Fiche Synthèse Statique - cours complet_2014

Cours 04 - Fiches Synthèses - Statique du Solide
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
Fiche 01 - Modélisation des Actions Mécaniques
(1)
Lorsque l’on étudie
un ensemble de
solides
indéformables, il est
suffisant d’utiliser un
modèle global pour
les actions
mécaniques. Ce
modèle global est
obtenu à partir de
l’intégration de
l’ensemble des
actions élémentaires
sur le domaine du
modèle local. L’intérêt
du modèle global est
qu’il permet de
représenter les
actions mécaniques
sous forme de forces.
Cette modélisation
simplifiée est très
efficace pour la
résolution de
problème de statique
des solides ou de
dynamique des
solides.
On appelle Action Mécanique toute cause susceptible de
provoquer l’équilibre, le mouvement ou la déformation d’un
système matériel. Les actions mécaniques identifiées à ce jour
sont les actions mécaniques à distance et les actions
mécaniques de contact.
En mécanique du solide indéformable toute action mécanique
d’un ensemble matériel E sur un système mécanique S est
modélisé à l’aide d’un modèle global(1) caractérisée par un
torseur d’action mécanique :
 n r 
Fi 
 RE→S  

i =1
{FE→S } = 
=  n
=
r
MA (E→S)  


A
AP ∧ F 
 i=1 i i 
A
∑
∑
n
∑
i =1
r
 Fi 
r

M (F)
A A i 
Action mécanique à distance
Exemple : champ magnétique
Action mécanique de contact
Exemple : Air sur un parachute
Modélisation des actions mécaniques de contact
Modèle local
r
z
r
z
Intégration
r
d F1→2
2
r
x
R1→2
Modèle global
S
A
S : Surface de
contact
r
y
MA (1→2)
r
x
r
y
2
r


R1→2 = d F1→2


(S)
{F1→2 } = 
r 
MA (1→2) = AM ∧ d F1→2 


(S )
A
∫
∫
 R

On modélise par {F1→2 } =  1→2  l’action mécanique du solide 1 sur la surface S du solide 2.
M

A  A (1→2) 
Modélisation des actions mécaniques à distance – Cas de la pesanteur
S
M1
r
z
Modèle local
Modèle global
M2 Intégration
S
G (centre
de gravité)
r
− Ms .g.z 
{Fg→S } =  0r 

G
r
r
Axe z vertical
Rg →S = −Ms .g.z
vers le haut
r
r
r
Force résultante : Rg →S = dP → Rg →S = dm.g → Rg →S = −MS .g.z appliqué en G
r
r
dP = dm.g
Mi
∫
∫
V
V
r
Moment résultant au point A : MA (g →S) = AM ∧ dP soit : {Fg→S } =
∫
V
Florestan MATHURIN
r
 R g→S = −MS .g.z 

r
M

=
AM
∧
d
P
 A(g→S)

V

A
∫
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Cours 04 - Fiches Synthèses - Statique du Solide
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
Fiche 02 - Lois de Coulomb(1)
(1)
aussi appelées lois
du frottement de
glissement
Si la liaison peut être considérée comme parfaite, on définit alors le modèle global suivant.
r
(2)/(1) : Liaison ponctuelle en O de normale (O, z ) entre les solide S2 et S1.
r
r
r
r
n12 = z Modèle global
n12 = z
Réel
r
x
d F1→2
 0 0
Zone de contact
R
1→2
S2
{F1→2 } =  0 0
S2
Z 0
O  12 b
(π)
(S)
S1
(π)
S1
O
Plan tangent
Plan tangent
Si le frottement n’est pas négligeable, il existe une composante tangentielle à l’action
mécanique.
r
r
r
r
n12 = z Modèle global
n12 = z
Réel
r
d F1→2
Tx12 0
R1→2x
r
Zone de contact
N1→2 = Z12 .z
{F1→2 } = Ty12 0
S2
S2
 Z 0
b
I  12
(π)
(S)
S1
S1
I
(π)
r
r
T1→2 = Tx12 .x + Ty12 .y
Plan tangent
Plan tangent
Les lois (expérimentales) de Coulomb permettent de relier les composantes de T1→2 à la
composante normale Z12 . Il existe deux cas de figure :
1ère loi de Coulomb :
r
Glissement en I → VI , S2 / S1 ≠ 0
r
r
n12 = z
On définit un coefficient de frottement f tel que f =
tanφ où φ est le demi angle au sommet du cône de
frottement.
• La composante tangentielle T1→2 est opposée à
R1→2
S2
VI, S2 / S1
I
(π)
Non glissement en I → VI , S2 / S1
S1
T1→2
• On connait exactement T1→2 : T1→2 = f. N1→2
2ème loi de Coulomb :
N1→2
Cône de
frottement
φ
la vitesse de glissement VI , S 2 / S1 .
• R1→2 est toujours sur le cône de frottement.
x
r
r
n12 = z
r
=0
R1→2
On définit un coefficient d’adhérence f0 tel que f0 =
tanφ0 où φ0 est le demi angle au sommet du cône
d’adhérence.
S2
x
N1→2
Cône
d’adhérence
φ0
• R1→2 est toujours dans le cône d’adhérence.
• On ne connait pas exactement T1→2 :
I
(π)
S1
T1→2
T1→2 ≤ f0 . N1→2
Florestan MATHURIN
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Fiche 03 - Résolution de Problèmes de Statique
Notion de Référentiel Galiléen
(1)
sa trajectoire est
donc une droite
(2)
sa vitesse est
constante
Un référentiel Galiléen est l’association d’un repère géométrique et d’un repère temporel pour
lequel le Principe Fondamental de la Statique est vrai. En SII, on considère Galiléen :
• Tout repère fixe (i.e. sans mouvement) par rapport à la Terre.
• Ou tout repère en mouvement de translation rectiligne(1) uniforme(2) par rapport à la
terre.
Equilibre
Un système E est en équilibre dans un référentiel Galiléen si, au cours du temps, chaque point
de E conserve la même position part rapport au repère géométrique du référentiel.
Enoncé du Principe Fondamental de la Statique (PFS)
La condition nécessaire pour qu’un système matériel E soit en équilibre par rapport à un
référentiel Galiléen est que la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures à E
soit nulle.
r
 R
 0
E→E 
FE→E = { 0} →

