Devoir Maison - Électrocinétique II

Devoir Maison - Électrocinétique II - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Devoir Maison - Électrocinétique II
I - Étude d’une bobine réelle
On dispose d’une bobine B que l’on assimilera à l’association série
d’une inductance L et d’une résistance r (L et r sont des constantes
positives, indépendantes de la fréquence).
A.
Détermination de r
1 La bobine est parcourue par un courant i(t). Exprimer la tension u(t) à ses bornes en fonction de r, L, i(t) et
de sa dérivée par rapport au temps.
2 On réalise le circuit suivant, en plaçant, en série
avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 Ω.
L’alimentation est un générateur de tension continue,
constante, de force électromotrice E0 = 1,0 V et de
résistance interne r0 = 2,0 Ω. On mesure, en régime
permanent, la tension UR aux bornes de R. Exprimer
r en fonction des données de cette question. Calculer
r avec UR = 0,56 V.
B.
Détermination de r et L à partir d’un oscillogramme
On place, en série avec la bobine, un résistor de résistance
R = 40 Ω et un condensateur de capacité C = 10 µF. Le
GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer
une tension sinusoïdale de fréquence f = 250 Hz (la pulsation sera notée ω) et de valeur crête à crête de 10 V.
Deux tensions sont visualisées sur un oscilloscope numérique. On obtient l’oscillogramme suivant.
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3 Déterminer l’amplitude Ue de la tension ue et l’amplitude UR de la tension uR .
Déterminer l’amplitude I du courant i.
4 Rappeler l’expression générale de l’impédance Z d’un dipôle quelconque (module
de l’impédance complexe). Calculer alors
l’impédance ZAM du dipôle AM.
5 Des deux tensions, uR (t) et ue (t), laquelle, et pourquoi d’après l’oscillogramme, est en avance sur l’autre ?
Déterminer précisément, à partir de l’oscillogramme, le déphasage ϕ entre ue et i, (c’est-à-dire entre ue et uR ).
6 Ecrire l’expression générale de l’impédance complexe Z AM en fonction de r, R, L, C, ω puis Z AM en fonction
de son module ZAM et du déphasage ϕ.
7 Exprimer r en fonction de R, ZAM et ϕ. Calculer sa valeur.
8 Exprimer L en fonction de C, ω, ZAM et ϕ. Calculer sa valeur.
C.
Etude de la fonction de transfert
9 Rappeler la définition de la fonction de transfert H du filtre ainsi formé avec ue pour tension d’entrée et uR
pour tension de sortie.
10 Proposer un schéma équivalent en basses puis en hautes fréquences et en déduire la nature probable du filtre.
H max
11 Exprimer H en fonction de r, R, L, C, ω. Mettre H sous la forme H =
ω
ω0 . On exprimera
1 + jQ
−
ω0
ω
littéralement H max , le paramètre ω0 ainsi que le facteur de qualité Q de ce circuit en fonction de r, R, L, C.
12 La figure 5 à la fin du sujet représente (en partie) le diagramme de Bode du filtre précédent. Rappeler la
définition du diagramme de Bode. Déterminer, à partir du graphe et des données initiales, les valeurs de r et L.
D.
Facteur de puissance
On reprend le montage figure 3 avec f = 250 Hz.
13 Rappeler la définition du facteur de puissance d’un circuit.
14 On place alors, en parallèle sur AD une boîte de
condensateurs à décades (figure 6) et l’on fait varier cette
capacité C’ jusqu’à ce que, en observant l’oscilloscope, uR
et ue soient en phase. Quelle est alors la valeur du facteur
de puissance du circuit AM ? Du facteur de puissance du
circuit AD ? Quelle particularité présente alors l’admittance
complexe Y AD du circuit AD ?
15 Exprimer Y AD en fonction de r, L, C, C’ et de la
pulsation ω.
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16 Déterminer C’ en fonction de r, L, C, ω. Faire l’application numérique avec les valeurs de r et L calculées
précédemment.
II - Filtrage ADSL
Les signaux transmis sur une ligne téléphonique utilisent une large gamme de fréquences divisée en deux parties :
les signaux vocaux (transmettant la voix, entre 0 et 4 kHz) et les signaux ADSL (pour Internet ou la VoIP, entre 25
kHz et 2MHz). On considèrera dans ce second cas que les signaux ADSL utilisent toutes les fréquences supérieures
à 25 kHz.
1 Quels types de filtre faut-il utiliser pour récupérer chacun des deux types de signaux ? On précisera les éventuelles
fréquences de coupure.
2 On réalise le filtre suivant. Déterminer sa nature
grâce aux schémas équivalents et sans calculs. Quels
signaux va-t-il permettre de récupérer ?
3 En posant x =
ω
−x2
, déterminer ω0 pour que H se mette sous la forme H(x) =
ω0
1 + 3jx − x2
4 Tracer le diagramme de Bode en gain asymptotique, puis esquisser l’allure réelle en la justifiant.
5 On prend R = 100 Ω, quelle valeur de L faut-il choisir pour réaliser le filtre voulu ? On considèrera que la
fréquence de coupure retenue est associée à la pulsation ω0 et vaut 10kHz.
6 Par accident, un signal carré de fréquence fondamentale f0 = 3 kHz est envoyé à l’entrée du filtre. Quelles
seront les harmoniques présentes à la sortie ?
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III - Condensateurs et bobines variables
L’utilisation de montages à amplificateurs opérationnels (AO) permet de réaliser des circuits équivalents à des
condensateurs de capacité C variable ou des bobines d’inductance L ajustable. Dans toute cette partie, les AO sont
supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire. Les résistances R1 et R2 sont des résistances réglables et on
note C la capacité du condensateur.
Le premier montage proposé utilise deux AO connectés selon le
schéma suivant.
1 Quelle est la fonction réalisée par l’AO1 ?
2 Exprimer Us2 en fonction de Us1 puis de Ue .
3 Calculer l’impédance d’entrée du montage Ze = Ue /Ie .
4 En déduire que ce dispositif est équivalent à un condensateur
de capacité Ce dont on donnera l’expression en fonction de C, R1
et R2 . Quel est l’intérêt d’un tel montage plutôt que d’utiliser un
simple condensateur ?
On propose le deuxième montage ci-contre pour réaliser une bobine d’inductance variable.
5 Exprimer Us en fonction Ue .
6 Calculer l’admittance d’entrée du montage Ye = Ie /Ue . Á
quelle association composée d’une résistance Req et d’une inductance pure L cette admittance d’entrée est-elle équivalente ?
7 Quel est l’intérêt d’un tel montage plutôt que d’utiliser une
simple inductance ?
Les bobines et condensateurs réglables sont particulièrement utilisés pour réaliser l’équilibre de « montage en pont ». Soit le montage en pont ci-dessus. On
dit que le « pont est équilibré » lorsque la condition VA = VB est réalisée.
8 Montrer que cela équivaut à Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 .
On se place dans le cas où Z 1 = R1 , Z 2 = R2 , Z 3 est constitué par l’association série d’une résistance R et d’un condensateur de capacité C et Z 4 est
l’association parallèle de la même résistance R et d’un condensateur de même
capacité C. On suppose R1 , R et C connues.
9 Quelles relations existe-t-il entre R1 et R2 d’une part et entre R, C et ω
d’autre part lorsque le pont est équilibré ?
10 Pourquoi appelle-t-on ce montage « pont mesureur de fréquence » ?
11 Application numérique : R1 = 33 kΩ ; C = 5 nF et R = 10 kΩ. Calculer
R2 et ω.
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