TD optique 2 - CPGE Brizeux

PSI Brizeux
EXERCICES Optique physique 2
Michelson et diffraction
 O21 Interféromètre de Michelson
On raisonne sur l’interféromètre de Michelson réglé de telle sorte que l’on observe des anneaux avec une
source étendue. La lumière utilisée est une source monochromatique de longueur d’onde λ = 589 nm.
1°) Préciser la position relative des miroirs.
2°) On veut observer ces franges sur un écran placé à 1,5 m des miroirs à l’aide d’une lentille placée à la sortie
de l’interféromètre.
Comment doit-on placer l’écran par rapport à la lentille ?
On dispose de lentilles de distance focale 10 cm, 50 cm et 1m. Laquelle permettra d’obtenir les anneaux
projetés de plus grande taille ?
- Partant du réglage pour lequel la figure observée est uniformément éclairée et de même couleur que la source
(teinte plate), on translate l’un des miroirs de 1 mm. Calculer le rayon sur l’écran des 5 premiers anneaux brillants.

 O22 Mesure d’une distance avec un Michelson
1°) Décrire le montage utilisant un interféromètre de Michelson permettant d’obtenir à partir d’une source
étendue, les franges du coin d’air observées à l’aide d’un viseur.
On utilise ce montage par la suite.
2°) La source lumineuse est une lampe à incandescence (lampe blanche). Quelle est la figure d’interférences
observée ?
On place ensuite un filtre jaune ne laissant passer que les longueurs d’onde voisine de 0,55 µm.
3°) Si la distance mesurée entre deux franges à l’aide du micromètre du viseur est de 0,11 mm, quel est l’angle
entre les miroirs ?
4°) Sous l’action d’une contrainte, un des bras du Michelson s’allonge. La position de la frange centrale vue
dans le viseur s’est décalée de 0,2 mm. Quelle est l’élongation du bras ? Sachant que l’on peut apprécier un
déplacement d’1/10ème d’interfrange, quelle est la précision de la mesure ?
 O23 Franges d’égales inclinaisons observées à l’interféromètre de Michelson
Un interféromètre de Michelson est éclairé par une source ponctuelle et monochromatique de longueur d’onde
0,4427 µm. On suppose que les deux miroirs sont perpendiculaires et que leur distance à la séparatrice diffère de 1
cm.
On observe le phénomène d’interférence dans le plan focal P d’une lentille mince convergente L de focale f’ =
1 m.
1°) Montrer que les franges d’interférence obtenues en P sont des anneaux. Calculer les rayons des 5 premiers
anneaux brillants.
2°) Calculer la demi-largeur des anneaux. On la définit en disant que si, dans la direction du maximum
d’intensité celle-ci vaut IM , on trouve à demi-largeur IM/2.
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 O24 Bande passante d’un filtre
On cherche à mesurer la bande passante Δλ d’un filtre jaune. On utilise pour cela un interféromètre de
Michelson.
1 – Qu’appelle-t-on longueur de cohérence temporelle d’une source ? Quel est son rôle dans les conditions
d’observation des franges d’interférences ?
2 – A partir de la situation pour laquelle les deux miroirs de l’interféromètre de Michelson sont parfaitement
perpendiculaires et à même distance de la lame séparatrice, on translate le miroir « chariotable » d’une distance e.
Montrer, à l’aide d’un schéma que le phénomène d’interférences observé est équivalent à celui d’une lame d’air à
faces parallèles.
3 – On considère un rayon incident d’angle d’incidence i faible (devant le radian). Faire un tracé des rayons
émergents de l’interféromètre associés à cet incident. Où vont-ils interférer ? On place un écran à 1 m de
l’interféromètre. Comment observer la figure d’interférences dans ces conditions ?
4 – L’interféromètre est éclairé par une source de lumière blanche devant laquelle on interpose le filtre
étudié. Au centre de la figure d’interférences, on place un capteur photoélectrique qui donne une tension
proportionnelle à l’intensité lumineuse qu’il reçoit.
Cette tension est enregistrée à l’aide d’un logiciel d’acquisition. On « chariote » un miroir du Michelson en
couplant sa vis de translation à un moteur à vitesse de rotation très faible et constante.
Au début de l’enregistrement, de durée totale 5 mn, la vis micrométrique du Michelson indique X1 = 38,61
mm. À la fin, X2 = 38,53 mm.
Le résultat de l’acquisition est donné figure 1.
4 – 1 En interpréter la forme.
4 – 2 Un « zoom » de la partie la plus intéressante est présenté figure 2.
figure 1
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figure 2
Déduire de ces deux enregistrements la longueur d’onde centrale du filtre ainsi que sa bande passante.
