tes suites sujets de bac algorithmes - Pagesperso

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TES
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C
SUITES
EXTRAITS SUJETS DE BAC
Liban Mai 2013
PARTIE A : On considère la suite un définie par u0 = 10 et pour tout entier n par un+1 = 0.9un + 1.2
1)
2)
On considère la suite un définie par pour tout entier n, on pose vn = un − 12
a)
Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b)
Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = −2x 0.9n + 12
Déterminer la limite de la suite (vn) et en déduire celle de la suite (un).
PARTIE B : En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont
montré que chaque année :
• 10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
• 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
1)
2)
3)
4)
2
C
Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) où un désigne le nombre de milliers d’habitants de la
ville de Bellecité l’année 2012+n.
Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à
venir.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année 2012+n.
VARIABLES :
a, i, n du type nombre
INITIALISATION :
Choisir n
a prend la valeur 10
TRAITEMENT :
Pour i allant de 1 à n
a prend la valeur ….
SORTIE
Afficher a
n
Résoudre l’inéquation 12 – 2.0.9 > 11.5.
En donner une interprétation.
Métropole (sujet dévoilé) Juin 2013.
Un industriel étudie l’évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu’il l’a
achetée, elle pouvait produire 120 000 jouets par an. Du fait de l’usure de la machine, la production diminue de 2% par an.
On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l’année (2000+n) par une suite (Un). On a donc U0 = 120000.
n
1) Montrer que, pour tout entier naturel n : Un = 120000×0,98 .
2) Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ?
3) Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100 000.
4) Cet industriel décide qu’il changera la machine lorsqu’elle produira moins de 90 000 jouets par an. Recopier et compléter
l’algorithme ci-dessous afin qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel n tel que Un < 90000.
VARIABLES :
A réel
n du type nombre
INITIALISATION :
A prend la valeur 120 000
n prend la valeur 0
TRAITEMENT :
Tant que A ≥ 90 000
n prend la valeur ….
…
SORTIE : Afficher n
5)
6)
7)
n
Exprimer 1 + 0,98 + 0,98² + ………..+ 0.98 en fonction de n.
On pose Sn =U0 + U1 + U2 + ……. + Un.
Montrer que Sn = 6000000×(1−0,98n+1)
En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production.
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SUITES
Polynésie Juin 2013.
La production des perles de cultures de Tahiti est activité économique importante pour la Polynésie Française.
Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros :
Années
2008 2009
2010
2011
Valeurs brutes des produits perliers 8195 66052 64690 63182
(en milliers d’euros)
Source : ISPF (Institut de Statistiques de Polynésie Française)
1) Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre
2008 et 2011 est de – 8.06 % arrondi au centième.
On admet pour la suite de l’exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.
2) On considère l’algorithme suivant :
ENTREE
Saisir un nombre P
INITIALISATION :
Affecter la valeur 0 à la variable N
Affecter la valeur 63182 à U
Tant que U > P
N prend la valeur N + 1
U prend la valeur U x 0.92
Fin tant que
SORTIE
Affecter la valeur N + 2011 à N
Afficher N
Si on saisit P = 50 000 en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la
production de perles.
3) Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite (un).
On note u0 le montant en 2011, en milliers d’euros, et un le montant en 2011+n, en milliers d’euros.
On a donc u0 = 63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.
a) Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) Exprimer, pour tout entier naturel n, un en fonction de n.
c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ?
On arrondira le résultat au millier d’euros.
4) Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011
(comprise) jusqu’à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d’euros.
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Pondichéry Avril 2013
er
Le 1 janvier 2000, un client a placé 3000 € à intérêts composés au taux annuel de 2.5%.
er
On note Cn le capital du client au 1 janvier de l’année 2000 + n, où n est un entier naturel.
1) Calculer C1 et C2. Arrondir les résultats au centime d’euro.
n
2) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. En déduire que pour tout nombre entier naturel n, on a : Cn = 3000 x 1.025 .
