Chap 4F - Exercices - Modes de vibrations

TS – Spécialité Physique
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Thème nÀ2 : son et musique - Les instruments de musique
Exercices d’application
Exercice n°1 : vibration d’une colonne d’air ouverte à une seule extrémité
Afin d'étudier la vibration d'une colonne d'air de longueur réglable, on dispose du matériel suivant : un GBF,
une éprouvette contenant un peu d'eau, un haut-parleur, un oscilloscope et des fils de connexion. On excite la
colonne d'air de longueur L contenue dans l’éprouvette.
1. Décris un protocole expérimental permettant de mettre en évidence les modes propres de vibration de la
colonne d'air comprise entre la surface supérieure du liquide et l'embouchure de l'éprouvette.
2. La fréquence la plus faible faisant résonner la colonne vaut 440 Hz et les suivantes valent 1320 Hz, 2200
Hz et 3080 Hz.
a) Comment appelle-t-on ces fréquences ?
b) Les valeurs de ces fréquences sont dans un rapport simple avec la plus faible. Pour chacune d'entre elles,
trouve la valeur de ce rapport.
c) Résume en une phrase le résultat précédent. Ce résultat est-il le même que celui obtenu dans le cours avec
le tuyau ouvert aux deux extrémités ?
3. Pour les fréquences produisant la résonance, on étudie l'amplitude de la vibration des points le long de la
colonne d'air.
a) Décris un protocole permettant cette étude.
b) Pour la fréquence de 1320 Hz, on observe deux ventres et deux nœuds de vibration. Schématise le tuyau
sonore en indiquant les positions des nœuds et des ventres. Justifie.
Exercice n°2 : corde de guitare
Une corde de guitare s'appuie d'une part sur le sillet incrusté dans le manche et d'autre part sur le chevalet
collé sur la caisse de résonance. La distance entre le chevalet et le sillet est de 65,0 cm. La corde est excitée
sinusoïdalement. On constate que pour une fréquence d'excitation égale â 880 Hz, la guitare émet un son. En
observant la corde, on remarque la présence de trois fuseaux.
1. Représente l'aspect de la corde. Combien y a-t-il de ventres de vibration ?
2. Quelle est la distance entre deux nœuds voisins ? Entre deux ventres voisins ?
3. A quelle fréquence faudrait-il exciter sinusoïdalement la corde pour qu'elle vibre selon le mode
fondamental ?
4. Même question pour obtenir sa vibration selon l'harmonique n°5. Déterminer pour ce mode harmonique la
position des nœuds.
5. On tire maintenant sur la corde en son milieu puis on la lâche : elle oscille librement. L'analyse
fréquentielle du son émis par la guitare fournit les fréquences des trois principales composantes
sinusoïdales : 293 Hz – 880 Hz – 1467 Hz. Interprète ce résultat.
6. On pince une corde de guitare et on visualise à l'oscilloscope
le signal délivré par un microphone placé près de l'instrument
(oscillogramme ci-contre). La corde pincée est-elle celle étudiée
précédemment ? Justifie.
Réglages :
100 mV / div
1,0 ms/div
Thème n°2 : son et musique / Exercices
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Corrections d’exercices
Exercice n°1 page 70
La célérité v a pour expression : v =
F
=
µ
19,0
= 300 m.s −1
2,11.10−4
La fréquence f1 du mode fondamental d’une corde de longueur L vérifie : f n =
f1 =
n×v
2L
avec n = 1
v
300
=
= 214 Hz
2 L 2 × 70,0.10− 2
La corde peut vibrer selon son mode fondamental ou selon des harmoniques dont les fréquences sont toutes
multiples entiers de la fréquence propre. Elle peut donc émettre des sons de fréquences fn = n × f1 :
f1 = 214 Hz
f2 = 428 Hz
f3 = 642 Hz
Aucune de ces fréquences correspond à la fréquence 440 Hz donc cette corde ne peut pas émettre un la.
La note dont la fréquence est la plus proche de fla = 440 Hz est l’harmonique n = 2, de fréquence f2 = 428 Hz.
Or f2 < fla, la note émise est donc plus basse (plus grave) que le la attendu.
Pour accorder une corde de sa guitare, l’instrumentiste modifie la tension F qui s’applique sur la corde en
serrant ou desserrant les clés. Pour accorder la guitare, et donc pour fixer f2 à 440 Hz, il faut augmenter la
valeur de la tension jusqu`à obtenir une valeur F qui vérifie :
f2 =
2
F
×
2L
µ
soit
f 22 =
1 F
×
L2 µ
et F = f 22 × L2 × µ = (440 × 70,0.10−2 ) 2 × 2,11.10−4 = 20,0 N
La tension de la corde doit être augmentée de 19,0 N à 20,0 N pour que cette corde puisse jouer un la3.
Exercice n°3 page 70
La fréquence du mode fondamental est la plus basse parmi celles qui ont été relevées, à savoir 142 Hz.
La fréquence de 425 Hz correspond à l’harmonique n = 3, donc comportant 3 fuseaux :
Le schéma fait apparaître trois fuseaux,
donc trois ventres de pression et quatre
nœuds de pression, dont deux aux
extrémités de la colonne d’air).
f1 =
v
2L
donc
L=
v
340
=
= 1,20 m
2f1 2 × 142
La célérité v de l’onde dans l’air est proportionnelle à
On a alors : f1 =
d’où f1 ' =
v
k T
=
2L
2L
et f1 ' =
v
k T'
=
2L
2L
T donc v = k ×
donc
f1 '
=
f1
T.
