∗ qui minimise l’énergie de Willmore : ˆ Ω∗ = argmin κ2 dσ ; Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 , ∂Ω où κ représente la courbure à l’interface. Ω2 Ω1 Etape de pixélisation Nous avons alors comparé trois méthodes numériques différentes pour l’approximation de la solution Ω∗ , dont l’une d’elles, est basée sur une de type champs de phase. Plus précisément, une approxi´ approche 2 mation de l’énergie de Willmore ∂Ω κ dσ est donnée (voir les travaux "On a modified conjecture of De Giorgi" de Roger et Schatzle) par ˆ 2 1 1 0 F (u) = ∆u − W (u) dx. Rd Nous avons alors pris en compte la contrainte Ωint ⊂ Ω ⊂ Ωext par pénalisation, en considérant, comme pour le traitement de conditions de bord, les potentiels pénalisés WΩ1 ,Ω2 . Les résultats numériques obtenus indiquent de bonnes stabilités de la méthodes par champ de phase. Ce travail a fait l’objet d’un article accepté à JMIV. Exemple numérique, Ωa et Ω∗ obtenu par une approximation champ de phase Travaux effectués en post-doc J’effectue actuellement un post-doc au CMAP sous la direction d’Habib AMMARI, financé par un projet DIGITEO île de France, et en collaboration avec les équipes de recherche du CEA LIST et du LRI. Dans ce projet, le CMAP est essentiellement concerné par le déploiement d’algorithmes itératifs pour l’inversion de la tranformée de Radon sphérique avec ou sans atténuation. La transformée de Radon sphérique est définie par ˆ RΩ [f ](y, r) = rf (y + rξ)dσ(ξ), (y, r) ∈ ∂Ω × R+ , S où S représente la sphère unité. Nous avons porté un intérêt tout particulier à cette transformée car elle intervient naturellement dans la détection de source en photo-acoustique : la problèmatique consiste à reconstruire une pression initiale p0 à partir des mesures des pression p(y, t) sur le bord d’un domaine Ω, où p est solution de l’équation des ondes 1 ∂tt p − ∆p = p0 ∂t δt , c20 dans Ω × R+ . comme par exemple en dimension 2 avec Lorsque Ω est un cercle de rayon 1, il existe, comme pour la transformée de Radon classique, des formules d’inversion [FPR04, Kun06, Ngu09] de type rétroprojection : p0 (x) = où R∗Ω est l’adjoint de RΩ , 1 ∗ R BRΩ [p0 ](x), 4π 2 Ω ˆ R∗Ω [g](x) g(y, |y − x|)dσ(y), = ∂Ω et B est un filtre défini par ˆ B[g](x, t) = 0 2 d2 g (y, r)ln(|r2 − t2 |)dr. dr2 . Application dans le cas de données tronquées, atténuées Dans les situations idéales, les formules précédentes permettent de bien reconstruire la source initiale p0 , ce qui n’est plus le cas lorsque les données g(y, t) = p(y, t) deviennent limitées. Nous nous sommes alors intéressés au problème de minimisation suivant n o p˜0 = argmin kQ (RΩ [x] − g) k2L2 (Ω) + ηk∇xkl1 (Ω) , , où ηk∇xkl1 (Ω) est un terme de régularisation de type variation totale et Q est un préconditionneur. D’un point de vue numérique, nous avons utilisé l’approche de Beck et Teboulle [BT09] ainsi qu’un algorithme Primal-Dual pour traitement du terme de régularisation TV. Finalement, nous avons observé qu’un choix judicieux de Q, explicite à partir du filtre B, permettait aussi d’accélérer encore un peu plus ces algorithmes de minimisation. Un enjeu important concerne aussi la correction du phénomène d’atténuation qui apparaît naturellement dans toutes applications physiques où la pression p devient solution d’une équation des ondes atténuées. Un modèle couramment utilisé est par exemple le modèle thermo-visqueux, qui s’écrit ∂tt pa − ∆pa − a∂t ∆pa = p0 ∂t δt , où a représente un coefficient d’atténuation. Lorsque a est constant, il est alors possible de relier l’onde idéale p en fonction de l’onde