3) On donne l’algorithme suivant :
Entrée : Saisir un nombre S supérieur à 3000
Initialisation : Affecter à n la Valeur 0
Affecter à U la valeur 3000
Traitement : Tant que U ≤ S
Affecter à n la valeur N +1.
Affecter à U la valeur 1.025×U.
Fin Tant que
Sortie : Afficher 2000 + n.
a) Pour la valeur S = 3300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront
arrondis à l’unité.
Valeur de n
0
1
……..
Valeur de U
3000
……..
Condition U ≤ S
Vrai
………
b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3300.
c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme
quand on saisit un nombre S supérieur à 3000.
er
4) Au 1 janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 €. Montrer que le capital de son placement n’est pas
suffisant à cette date.
er
5) Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1 janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial
multiplié par 10.
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SUITES
Amérique du Nord Mai 2013.
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir
100 000 ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de
l’ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A :
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter 6 000 ouvrages
neufs. On appelle un le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 + n).On donne u0 = 42.
1) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un+1 = un ×0,95 + 6.
2) On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
VARIABLES :
U, N du type nombre
INITIALISATION :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
TRAITEMENT :
Tant que U < 100
U prend la valeur U x 0.95 + 6
N prend la valeur N + 1
Fin tant que
SORTIE
Afficher N
À l’aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
Partie B :
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu
des 6 000 prévus. On appelle vn le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 + n).
1) Identifier et écrire la ligne qu’il faut modifier dans l’algorithme pour prendre en compte ce changement.
2) On admet que vn+1 = vn × 0,95 + 4 avec v0 = 42.
On considère la suite (wn) définie, pour tout entier n, par wn = vn −80.
Montrer que (wn) est une suite géométrique de raison q = 0,95 et préciser son premier terme w0.
n
3) On admet que, pour tout entier naturel n : wn = −38×(0,95) .
a) Déterminer la limite de (wn).
b) En déduire la limite de (vn).
c) Interpréter ce résultat
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Centres Etrangers 2013.
Les services de la mairie d’une ville ont étudié l’évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5% de la population
quitte la ville et 1 200 personnes s’y installent. En 2012, la ville comptait 40 000 habitants. On note Un le nombre d’habitants de la
ville en l’année 2012+n. On a donc U0 = 40000. On admet que la suite (Un) est définie pour tout entier naturel n par Un+1 =
0,875×Un+1200. On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par Vn =Un −9600.
1)
La valeur de U1 est :
2)
La suite (Vn) est :
3)
a) Géométrique de raison -12.5% b) Géométrique de raison 0.875
c) Géométrique de raison -0.875 d) Arithmétique de raison - 9600
La limite de la suite (Un) est :
a) +∝ b) 0 c) 1200 d) 9600
On considère l’algorithme suivant :
a)
4)
6200
b)
3500
c)
36200
d)
46200
Variables : U, N
Initialisation : U prend la valeur 40 000
N prend la valeur 0
Traitement : Tant que U > 10 000
Affecter à n la valeur N +1.
Affecter à U la valeur 0.875×U + 1200.
Fin Tant que
Sortie : Afficher N.
Cet algorithme permet d’obtenir :
5)
a) La valeur de U40000
b) Toutes les valeurs de U0 à Un
c) Le plus petit rang n pour lequel Un ≤ 10 000 d) Le nombre de termes inférieurs à 1200
La valeur affichée est :
a) 33 b) 34 c) 9600 d) 9970.8
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SUITES
Asie juin 2013.
Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est constitué de 70% des abonnés de
l’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux abonnés. Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600.
1) Calculer le nombre d’abonnés en 2011 et 2012.
2) On définit la suite (un) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,7un +210.
On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (un).
1
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9
A
n
0
B
un
Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer u1 ; cette formule « tirée vers le bas » dans la colonne devra permettre de
calculer les valeurs successives de la suite (un).