 O25 Doublet du mercure
On cherche à mesurer l’écart Δλ et la longueur d’onde moyenne du doublet du mercure. On utilise pour cela
un interféromètre de Michelson.
L’interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de mercure devant laquelle on interpose un filtre
interférentiel selectionnant le doublet du mercure. Au centre de la figure d’interférences, on place un capteur
photoélectrique qui donne une tension proportionnelle à l’intensité lumineuse qu’il reçoit.
Cette tension est enregistrée à l’aide d’un logiciel d’acquisition. On « chariote » un miroir du Michelson en
couplant sa vis de translation à un moteur à vitesse de rotation très faible et constante.
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Au début de l’enregistrement, de durée totale 20 mn, la vis micrométrique du Michelson indique X1 = 37,77
mm. À la fin, X2 = 35,21 mm.
Le résultat de l’acquisition est donné figure 1.
1°) En interpréter la forme.
2 °) Un « zoom » d’une partie intéressante est présenté figure 2.
figure 1
figure 2
Déduire de ces deux enregistrements la longueur d’onde centrale du doublet du mercure ainsi que Δλ.
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 O26 Mesures interférentielles
Un interféromètre de Michelson est éclairé avec une source à vapeur de sodium que nous assimilerons à une
source monochromatique de longueur d’onde λ = 589 nm. Les deux miroirs ont un diamètre de 20 mm et
l’interféromètre est réglé en coin d’air. L’écran est parallèle à un des deux miroirs et situé à 1,25 m de ce miroir.
0
D = 8 cm
D = 8 cm
Figure 1
Figure 2
1°) Parmi les deux photos d’écran suivantes, laquelle correspond au réglage effectué ?
Quelle lentille est utilisée pour projeter les franges ? On précisera sa distance focale et sa position.
En exploitant la photo, évaluer l’angle α du coin d’air.
2°) Une autre expérience est réalisée avec le même interféromètre et la même source et des réglages a priori
différent. L’expérimentateur a placé un briquet devant un des deux miroirs et envoyé un jet de gaz. Une photo
d’écran a été prise (figure 3). Quelles sont les mesures pertinentes à effectuer afin de déterminer l’indice du gaz ?
Figure 3
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 O26b Franges d’égale épaisseur observées au Michelson (CCP)
Pour un TP d’optique, on dispose de : un interféromètre de Michelson, une source de lumière blanche, une
lampe spectrale (λ=589 nm), un condenseur, un diaphragme à iris, une fente fine rectangulaire, 4 lentilles de
focale 20 cm, 100 cm, -5 cm et -100 cm.
On observe sur un écran des franges rectilignes d’interférences :
1°) Représenter le montage expérimental permettant d’obtenir cette figure d’interférences sur un écran. Vous
justifierez le choix du matériel utilisé par le tracé de rayons lumineux.
2°) La distance entre les miroirs de l’interféromètre et l’écran est d’environ 2 m. Pensez-vous qu’il soit
nécessaire d’utiliser une lentille pour observer la figure d’interférence ? Pourquoi ?
3°) On observe un système de franges rectilignes d’interférences. On place un jet gazeux d’indice ngaz de
largeur constante d ~3mm parallèlement à un miroir et perpendiculairement à l’autre.
On obtient la figure déformée suivante :
Evaluer n gaz " n air .
Questions subsidiaires : type d’interférences obtenues en lumière blanche ; en configuration lame d’air.
!  O2 Anneaux de Newton
7
Une lentille plan convexe L est en contact
par sa face sphérique, de rayon R = 2 m, avec
une glace plane P. Le rayon de la face plane
circulaire de L est y =1 cm.
Imaginer un dispositif optique permettant
d'éclairer le système par un faisceau parallèle
monochromatique en incidence normale, et
d'observer l'image de la lame d'air comprise
entre L et G.
Montrer qu'on observe, au voisinage de cette lame, des anneaux d'interférences.
Calculer le nombre d'anneaux sombres observables pour λ = 589 nm.
Que se passe-t-il si le contact entre L et G n'est pas parfait ?
L
G
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 O28 Anneaux d’interférence
On éclaire une lame de verre à faces parallèles d’épaisseur e et d’indice n avec une source S ponctuelle et
monochromatique de longueur d’onde dans le vide " 0 . On utilise le montage suivant où l’on considère qu’au delà
de deux réflexions dans la lame de verre, l’intensité lumineuse est trop atténuée pour être observée. La droite (SO)
est confondue avec l’axe optique de la lentille.
(L)
!
M
S
O
e
f’
1. Justifier qualitativement que ce dispositif permet l’observation d’interférences lumineuses à deux ondes en
tout point M de l’écran et que les franges sont circulaires centrées sur O.
2. Est-il indispensable que la source soit ponctuelle ?
3. Évaluer le rayon du premier anneau brillant.