 =  r  où A est un point quelconque
MA(E→E)  A 0


A
∑{
}
∑
Lorsque l’on somme des torseurs ces derniers doivent tous être écrits au même point !
La condition
∑ {F } = { 0} est une condition nécessaire mais
E→E
pas suffisante !
Equilibre de E
∑ {F } = { 0}
E→E
Théorèmes généraux de la statique - Traduction vectorielle du PFS
(3)
2 équations du
thm de la résultante
statique projetée sur
les 2 axes de la base
appartenant au plan +
1 équation du thm du
moment statique
ème
projetée sur le 3
axe la base normal au
plan
L’énoncé du PFS conduit à l’écriture de deux équations vectorielles soit :
r
• Le théorème de la résultante statique : RE→E = 0
r
• Le théorème du moment statique : MA (E→E) = 0
Le théorème de la résultante statique et le théorème du moment statique sont ensuite
projetés sur les 3 axes d’une même base, ce qui conduit à 6 équations scalaires dans le cas
d’un problème spatial.
Dans le cas d’un problème plan, l’application du PFS ne peut fournir au maximum que 3
équations scalaires(3).
Théorème des actions réciproques : {F2→1 } = −{F1→2 }
Cas particulier d’un système matériel E soumis à 2 forces
Si un système matériel en équilibre subit l’action unique de 2 forces alors ces forces ont
même norme et sont directement opposées.
Florestan MATHURIN
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Cours 04 - Fiches Synthèses - Statique du Solide
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Démarche de résolution :
(4)
En mécanique du
solide, c’est souvent
exclusivement limité à
l’action de la
pesanteur.
(5)
Concernant les
actions de contact, il
faut lister les
différentes liaisons
avec l’extérieur et
bien sur connaître les
modèles d’actions
mécaniques de liaison.
Lorsque l’on applique le PFS, les différentes étapes ci-dessous sont toujours les mêmes :
Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides considérés (E).
Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou problème spatial, problème
symétrique).
Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) appliquées sur (E)
comprenant :
• Les actions mécaniques à distance (4).
• Les actions mécaniques de contact (5).
Le bilan des actions mécaniques extérieures est parfois grandement facilité par le graphe
d’analyse.
Pour le bilan des actions mécaniques, trois outils peuvent être utilisés suivant le type de
problèmes : l’outil torseur (plutôt pour les problèmes dans l’espace), l’outil vecteur (plutôt pour
les problèmes plans), l’outil graphique (utile principalement pour les problèmes plans et
permettant de visualiser le problème).
(6)
Pour l’équation des
moments, on choisit
judicieusement le
point d’expression.
(7)
Dans certains
problèmes, il n’est
parfois pas utile
d’écrire toutes
équations scalaires.
Seule une ou une
partie des équations
peut être utile pour
déterminer une
inconnue.
Etape 4 : On écrit le PFS(6).
Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout le système d’équations scalaires
pour déterminer les inconnues du problème (7).
On réitère ces 5 étapes si plusieurs isolements sont nécessaires pour résoudre le problème.
Florestan MATHURIN
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