3) On pose, pour tout entier naturel n : vn = un −700.
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme.
n
b) Justifier que pour tout entier naturel n, un = 700−100×0,7 .
4) Soit n un entier naturel.
n
a) Démontrer que un ≥ 697 est équivalent à 0,7 ≤ 0,03.
b) Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant :
Variables : N est un nombre entier naturel
Initialisation : Affecter à N la Valeur 0
Traitement : Tant que U > 0,03
Affecter à N la valeur N +1.
Affecter à U la valeur 0,7×U.
Fin du Tant que
Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera tourner l’algorithme).
n
c) Retrouvez ce résultat en résolvant l’inéquation 0,7 ≤ 0,03.
d) En utilisant l’étude précédente de la suite (un), déterminer à partir de quelle année le nombre d’abonnés atteindra
au moins 697.
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Métropole Septembre 2013.
Le responsable du foyer des jeunes d’un village a décidé d’organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il
a recueilli 110 inscriptions. D’après les renseignements pris auprès d’autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que
d’une année sur l’autre, 90% des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées. On désigne par un le
nombre d’exposants en (2012+n) avec n un entier naturel. Ainsi u0 est le nombre d’exposants en 2012, soit u0 = 110.
1) Quel est le nombre d’exposants attendu pour 2013 ?
2) Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,9un +30.
3) Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d’exposants ne peut pas excéder 220. Recopier
et compléter l’algorithme proposé ci-dessous afin qu’il permette de déterminer l’année à partir de laquelle
l’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d’inscription.
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
4)
a)
b)
c)
5)
u est un nombre réel
n est un nombre entier naturel
Affecter à u la valeur . . .
Affecter à n la valeur 2012
Tant que . . .
Affecter à n la valeur n +1
Afficher . . .
Pour tout entier naturel n, on pose vn = un −300.
Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,9.
n
En déduire que pour tout entier naturel n, un = −190×0,9 +300.
Déterminer le résultat recherché par l’algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation.
L’organisateur décide d’effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser
d’inscriptions. Il affirme au maire qu’il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ?
Pourquoi ?
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SUITES
Antilles Guyane Septembre 2013.
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes
on a constaté que :
10% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.
On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.
Partie A
On donne l’algorithme suivant :
Entrée : Saisir n entier positif
Initialisation : X prend la valeur 80
Traitement :
Affecter à X la valeur 0,9X +20
Fin Pour
X prend la valeur de X arrondie à l’entier inférieur
Sortie : Afficher X
1)
2)
Pour la valeur n = 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?
Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur n = 2 saisie, le nombre affiché à la sortie de cet
algorithme.
Partie B
1)
a)
b)
2)
3)
On considère la suite (an) définie par a0 = 80 et, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,9an +20. Pour tout entier naturel n, on
pose : bn = an −200.
Démontrer que (bn) est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer bn en fonction de n.
n
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : an = 200−120×0,9 .
Quelle est la limite de la suite (an) ?
Partie C
1)
2)
L’objectif du président du club est d’atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ?
Même question si l’objectif du président du club est d’atteindre au moins 300 adhérents.
CORRIGE :
1
Liban Mai 2013
PARTIE A : On considère la suite un définie par u0 = 10 et pour tout entier n par un+1 = 0.9un + 1.2
1)
On considère la suite un définie par pour tout entier n, on pose vn = un − 12
a)
Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
v n+1 = un+1 − 12 = 0.9un + 1.2 − 12 = 0.9un − 10.8 = 0.9vn
donc la suite (v n ) est une suite géométriqu e de raison q = 0.9 et de premier terme v 0 = u0 − 12 = −2
b)
Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = −2x 0.9n + 12
vn = v 0qn = −2x 0.9n
2)
donc un = v n + 12 = −2x 0.9n + 12
Déterminer la limite de la suite (vn) et en déduire celle de la suite (un).