On donne " 0 = 546,1 nm, f’ = 1,0 m, e = 1,0 mm et n = 1,5.
 O29 Monochromateur à réseau
!
L0
R
x
onde monochromatique
L1
F1
L2
source blanche
La figure ci-dessus représente un monochromateur à réseau, c’et à dire un dispositif permettant d’obtenir une
onde quasi-monochromatique à partir d’une lampe blanche ; le réseau par réflexion, de plan R, possède les
caractéristiques suivantes : nombre de traits par millimètre : n = 500 et nombre total de traits : N = 10000.
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Les lentilles L1 et L2 permettent, avec la fente source F1, d’éclairer le réseau R sous l’incidence i. La lentille L0,
de distance focale f’ = 1m, a son axe normal au plan R ; en son foyer O se trouve la fente F0 ; les angles sont
comptés positivement dans le sens trigonométrique.
1°) Quelle valeur doit-on donner à l’angle d’incidence i pour obtenir sur la fente FO la radiation de longueur
d’onde λ0 = 0,5µm dans le spectre d’ordre 2 ?
Dans la question suivante, on gardera cette incidence.
2°) Pour une longueur d’onde λ différente de 0,5µm, les rayons diffractés par le réseau dans l’ordre 2
convergent en un point du plan focal de L0 d’abscisse x.
Donner une expression approchée de x en fonction de λ - λ0 si l’on considère des longueurs d’onde λ très
voisines de λ0.
Donner à ce résultat une forme semi-numérique avec x en millimètre et λ-λ0 en µm.
 O210 Spectroscopie à réseau
On considère un goniomètre à réseau plan utilisé en transmission. L’éclairage est effectué en lumière parallèle
sous incidence i ; l’observation se fait à l’infini.
1°) Ecrire la formule des réseaux donnant l’ensemble des angles d’émergence i’ où l’on observe une raie
lumineuse, lorsque le rayonnement incident est un faisceau de lumière parallèle et monochromatique (on fera
intervenir l’ordre d’interférence p).
2°) Pour un ordre donné, mettre en évidence l’existence d’un minimum de déviation et indiquer les conditions
de son obtention. Quel est l’intérêt expérimental de travailler dans ces conditions ?
3°) Dans l’ordre p = 2, on désire séparer les deux raies jaunes du sodium (λ2 = 589,6 nm et λ1 = 589 nm) ; la
largeur de la zone de réseau éclairé est d = 3 cm ; l’observation s’effectue dans le direction normale au réseau.
Discuter le choix des caractéristiques du réseau.
λ
On donne la largeur à mi-hauteur angulaire d’un pic correspondant à une longueur d’onde λ : Δi’ =
où N est
Na
le nombre de traits éclairés et a le pas du réseau.
%
2#
' i' = 0 " sin i = a < 1 " a > 1,18µm
Réponses : 3°) &
' 2$# > # " a < 2$# .d " a < 61,1µm
'( a
Na
#
 O211 Mesure d’un longueur d’onde par un spectromètre à réseau
!
Un réseau de pas a est éclairé par une source de longueur d’onde λ0 = 0,5461 µm sous incidence quasinormale. Pour les ordres ±1 et ±2, on donne les valeurs des angles réfractés :
-
k=1
k=-1
k=2
k = -2
θ1 = 23°12’
θ = − 19°30’
θ2 = 49°18’
θ 2 = -44°15’
−1
−
Déterminer l’angle d’incidence du faisceau incident. Calculer le pas du réseau et le nombre de traits
par mm.
On éclaire le réseau avec une longueur d’onde inconnue λ1. On obtient θ1 = 37°41’ et θ-1 = -37°43’.
Calculer λ1.
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 O212 Batterie de haut-parleurs
Deux haut-parleurs (HP) émettant des ondes sonores cohérentes et de même intensité, sont disposés à une
distance b = 1,0 m l’un de l’autre. Les HP sont assimilés à des sources sonores ponctuelles. Des auditeurs sont
disposés en arc de cercle autour de ces HP à une distance d >>b.
S2
b
S1
!
x
Déterminer le nombre d’auditeurs qui n’entendront pas un signal sonore de 440 Hz.
2. Cette fois, c’est une colonne de 10 haut-parleurs, de hauteur L qui est disposée verticalement pour sonoriser
un spectacle en plein air. Les 10 haut-parleurs sont identiques, équidistants (SiSi+1 = b =1,0 m ) et émettent des
ondes sonores cohérentes.
Un auditeur éloigné dans la direction formant l’angle θ avec l’horizontale perçoit le son émis par les 10 hautparleurs dont l’intensité est représentée ci-dessous en fonction de sin(θ) pour une fréquence f1.
