Pondichéry avril 09 brevet corrige

Pondichéry Avril 2009
Brevet Corrigés
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Activités numériques
Exercice 1 :
1.
7
4 5
–
×
15 15 8
4×5
7
A=
–
15 3 × 5 × 2 × 4
7 1
A=
–
15 6
7×2 1×5
A=
–
15 × 2 6 × 5
14 – 5
A=
30
A= 9
30
3×3
A=
3 × 10
3
A=
10
A=
2. B = 3 2 – 98
a) B ≈ – 5,66 au centième
b)
B = 3 2 – 98
B = 3 2 – 49 × 2
B = 3 2 – 49 × 2
B=3 2–7 2
B=–4 2
Exercice 2 :
1. • 1er solution : on remplace x par – 2
3 × (– 2) + 12 = 6
4 – 2 × (– 2) = 8
6 < 8 donc – 2 est solution de l’inéquation 3x +12 < 4 – 2x
• 2éme solution : on résout l’inéquation
3x + 12 < 4 – 2x
3x + 2x < 4 – 12
5x < – 8
x < – 8 = – 1,6
– 2 < – 1,6 donc – 2 est solution de l’inéquation 3x +12 < 4 – 2x
5
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2. • 1er solution : on remplace x par – 2
(– 2 – 2)(2 × (– 2) + 1) = – 4 × – 1 ≠ 0
– 2 n’est pas solution de l’équation (x – 2)(2x + l) = 0.
• 2éme solution : on résout l’équation
(x – 2)(2x + l) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs au moins est nul.
x–2=0
ou
2x + 1 = 0
1
x=2
ou
x=–
2
L’équation admet 2 solutions : 2 et – 1.
2
– 2 n’est pas solution de l’équation (x – 2)(2x + l) = 0.
3. – 2 est-il solution de l'équation : x3 + 8 = 0 ? Justifier.
On remplace x par – 2 :
(– 2)3 + 8 = – 8 + 8 = 0
– 2 est solution de l’équation x3 + 8 = 0 .
(– 2)3 = (– 2) × (– 2) × (– 2)
4. • 1er solution : on remplace x par – 2 et y par 1
2 × (– 2) + 3 × 1 = – 4 + 3 = – 1
–2+5×1=3
2x + 3y = – 1
 x + 5y = 3

Le couple (– 2 ; 1) vérifie les 2 équations donc il est solution du système 
• 2éme solution : on résout le système.
 2x + 3y = – 1
 2x + 3y = – 1


⇔
 x + 5y = 3
 2x + 10y = 6
 2x + 3 × 1 = – 1
 2x = – 4


⇔
 y = 1
 y = 1
⇔
⇔






2x + 3y = – 1
7y = 7
x=–2
y=1
2x + 3y = – 1
.
 x + 5y = 3

Le couple (– 2 ; 1) est solution du système 
Exercice 3 :
1.
2 3 8
6 8
1 7 0
1
1 7 0
3 4
6 8
2
6 8
0
3 4
2
Algorithme d’Euclide :
238 = 1 × 170 + 68
170 = 2 × 68 + 34
68 = 2 × 34 + 0
Le dernier reste non nul est 34 donc PGCD(238 ; 170) = 34
170 5 × 34
2.
=
238 7 × 34
170 5
=
238 7
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Exercice 4 :
Enoncé :
Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :
Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.
1123
Numéro
1
Question
Quelle est la probabilité de tirer une boule
blanche ?
2
Quelle est la probabilité de tirer une boule
portant le numéro 2 ?
3
Quelle est la probabilité de tirer une boule
blanche numérotée 1 ?
Réponse A
2
3
1
4
1
3
Réponse B
6
4
1
6
2
4
Réponse C
4
1
3
3
6
1. Il y a 4 boules blanches parmi les 6 boules donc la probabilité cherchée vaut : 4 = 2
6 3
1
2. Il y a 2 boules portant le numéro 2 parmi les 6 boules donc la probabilité cherchée vaut : 2 =
6 3
3. Il y a 2 boules blanches numérotées 1 parmi les 6 boules donc la probabilité cherchée est :
2=1
6 3
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Activités géométriques
Exercice 1 :
S
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.
1. SAO est un triangle rectangle en O.
On trace le segment [AO] de longueur 2,5 cm.
On trace la perpendiculaire à [AO] passant par O.
On prend une mesure de 6,5 cm sur le compas.
On pointe le compas en A et on place S
sur la droite perpendiculaire.
2. Le triangle SAO est rectangle en O
car [SO] est la hauteur du cône..
Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle SAO.
O
A
2,5 cm
AS2 = AO2 + OS2
6,52 = 2,52 + OS2
42,25 – 6,25 = OS2
36 = OS2
Soit OS = 36 = 6.
S
La hauteur SO de la bougie est 6 cm.
3. Le volume du cône est 1 aire de la base × hauteur
3
V = 1 π × r2 × OS
3
V = 1 π × 2,52 × 6
3
V = 1 π × 6,25 × 2 × 3
3
V = 12,5 π
V = 39,3 cm3
O
A
4. ASO est un triangle rectangle en O.
 AO
sin ASO =
AS
 2,5
sin ASO =
6,5