atténuée pa , sous la forme pa = Lp, où L est un opérateur d’atténuation qui s’explicite dans le cas thermo-visqueux par ˆ ˆ 1 ω √ Lφ(y, t) = φ(y, s) exp 2iπs √ exp (2iπωt) dsω. 1 + 2iπaω 1 + iaω R R+ La correction de l’atténuation peut alors s’effectuer en inversant la relation pa = Lp puis en utilisant les algorithmes d’inversion de la tranformée de Radon sphérique. Mais une des difficultés vient de l’opérateur L, qui est mal conditionné et qui rend cette stratégie délicate. Nous avons alors étudié précisément les propriétés de l’opérateur L et nous avons introduit un développement asymptotique de ce dernier par rapport au coefficient d’atténuation a ( supposé petit en pratique ) sous la forme Lφ = k X aj Lk φ + o(ak ). j=0 Ce développement nous a ainsi permis d’obtenir des approximations asymptotiques de l’inverse de L en k o a , afin de reconstruire l’onde idéale p à partir de l’onde atténué pa . Ce travail a fait l’objet d’un chapitre de livre co-écrit avec H. Ammari, V. Jugnon, et A. Wahab. Plus récemment, nous venons d’écrire un preprint présentant une adaptation de ce travail pour les algorithmes de type renversement temporel. L’intérêt vient d’une plus grande flexibilité de ces méthodes contrairement à l’utilisation de transformée de Radon sphérique, qui ne traite pas le cas de coefficient d’atténuation a(x) non constant ou encore l’utilisation d’un domaine Ω quelconque. Cas d’ondes elastiques atténuées Nous nous sommes aussi intéressés à la correction d’effets d’anisotropie pour le cas d’ondes elastiques. Ces modèles sont en effet plus précis que les modèles d’ondes acoustiques lorsque l’on regarde l’évolution d’ondes dans la plupart des matériaux. L’équation s’écrit maintenant ρ ∂2u − (λ + µ) ∇(∇ · u) − µ∆u = F, ∂t2 où λ et µ représente les coefficients de Lamé. Un modèle visquo-elastique classique s’écrit de plus ρ ∂ 2 ua − (λ + µ) ∇(∇ · ua ) − µ∆ua − (ηs + ηp ) ∂t ∇(∇ · ua ) − ηs ∂t ∆u = F, ∂t2 où ηp et ηs sont les coefficients d’atténuation. Afin d’établir une relation simple entre u et ua , nous avons tout d’abord explicité une expression fonction de Green Gηs ,ηp , obtenue à partir d’une décomposition de Hodge de l’onde u. Puis, en se restreignant au cas où λ → ∞, ce qui correspond à négliger les onde de pression, nous avons enfin réussi à expliciter un opérateur d’atténuation L satisfaisant ua = Lu. Ce travail a été co-écrit avec A. Wahab et L. Guadarrama Bustos. Nous venons aussi de terminer avec A. Wahab une généralisation de ce travail pour le cas d’équations des ondes élastiques anisotropes visqueuses, où nous donnons une expression explicite de la fonction Green pour des cas particuliers d’anisotropies relativements simples. Cas de milieux aléatoires Généralement, lorsque l’on cherche à reconstruire des sources à partir de mesures des solutions des équations d’ondes ∂tt p − c(x)2 ∆p = 0, les vitesses d’onde c(x) sont rarement connues explicitement. Les méthodes d’imagerie n’utilisent généralement qu’une approximation c0 de ces dernières, ce qui génère en pratique beaucoup d’instabilité. C’est notamment le cas pour la transformée de Radon sphérique, ˆ ˆ ∗ q̂(y, ω) exp (−iω|x − y|) dωdσ(y), où q = BW[p], I(x) = RΩ [q](x) = ∂Ω R où le rapport signal sur bruit est très faible. Une technique de stabilisation, les "Coherent Interferometry Algorithms", consiste alors à rétroprojeter, non pas le signal filtré mais une corrélation de celui-ci. Cette technique de reconstruction s’écrit pour le cas de la transformée de Radon sphérique sous la forme, ˆ ˆ ˆ ˆ I2 (x)= exp(−(ω1 − ω2 )2 /(2Ω2d )) exp(−(y1 − y2 )2 /(2Xd2 )) ∂Ω ∂Ω R R q̂(y1 , ω1 ) exp (−iω1 |x − y1 |) q̂(y2 , ω2 ) exp (−iω2 |x − y2 |)dω1 dω2 dσ(y1 )dσ(y2 ), où Ωd et Xd représentent deux paramètres de stabilisation. A noter que lorsque ces paramètres Ωd et Xd tendent vers +∞, alors I2 (x) → I(x)2 et, plus ces paramètres sont petits, plus la reconstruction est stable mais aussi moins précise. Dans un article écrit (soumis) avec H. Ammari, J. Garnier et V. Jugnon, nous présentons une analyse de stabilité de cette méthode de reconstruction ainsi que des résultats numériques qui témoignent de l’intérêt de cette approche. Plus précisément, l’analyse de stabilité est basée sur le modèle de vitesse c(x) suivant 1 1 x = 2 1 + σc µ c(x) xc c0 , où µ est un processus Gaussien normalisé de covariance x x0 E σc µ σc µ xc xc = σc2 exp 2|x − xc |2 − 2x2c ! , et xc représente une longueur caractéristique de corrélation du bruit. L’intérêt de ce formalisme est de pouvoir estimer directement les espérances et variance des intégrales I(x) et I2 (x). Projet de recherche Evolution d’interfaces J’ai développé dans mes travaux de thèse un ensemble d’outils numériques pour la simulation de mouvements d’interfaces. J’ai notamment proposé de nouvelles techniques pour le traitement d’énergie de surfaces, de condition de contact ou encore de conservation de volume. Dans un premier temps, certains de ces modèles mériteraient une attention suppplémentaire, comme par exemple : Le cas de mouvement par courbure moyenne conservé Les tests numériques montrent que l’équation ´ 0 W (u(t, x))dx q 1 0 1 ut = 4u − 2 W (u) + 2 ´ p 2W (u(t, x)), 2W (u(t, x))dx (2) converge avec un ordre d’erreur en O(2 ln()2 ). Pour l’établir rigoureusement, on ne peut utiliser l’argument usuel du principe de comparaison (à cause du terme non local). Très récemment (Mars 2009), Xinfu Chen, Danielle Hilhorst et Elisabeth Logak ont donné une preuve de convergence de l’équation ˆ 1 0 1 1 0 W (u(t, x))dx, ut = 4u − 2 W (u) + 2 |Q| Q vers le mouvement par courbure moyenne conservé, sans utiliser ce principe de comparaison. On pourrait essayer d’adapter cette preuve dans le cas de l’équation (2) et essayer de retrouver l’ordre de convergence en O(2 ln()2 ) observé numériquement. Modèles de croissance cristalline Nous avons introduit un opérateur de diffusion anisotrope linéaire pour l’approximation de mouvement par courbure moyenne anisotrope. Il devrait être intéressant de l’utiliser pour d’autres modèles de croissance cristalline, comme ceux par exemple qui décrivent l’évolution de croissance de dendrites [KWJ98]. Dans ce cas, les modèles de champ de phase sont relativement simples et s’écrivent comme un couplage d’une équation d’Allen Cahn anisotrope avec un champ de température. L’avantage serait ici de pouvoir traiter, grâce à l’utilisation de cet opérateur, le cas d’anisotropies non convexes. Nous pourrions ainsi analyser et mieux comprendre l’influence de ce type d’anisotropies sur l’évolution de dendrites. La figure ci-dessous présente deux simulations numériques de croissance de dendrites obtenues avec notre opérateur de diffusion ˜ φ. anisotrope linéarisé ∆ 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 50 100 150 200 250 50 100 150 Exemple de croissance de dendrites 200 250 Simulations de cellules biologiques Enfin, j’aimerais aussi m’intéresser à la simulation numérique d’évolution de cellules biologiques. Plusieurs modèles de champ de phase ont en effet été récemment introduit [DLW04, BKM05] pour étudier le comportement de vésicules et de globules rouges dans un écoulement fluide. Ces