Pour quelle fréquence f1 ce graphe de l’intensité a-t-il été tracé ?
3. Lorsque la colonne de haut-parleurs diffuse de la musique, un auditeur placé dans une direction θ donnée,
n’observe jamais l’extinction totale du son, mais plutôt une déformation du son. Expliquer.
4. En plaçant tous les auditeurs dans une ouverture angulaire de ± 30° autour de la direction θ = 0 quelle serait
la distance à donner entre les HP pour que tous les auditeurs entendent un signal comportant des fréquences dans
la plage 20 Hz – 10 kHz sans déformation ?
5. Calculer, pour b = 1,0 m la fréquence critique fc correspondant à la plus petite fréquence pour laquelle le
premier angle d’extinction du son est de 90°. Conclure quant aux conditions d’une bonne écoute.
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 O213 Interférences et mesure de pression
Un interféromètre de Michelson réglé en lame d’air d’épaisseur e = 5,4 mm est éclairé avec un laser (λ =
632 nm). On observe dans le plan focal d’une lentille convergente (de focale f’) une douzaine d’anneaux.
Pour la pression initialement égale à P0 = 101300 Pa, l’indice de l’air est alors n0 = 1,00029. L’air vérifie
la loi de Gladstone reliant l’indice n et la masse volumique µ : (n – 1)/µ = Cte. On admet que l’on peut
apprécier un déplacement des anneaux de 1/10 de frange. On pourra faire des hypothèses supplémentaires
justifiées.
1) a) Exprimer la différence de marche en fonction de la distance r au centre de l’écran.
b) Calculer la plus petite variation de pression qui provoque, à température fixée, un déplacement
appréciable des franges.
2) L’air subissant une détente adiabatique considérée comme réversible, de Δp = 1500 Pa à partir de l’état
initial, calculer le déplacement des anneaux, en interfranges. On donne γ = 1,4 pour l’air. Commenter le résultat
et proposer éventuellement un moyen d’améliorer la mesure.
 O214 Gyromètre optique
Un gyromètre est un dispositif destiné à mesurer, à
chaque instant, la vitesse angulaire de rotation du
support sur lequel il est fixé autour d’un axe
perpendiculaire à celui-ci. On se propose d’établir une
équivalence entre un interféromètre de Michelson réglé
dans les conditions d’une lame d’air.
L’éclairage de l’interféromètre est effectué en
lumière parallèle et monochromatique (longueur
d’onde λ), d’intensité I0, suivant la direction xx’. S
représente l’ensemble « séparatrice + compensatrice »
supposé parfait. Un détecteur D, délivrant un signal
proportionnel à l’éclairement reçu, est placé au foyer
de la lentille L.
D
z'
lumière incidente
A
O
x'
x
S
A'
M
M'
z
1°) Dans les conditions de réglage définies ci-dessus,
- définir et exprimer la différence de marche, puis le retard temporel entre les ondes
interférant en D ;
- exprimer l’intensité reçue en D.
La constitution d’un gyromètre peut être schématisée, moyennant quelques simplifications, comme indiqué cidessous.
L’éclairage du dispositif a les mêmes caractéristiques que précédemment. Après division d’amplitude par S, les
deux ondes obtenues parcourent N spires circulaires de rayon R (milieu assimilé au vide pour simplifier) , les
faisceaux émergents, après une nouvelle division par S, interfèrent en D. Lorsque le dispositif est animé d’une
vitesse de rotation Ω autour de l’axe y, on constate qu’une différence de marche apparaît entre les faisceaux reçus
en D.
2°) Dans cette question, on s’intéresse à l’intervalle de temps pendant lequel la lumière parcourt un tour (une
seule spire), dans le référentiel lié au support.
Montrer que le chemin parcouru dans le référentiel lié à (x,y,z) est supérieur au périmètre de
la spire, selon le sens de rotation considéré.
En déduire les temps de parcours correspondants en fonction de R, c et Ω.
Exprimer le retard Δt puis le déphasage Δφ entre les ondes interférant en D ; on pourra faire
un d.l. à l’ordre 1 en Ω.
3°) Pour le dispositif complet, on assimile le déphasage total obtenu à N.Δφ . En déduire l’expression de
l’intensité I reçue en fonction de Ω. Tracer le graphe de la fonction I/I0 en fonction de Ω. Commenter.
PSI Brizeux
A.N. : λ = 580 nm ; R = 0,5 m ; N = 1000.
A-t-on accès au signe de Ω. Si non, que peut-on proposer pour y remédier ?
4°) Comment sont modifiés les résultats précédents si l’onde incidente n’est plus rigoureusement
monochromatique mais présente un spectre à profil rectangulaire de largeur Δλ autour de λ0 ?
D
z'
lumière incidente
O
N spires
x
y