0 < 0.9 < 1 donc lim vn = 0 donc lim un = 12
n− > +∞
n− > +∞
PARTIE B : En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont
montré que chaque année :
• 10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
• 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
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1)
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SUITES
Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) où un désigne le nombre de milliers d’habitants de la
ville de Bellecité l’année 2012+n.
La diminution de 10% de la population de la ville peut se traduire par le coefficient multiplicateur 0,9 soit
0,9un auquel il faut ajouter les 1 200 nouveaux habitants soit 1,2 milliers.
On obtient donc bien un+1 = 0,9un +1,2
Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à
venir.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année 2012+n.
VARIABLES :
a, i, n du type nombre
INITIALISATION :
Choisir n
a prend la valeur 10
TRAITEMENT :
a prend la valeur ….0.9a + 1.2
SORTIE
Afficher a
n
Résoudre l’inéquation 12 – 2.0.9 > 11.5.
Solution : n > 14
En donner une interprétation. La population dépassera 11 500 habitants à partir de l’année 2026.
Métropole (sujet dévoilé) Juin 2013.
Un industriel étudie l’évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu’il l’a
achetée, elle pouvait produire 120 000 jouets par an. Du fait de l’usure de la machine, la production diminue de 2% par an.
On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l’année (2000+n) par une suite (Un). On a donc U0 = 120000.
1)
2)
3)
4)
n
Montrer que, pour tout entier naturel n : Un = 120000×0,98 .
Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ? Pour 2005 : u5 = 108 470
Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100 000.
On a u9 = 100 050 et u10 = 98 049. Donc à partir de 2010
Cet industriel décide qu’il changera la machine lorsqu’elle produira moins de 90 000 jouets par an. Recopier et compléter
l’algorithme ci-dessous afin qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel n tel que Un < 90000.
VARIABLES :
A réel
n du type nombre
INITIALISATION :
A prend la valeur 120 000
n prend la valeur 0
TRAITEMENT :
Tant que A ≥ 90 000
n prend la valeur n+1
A prend la valeur Ax0.98
SORTIE : Afficher n
5)
n
Exprimer 1 + 0,98 + 0,98² + ………..+ 0.98 en fonction de n.
1 − 0.98
1 − 0.98n+1
=
1 − 0.98
0.02
On pose Sn =U0 + U1 + U2 + ……. + Un.
Montrer que Sn = 6000000×(1−0,98n+1)
1 + 0.98 + ... + 0.98n =
6)
n+1
1 − 0.98n+1
= 6 000 000 (1 − 0.98n+1 )
0.02
En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production.
S15 = 1 657 214 jouets
Sn = 120000(1 + 0.98 + ... + 0.98n ) = 120000
7)
7
Asie juin 2013.
Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est constitué de 70% des abonnés de
l’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux abonnés. Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600.
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1)
2)
Calculer le nombre d’abonnés en 2011 et 2012.
En 2011 : 630 abonnés ; en 2012 : 651 abonnés.
On définit la suite (un) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,7un +210.
On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (un).
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8
9
A
n
0
B
un
Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer u1 ; cette formule « tirée vers le bas » dans la colonne devra permettre de
calculer les valeurs successives de la suite (un).
En B3 : 0.7xB2 + 210.
3) On pose, pour tout entier naturel n : vn = un −700.
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme.
vn+1 = un+1 − 700 = 0.7un + 210 − 700 = 0.7un − 490 = 0.7vn
b)
donc la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0.7 et de premier terme v 0 = u0 − 700 = −100
n
Justifier que pour tout entier naturel n, un = 700−100×0,7 .
vn = v 0qn = −100x 0.7n
4)
donc un = vn + 700 = 700 − 100x 0.7n
Soit n un entier naturel.
n
a) Démontrer que un ≥ 697 est équivalent à 0,7 ≤ 0,03.
un ≥ 697 ⇔ 700 − 100x 0.7n ≥ 697 ⇔ 100x 0.7n ≤ 3 ⇔ 0.7n ≤ 0.03
b)
Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant :
Variables : N est un nombre entier naturel
Initialisation : Affecter à N la Valeur 0
Traitement : Tant que U > 0,03
Affecter à N la valeur N +1.
