Principe Fondamental de la Statique

Principe Fondamental
de la
Statique
13/08/2012
Principe fondamental de la Statique
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REVENONS AU PFD…
PFD
PFS
RÉSOLUTION PB
Résultante mécanique = Résultante dynamique
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
Moment mécanique = Moment dynamique
• 2 FORCES
• 3 FORCES
On peut aussi écrire en utilisant les torseurs:
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
PLAN DE
SYMÉTRIE
Que devient ce principe s’il n’y a pas de mouvement du solide S ?
Evidemment :
Donc :
Avec A, point quelconque appartenant au repère lié à S
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PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
PFD
PFS
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
Un système matériel (S) est en équilibre par rapport à un repère (R) si la
somme des torseurs des actions mécaniques extérieures s'appliquant sur (S)
est égale au torseur nul
• 2 FORCES
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
Avec A, point quelconque appartenant au repère lié à S
PLAN DE
SYMÉTRIE
Théorème de la résultante :
Si (S) est en équilibre par rapport à un repère
fixe, la résultante générale des actions
mécaniques extérieures à (S) est nulle :
Théorème du moment résultant :
Si (S) est en équilibre par rapport à un repère
fixe, le moment résultant en un point A
quelconque, des actions mécaniques
extérieures à (S) est nul :
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RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD
PFS
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
• 2 FORCES
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
PLAN DE
SYMÉTRIE
Résoudre un problème de statique revient à définir entièrement les actions mécaniques
extérieures s’appliquant à un système isolé.
Frontière de l'étude :
Le système (S) considéré doit être parfaitement délimité. Il peut comprendre une ou plusieurs
pièces ou partie(s) de pièce.
Tout ce qui n'est pas (S) et qui agit sur (S) est dit "extérieur" à (S) et sera noté ( S )
La frontière d'isolement permet de distinguer (S) de ( S )et facilite la prise en compte des
différentes actions mécaniques extérieures qui agissent sur (S) .
Isoler un système consiste à diviser l'univers en deux parties :
• d'une part le système matériel considéré, objet de votre étude :
• d'autre part, l'extérieur, c'est-à-dire tout ce qui n'est pas le système matériel considéré
Actions mécaniques extérieures / intérieures :
Sachant qu'en isolant un système matériel, on a définit une frontière qui divise l'univers en
deux parties : les actions mécaniques s'exerçant sur les composants de votre système
matériel vont être soit extérieures, soit intérieures à votre système.
Considérons les 3 solides S1, S2, S3 et le système matériel E = {S1 + S2} alors
S3
S1
• l'action mécanique exercée par S3 sur S2 sera extérieure à E
• l'action mécanique exercée par S1 sur S2 sera intérieure à E
S2
Pour les problèmes de mécanique que vous aurez à traiter, seules les
actions mécaniques extérieures s'exerçant sur le système matériel
isolé seront à prendre en compte
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RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD
PFS
Ces techniques de résolution s’appliquent exclusivement aux problèmes plan faisant intervenir
des actions mécaniques modélisables par des glisseurs coplanaires.
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
• 2 FORCES
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
PLAN DE
Un glisseur est un torseur dont le champ des moments
s'annule en au moins un point. Sa résultante a donc le même
effet en tous points de sa ligne d’action
A
SYMÉTRIE
Equilibre graphique d’un ensemble matériel soumis à deux actions mécaniques
Considérons le système matériel (S) soumis à deux
actions mécaniques modélisables par des glisseurs, on
montre que :
Un système matériel soumis à deux glisseurs de
résultantes
et
est en équilibre si et seulement si :
A
B
+
=
=
et
ont même support
On dira que les résultantes sont
directement opposées
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RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD
PFS
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
• 2 FORCES
Equilibre graphique d’un ensemble matériel soumis à trois actions mécaniques
Considérons le système matériel (S) soumis à trois actions
mécaniques modélisables par des glisseurs, on montre que :
En tous points P de la ligne d’action de
B
,
A
En tous points L de la ligne d’action de
,
I
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
PLAN DE
SYMÉTRIE
Il existe donc un point I, commun aux
deux lignes d’actions, pour lequel :
C
En ce point I, la somme de moments des actions
mécaniques devant être nulle, nous avons forcement :
Donc :
Si
n’est pas nulle alors, la ligne d’action de
forcement par le point I
passe
Un système matériel soumis à trois glisseurs est en équilibre si et seulement si :
- Le polygone formé par les résultantes est fermé. Ce polygone s'appelle dynamique des forces.
(c'est la traduction graphique du théorème de la résultante statique)
- Les supports des trois résultantes sont coplanaires et concourants en un même point.
(c'est la traduction graphique du théorème du moment statique)
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RÉSOLUTION ANALYTIQUE DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD
PFS
Considérons le système matériel (S) soumis à trois actions mécaniques
exercées par (1), (2) et (3).
• 2 FORCES
B
A
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
(2)
(1)
Soit ci-dessous les éléments de réduction en un point O des torseurs
modélisant ces actions mécaniques :
(S)
C
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
(3)
PLAN DE
SYMÉTRIE
Le Principe Fondamental de la Statique exprimé en O s'écrit :
3
On peut donc aussi l’écrire :
Théorème de la résultante
Théorème du moment résultant
Résoudre un problème de statique de façon analytique revient à trouver toutes les inconnues d’un
système de 6 équations
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NOTION DE PLAN DE SYMÉTRIE
PFD
PFS
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
• 2 FORCES
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
PLAN DE
SYMÉTRIE
Dans le cas où le système admet un plan de symétrie
et pour la géométrie du système
et pour les actions mécaniques,
on dit que le problème est plan.
Les torseurs associés aux actions mécaniques sont
réductibles :
• à des glisseurs dont l'axe appartient au plan de
symétrie
• à des couples orientés suivant la direction orthogonale
au plan de symétrie
Exemple:
Un tel système conduit à écrire seulement trois équations
algébriques traduisant analytiquement l'équilibre du
système matériel isolé.
Ici, par exemple :
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Le principe Fondamental de la Statique
FIN
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