T'
T
T'
330
× f1 =
× 142 = 149 Hz
T
298
Pour accorder cet instrument, le plus simple est de faire varier la longueur de la colonne d’air, donc du tuyau.
Thème n°2 : son et musique / Exercices
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Exercice 12 page 73
Sur l’oscillogramme proposé, je lis 3,4 divisions pour une période T avec une sensibilité de 1,0 ms/div :
On a donc : T = 3,4 ms = 3,4.10-3 s et f =
1
1
=
= 294 Hz
T 3,4.10 −3
Allure de la corde avec quatre fuseaux sur la corde (harmonique d’ordre n = 4)
La distance d entre deux nœuds voisins correspond à la longueur d’un fuseau or il y a quatre fuseaux le long
de la corde donc d = L / 4 = 65 / 4 = 16,3 cm
S’il y a quatre fuseaux apparents à la fréquence fe = 1,17 kHz : f 0 =
f 4 1,17.103
=
= 293 Hz
4
4
Feuille d’exercices : exercice n°1
Oscilloscope
GBF
Masse M
1/ Protocole : on place le haut-parleur au dessus de
l’éprouvette de manière à émettre le son à l’intérieur de celleci, verticalement. On alimente le haut-parleur avec la
fréquence la plus basse produite par le générateur GBF et on
recherche, à mesure que la fréquence augmente, le son audible
le plus fort.
Lorsque l’intensité du son est maximale, on est à une
fréquence correspondant à un mode propre (fondamental ou
harmonique) de vibration de la colonne.
L’eau, au fond de l’éprouvette, ne doit pas vibrer puisque le
fond correspond à un nœud de vibration.
2/ La fréquence la plus faible faisant résonner la colonne vaut 440 Hz et les suivantes valent 1320 Hz, 2200
Hz et 3080 Hz. Ces fréquences sont les fréquences propres de vibration de la colonne : 440 Hz correspond à
la fréquence du mode de vibration fondamental et 1320 Hz, 2200Hz ou 3080 Hz correspondent aux modes
de vibration harmoniques.
On constate que 1320 = 440 × 3, que 2200 = 440 × 5 et que 3080 = 440 × 7. Les modes harmoniques
correspondent donc à tous les multiples impairs de la fréquence du mode fondamental.
Ce résultat peut être exprimé sous la forme : fn = (2n + 1) × f0
avec n entier naturel non nul.
Avec une colonne d’air ouverte des deux côtés, nous avions une relation du type fn = n × f0, soit deux fois
plus de fréquences propres de vibration (tous les multiples, pairs ou impairs).
3/ Pour les fréquences produisant la résonance, on veut étudier l'amplitude de la vibration des points le long
de la colonne d'air. On peut pour cela plonger un microphone relié à un oscilloscope dans l’éprouvette ou
faire descendre, suspendu à un fil, un petit plateau grillagé sur lequel on pose des grains de riz. Dans les
nœuds de vibration, les grains de riz restent immobiles et dans les ventres de vibrations, ceux-ci s’agitent sur
le plateau.
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A la fréquence 1320 Hz, on observe deux ventres et deux
nœuds de vibration. Le haut-parleur (membrane en
mouvement de compression – dilatation) impose un
ventre de vibration à une extrémité alors que le fond de
l’éprouvette fermée impose un nœud à l’autre extrémité.
ventre
Feuille d’exercices : exercice n°2
nœud
nœud
ventre
Aspect de la corde à 880 Hz.
1/ S’il y a trois fuseaux, il y a donc trois ventres de vibration. La corde étant fixées à ses deux extrémités, il y
a au total quatre nœuds.
2/ La distance est la même entre deux ventres voisins ou entre deux nœuds voisins : c’est la longueur d’un
fuseau. S’il y a trois fuseaux sur une corde de longueur 65,0 cm, alors chaque fuseau mesure :
dnœuds = dventres = 65,0 / 3 = 21,7 cm
3/ A la fréquence f = 880 Hz, la corde présente trois fuseaux donc elle vibre à une fréquence correspondant à
l’harmonique d’ordre n = 3.
f n = n × f0
donc
f0 =
f 3 880
=
= 293 Hz
3
3
4/ Pour obtenir sa vibration selon l'harmonique 5 : f 5 = 5 × f 0 = 5 × 293 = 1467 Hz
5/ Dans ce mode harmonique, il y a cinq fuseaux donc les six nœuds sont espacés de 65,0 / 5 = 13,0 cm. Les
abscisses des nœuds sont alors 0, 13, 26, 39, 52 et 65 cm.
6/ Quand la corde oscille librement, elle vibre en superposant le mode fondamental et différentes
harmoniques. Le son perçu résulte de la superposition de ces différents signaux. Il est périodique, mais non
sinusoïdal. Sa période est celle du mode fondamental, donc ici 293 Hz.
7/ Sur l’oscillogramme proposé, je lis 3,0 divisions pour une période, sur la base de temps 1 ms/div. La
période est donc de 3,0 ms, et la fréquence de 333 Hz. Le signal proposé n’est donc pas celui de la corde
étudiée (333 ≠ 293).
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