Les théorèmes relatifs aux droites passant par les milieux de deux

Les théorèmes relatifs aux droites passant par les milieux de deux côtés d’un triangle
Théorème 1 : La droite passant par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle
au troisième côté.
Démonstration 1 : Utilisation d’une symétrie centrale.
Soient I et J les milieux respectifs des
segments [AB] et [AC].
Soit I’ le symétrique de I par rapport à J.
AI’CI est un parallélogramme car J est le
milieu commun de [AC] et de [II’].
On en déduit que (IB) // (I’C) et que
IB = IA = I’C.
Le quadrilatère II’CB est donc un
parallélogramme et le droite (IJ) est
parallèle à la droite (BC).
Remarque : II’ = 2 IJ = BC.
Démonstration 2 : Réinvestissement des propriétés des triangles rectangles et cercles
circonscrits
Si H est le pied de la hauteur issue de A on
a:
IA = IH car I est le milieu de l’hypoténuse
[AB] du triangle rectangle ABH et de même
JA = JH.
La droite (IJ) est donc la médiatrice de
[AH]. Les droites (IJ) et (BC) sont
perpendiculaires à la même droite (AH) donc
elles sont parallèles.
Démonstration 3 : utilisation des aires
Aire (BIJ) = Aire (AIJ) car la droite
(IJ) est une médiane du triangle ABJ.
De même Aire (CIJ) = Aire (AIJ) .
On a donc
aire ( BIJ) = aire ( CIJ ).
Les points I et J étant dans le même
demi-plan la caractérisation du
parallélisme par les aires permet
d’écrire que (IJ) // (BC).
Théorème 2 : La droite passant par le milieu d’un côté d’un triangle et parallèle à un
autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
Démonstration 4 : utilisation d' une symétrie centrale
Soit d la droite parallèle à la droite
(BC) et qui passe par le milieu J du
segment [AC].
Elle coupe [AB] en un point I. Si I’
est la symétrique de I par rapport au
point J, le quadrilatère AI’CI est un
parallélogramme car ses diagonales
se coupent en leur milieu J.
On a donc :
(BC) // (II’) et (CI’) // (BI)
Par conséquent le quadrilatère II’CB
est
un
parallélogramme
et
IA=I’C=IB. Le point I est donc le
milieu du segment [AB].
Démonstration 5 : réinvestissement du théorème1.
Si I est le milieu du segment [AB] et J celui de [AC], d’après le théorème précédent on a :
(IJ) // (BC)
La droite d passant par J et parallèle à la droite (BC) est donc confondue avec (IJ) car il
n’existe qu’une seule droite passant par J et parallèle à la droite (BC).
Le point I est par conséquent le milieu de [AB].
Remarque : on peut aussi démontrer le théorème 1, en utilisant le théorème 2 démontré
auparavant par la démonstration 4 ou la démonstration 6.
Soit d la droite passant par J et parallèle à (BC). Cette droite coupe [AB] en I milieu de [AB]
d est donc confondue avec ( IJ ) et par conséquent : ( IJ ) // ( BC).
Démonstration 6 : utilisation des aires.
J est le milieu de [AC] donc
aire (AIJ) = aire (ICJ)
La droite (IJ) est parallèle à (BC) donc
aire (IJC) = aire (IJB)
On a donc aire (BIJ) = aire (AIJ)
Ce qui entraîne que I est le milieu du segment
[AB] (caractérisation du milieu par les aires).