modèles font intervenir un couplage fluide structure et les formulations champ de phase permettent d’intégrer toutes sortes d’énergies de surface à l’interface des cellules. Un de mes objectifs serait d’exploiter pour ces modèles, les variantes de traitement des conservations de masse, de conditions de contact ou encore d’énergies de courbure que j’ai introduit dans mes travaux antérieurs. Nous pourrions ainsi obtenir des algorithmes numériques plus efficaces. Approximation d’images et de surfaces à l’aide d’une énergie de courbure Modèles multiphases pour l’approximation d’images pixélisées Un des avantages des méthodes de champs de phase est d’être particulièrement bien adaptées aux problèmes multiphases. Nous avons présenté dans un premier travail avec J.O. Lachaud et E. Oudet une méthode numérique pour l’approximation d’objets pixélisés. Une extension de ce travail consisterait à reconstruire des images plus complexes et composées de plusieurs couleurs. A chaque couleur sera associée une fonction P φi solution d’une équation de champs de phase. En ajoutant une contrainte de la forme φi = 1, toutes ces équations seront couplées afin d’assurer qu’à chaque point de l’image soit associé une unique couleur. Les premiers tests numériques (voir ci-dessous) sont assez concluants, et mériteraient d’être comparés aux techniques plus classiques développées en traitement d’image. Exemple d’approximation d’une image 3 couleurs : Energie de courbure et reconstruction de surface 3D Un autre axe de recherche serait d’analyser plus précisément le potentiel de l’énergie de Willmore comme terme de régularisation pour la reconstruction de surfaces 3D à partir de données tronquées. Nous avons déjà abordé le cas lié à une pixélisation, et nous souhaitons maintenant généraliser ces techniques en vue d’applications à d’autres types de limitation de données. Nous avons par exemple déjà testé cette approche pour le post-traitement de données issues d’IRM. Dans ce contexte, les données représentent des coupes 2D du cerveau, et l’objectif est de reconstruire des surfaces 3D à partir d’un nombre limité de coupes. La technique consiste alors à minimiser l’énergie de Willmore (approché par la méthode de champ de phase) couplée avec des termes d’attaches aux données, forçant la surface reconstruite à coïncider avec l’information issue des données. La figure suivante présente un test préliminaire, témoignant du fort potentiel de cette démarche. A gauche sont représentés les coupes 2D et à droite la reconstruction obtenue par minimisation de Willmore. Exemple d’approximation 3D d’une surface à partir d’un nombre limité de coupes 2D. (3) Imagerie, problème inverse et régularisation Depuis le début de mon post-doc, je m’intéresse à différentes techniques d’imagerie liées aux équations des ondes. Nous avons déjà abordé un certain nombre de méthodes, parmi lesquelles, la transformée de Radon sphérique, les techniques de renversement temporel ou encore les "Coherent Interferometry Algorithms". Un grand nombre de questions restent liées à l’adaptation de ces algorithmes pour des modèles d’ondes plus générales, prenant en compte de l’anisotropie, de l’atténuation ou encore de la non linéarité dans les modèles d’ondes. Par exemple, le cas d’atténuation a déjà été traité mais uniquement pour des atténuations constantes : un projet future serait donc d’adapter notre démarche à des atténuations variables. De même, nous avons déjà abordé la question de l’anisotropie en explicitant dans des cas particuliers seulement l’expression des fonctions