Corrigé Devoir maison seconde 4 Devoir maison seconde 4
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M COIPEAU Sur jcblog ! Corrigé Devoir maison seconde 4 « Fonction et géométrie » Petit problème ABCD est un rectangle ( AB=5 et BC=4 ). Un point M partant de A, parcourt le rectangle dans le sens ABCDA. On pose x = AM. On appellera f(x) l’aire de la surface balayée par [AM]. 1) On suppose que M se situe sur le segment [AB ] . D A C M B a) M є [AB] , avec AB = 5 donc x ≤5 et comme x représente une distance alors x > 0 soit 0 < x ≤ 5. b) donner l’expression de f(x) en fonction de x . L’aire ici est un rectangle donc f(x) = AM × AD soit f(x) = 4x 2) On suppose maintenant que M se situe sur le segment [BC ] . D C M A B a) donner un encadrement de x. M є [BC] , donc AB < AM ≤ AC Il faut calculer AC, or d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B donc: AC² = AB² + BC² = 5² + 4² AC² = 41 donc AC = 41 Ainsi 5 < x ≤ 41 b) la nature de la surface balayée ( et hachurée ) est un triangle rectangle et on sait que « l’aire est égale à la moitié du produit des côtés de l’angle droit » 1) exprimer la distance BM en fonction de x. AM = x et AB = 5 d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABM est rectangle en B donc: AM² = AB² + BM² x² = 5² + BM² soit BM² = x² - 25 donc BM = x ² − 25 M COIPEAU Sur jcblog ! 2) donner l’expression de f(x) en fonction de x. Aire = AB × BM 5 × x ² − 25 = 2 2 soit f(x ) = 5 × x ² − 25 2 3) On suppose que M se situe sur le segment [CD ] . D M A C B a) donner un encadrement de x. M є [DC] , donc AD < AM ≤ AC Ainsi 4 < x ≤ 41 b) donner l’expression de f(x) en fonction de x. comme au 2) b) 1) on calcule DM et on trouve DM = x ² − 16 comme au 2 ) Aire de ADM= AD × DM 4 × x ² − 16 = 2 2 f(x) = 2 x ² − 16 c) Pour quelle( s) valeur ( s) de x, l’aire balayée vaut-elle 8 ? posons donc : f(x) = 8 soit 2 x ² − 16 = 8 x ² − 16 = 4 ou aussi x ² − 16 = 16 ainsi x² - 16 = 16 x² = 32 donc x = 32 ou x = - 32 mais x est positif donc x = 32 ( on a bien aussi x < 41 ici ) 4)a) Quelle est la nature de la figure blanche au 3 ) ? ABCM est un trapèze rectangle, car c’est un quadrilatère ayant seulement deux côtés opposés parallèles de longueurs différentes et un angle droit en B. hauteur × ( petitebase + grandebase ) 2 AD × ( AB + CM ) aire de ABCM = 2 4 × (5 + 5 − x ² − 16 ) = = 20 − 2 x ² − 16 ) 2 ou bien aire ABCM = aire ABCD – aire de ADM = 4 ×5 - 2 x ² − 16 ! b) aire d’un trapèze : = jcblog !