ASO ≈ 23°

L'angle ASO mesure 23°.
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Exercice 2 :
On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.
G
1.
N
F
M
E
2.
EF2 + GE2 = 4,52 + 62
= 56,25
FG2 = 7,52
FG2 = 56,25
EF2 + GE2 = FG2
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.
3. Voir dessin ci-dessus.
4. Le 2éme théorème de la droite des milieux dit que :
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté en étant parallèle à un deuxième côté,
coupe le troisième côté en son milieu.
Or la droite (MN) passe par M le milieu de [EF], elle est parallèle à [EG], elle coupe donc [FG]
en son milieu.
N est le milieu de [FG].
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R
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Problème
T
Les longueurs sont exprimées en centimètres.
4
TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que :
TP = 3
PA = 5
AR = 4
3
M est un point variable du segment [PA],
et on note x la longueur du segment [PM].
x
P
M
A
5
R
1. Dans cette question, on se place dans le cas où x = 1
a)
T
4
3
1
P
M
A
5
b) Dans le cas où x = 1, on a MA = PA – PM
MA = 5 – 1
MA = 4 cm
Or RA = 4 cm, donc le triangle ARM est isocèle en A.
c) Le triangle PTM est un triangle rectangle en P donc
PM × PT 1 × 3
=
= 1,5 cm2
APTM =
2
2
Le triangle ARM est un triangle rectangle en A.
AM × AR 4 × 4
AARM =
=
= 8 cm2.
2
2
2. Dans cette question, on se place dans le cas où x est un nombre inconnu.
a) M est un point variable du segment [PA] et x est la longueur du segment [PM].
Donc quand M est en P : x = 0
quand M est en A : x = 5.
x varie entre 0 et 5.
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b) L’aire du triangle PTM est APTM =
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PM × PT x × 3
=
= 1,5x.
2
2
AM = AP – PM = 5 – x
L’aire du triangle ARM est AARM =
AM × AR (5 – x) × 4
=
= 2(5 – x) = 10 – 2x
2
2
L'aire du triangle PTM est 1,5x et l'aire du triangle ARM est 10 – 2 x.
3.
a) L’aire du triangle ARM est égale à 6 cm2 pour x = 2 cm (cf graphique)
b) Lorsque x est égal à 4 cm, l'aire du triangle ARM vaut 2 cm2. (cf graphique)
4.
a) la fonction : x ï 1,5x est une fonction linéaire. Sa droite représentative passe par le
point (0 ;0).
Calculons les coordonnées d’un autre point de cette droite :
Pour x = 2 : y = 1,5 × 2 = 3.
La droite passe par le point C(2 ; 3).
b) Chercher la valeur de x pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire
revient à chercher pour quelle valeur de x les deux droites se coupent.
Graphiquement et au millimètre près, on trouve 2,9 cm.
c) Par le calcul, on cherche la valeur de x telle que :
APTM = AARM
1,5x = 10 – 2x
1,5x + 2x = 10
3,5x = 10
10
x=
3,5
100
x=
.
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Annexe à rendre avec la copie
aire en cm²
10cm²
9cm²
aire du triangle RMA
8cm²
7cm²
6cm²
5cm²
4cm²
C
3cm²
2cm²
1cm²
0
0,2cm
0,4cm 0,6cm 0,8cm 1cm
1,2cm 1,4cm 1,6cm 1,8cm 2cm
2,2cm 2,4cm 2,6cm 2,8cm 3cm
3,2cm 3,4cm 3,6cm 3,8cm 4cm
4,2cm 4,4cm 4,6cm 4,8cm 5cm
5,2cm 5,4cm
longueur de x en cm
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