de Green, et une généralisation de ce travail pourrait être envisagé par la suite. Par ailleurs, beaucoup de questions en imagerie medicale conduisent à des problèmes inverses mal posés qui nécessitent des techniques de régularisation. Or le modèle de régularisation influence énormément la reconstruction de la solution recherchée et celui-ci doit être choisi avec précaution. Précédemment, pour le problème de données tronquées issues de la transformée de Radon sphérique, nous avions observé qu’une régularisation de type TV permettait de mieux reconstruire la solution par rapport à une régularisation quadratique plus classique. Des questions qui pourront donc m’intéresser par la suite seraient de coupler des techniques d’imagerie médicales avec des algorithmes de régularisation plus sophistiqués développés en traitement d’image, afin de stabiliser ces méthodes tout en dégradant le moins possible leurs reconstructions. J’ai déjà eu l’occasion en thèse de travailler sur des problèmes liés aux ondelettes et aux curvelets et plus récemment sur différents algorithmes pour la minimisation de ROF. Il pourrait être aussi intéressant d’essayer d’utiliser des techniques d’imagerie non locales, dont les démarches semblent avoir des liens étroits avec les stratégies de corrélation des algorithmes Cint (Coherent Interferometry Algorithms). Références [AC79] Samuel M. Allen and John W. Cahn. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening. Acta Metall., 27:1085–1095, 1979. [BKM05] T. Biben, K. Kassner, and C. Misbah. Phase-field approach to three-dimensional vesicle dynamics. PHYSICAL REVIEW E, 2005. [BP96] G. Bellettini and M. Paolini. Anisotropic motion by mean curvature in the context of Finsler geometry. Hokkaido Math. J., 25:537–566, 1996. [BS97] L. Bronsard and B. Stoth. Volume-preserving mean curvature flow as a limit of nonlocal GinzburgLandau equation. SIAM J. Math. Anal., 28:769–807, 1997. [BT09] Amir Beck and Marc Teboulle. A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems. SIAM J. Imaging Sci., 2(1):183–202, 2009. [CD00] E.J. Candès and D. L. Donoho. New tight frames of curvelets and optimal representations of objects with piecewise-c2 singularities. Comm. Pure Appl. Math, 57:219–266, 2000. [DLW04] Qiang Du, Chun Liu, and Xiaoqiang Wang. A phase field approach in the numerical study of the elastic bending energy for vesicle membranes. J. Comput. Phys., 198:450–468, August 2004. [FPR04] D. Finch, S. PATCH, and Rakesh. Determining a Function from Its Mean Values Over a Family of Spheres. SIAM J. Math. Anal., 35(5):1213–1240, 2004. [Gag86] M. Gage. On an area-preserving evolution equation for plane curves. Contemporary Mathematics, 51:51–62, 1986. [IPS99] H. Ishii, G. E. Pires, and P. E. Souganidis. Threshold dynamics type approximation schemes for propagating fronts. J. Math. Soc. Japan, 1999. [Kun06] L. Kunyansky. Explicit inversion formulas for the spherical mean Radon transform. Mathematics e-prints, September 2006. [KWJ98] Alain Karma and Rappel Wouter-Jan. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions. PHYSICAL REVIEW E, 1998. [MBO92] B. Merriman, J. K. Bence, and S. Osher. Diffusion generated motion by mean curvature. Computational Crystal Growers Workshop, J. E. Taylor, ed., Sel. Lectures Math., AMS, Providence, RI, 1992. [Ngu09] L. V. Nguyen. A family of inversion formulas in Thermoacoustic Tomography. ArXiv e-prints, February 2009. [RS92] J. Rubinstein and P. Sternberg. Nonlocal reaction-diffusion equations ans nucleations. Journal of Applied Mathematics, 1992. ArXiv IMA