Affecter à U la valeur 0,7×U.
Fin du Tant que
Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera tourner l’algorithme). n = 10.
n
c) Retrouvez ce résultat en résolvant l’inéquation 0,7 ≤ 0,03.
ln(0.03)
0.7n ≥ 0.03 ⇔ n.ln(0.7) ≤ 0.03 ⇔ n ≥
⇔ n ≥ 10
ln(0.7)
d) En utilisant l’étude précédente de la suite (un), déterminer à partir de quelle année le nombre d’abonnés atteindra
au moins 697. A partir de 2010 + 10 = 2020.
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Métropole Septembre 2013.
Le responsable du foyer des jeunes d’un village a décidé d’organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il
a recueilli 110 inscriptions. D’après les renseignements pris auprès d’autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que
d’une année sur l’autre, 90% des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées. On désigne par un le
nombre d’exposants en (2012+n) avec n un entier naturel. Ainsi u0 est le nombre d’exposants en 2012, soit u0 = 110.
6) Quel est le nombre d’exposants attendu pour 2013 ? 0.9x110 + 30 = 129.
7) Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,9un +30.
8) Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d’exposants ne peut pas excéder 220. Recopier
et compléter l’algorithme proposé ci-dessous afin qu’il permette de déterminer l’année à partir de laquelle
l’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d’inscription.
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
9)
d)
u est un nombre réel
n est un nombre entier naturel
Affecter à n la valeur 2012
Tant que . . .u < 220
Affecter à u la valeur . . .0.9u + 30
Affecter à n la valeur n +1
Afficher . . .
Pour tout entier naturel n, on pose vn = un −300.
Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,9.
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TES
SUITES
vn+1 = un+1 − 300 = 0.9un + 30 − 300 = 0.9vn
donc la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme v 0 = u0 − 300 = −190
n
En déduire que pour tout entier naturel n, un = −190×0,9 +300.
Déterminer le résultat recherché par l’algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation.
ln(8 / 19)
un ≥ 220 ⇔ 700 − 100x 0.7n ≥ 697 ⇔ 100x 0.7n ≤ 3 ⇔ 0.9n ≤ 8 / 19 ⇔ n ≥
soit n ≥ 9
ln(0.9)
10) L’organisateur décide d’effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser
d’inscriptions. Il affirme au maire qu’il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ?
Pourquoi ?
0 < 0.9 < 1 donc lim vn = 0 donc lim un = 300
e)
f)
n−>+∞
n−>+∞
Donc le nombre d’emplacement ne dépassera jamais 300.
9
C
Antilles Guyane Septembre 2013.
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes
on a constaté que :
10% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.
On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.
Partie A
On donne l’algorithme suivant :
Entrée : Saisir n entier positif
Initialisation : X prend la valeur 80
Traitement :
Affecter à X la valeur 0,9X +20
Fin Pour
X prend la valeur de X arrondie à l’entier inférieur
Sortie : Afficher X
1)
2)
Pour la valeur n = 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? 102
Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur n = 2 saisie, le nombre affiché à la sortie de cet
algorithme. En 2007, le nombre d’adhérents sera de 102.
Partie B
1) On considère la suite (an) définie par a0 = 80 et, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,9an +20. Pour tout entier naturel n, on
pose : bn = an −200.
a) Démontrer que (bn) est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
bn+1 = an+1 − 200 = 0.9an + 20 − 200 = 0.9bn
b)
2)
3)
donc la suite (bn ) est une suite géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme b 0 = a0 − 200 = −120
n
Exprimer bn en fonction de n. bn = −120×0,9 +200.
n
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : an = 200−120×0,9 .
Quelle est la limite de la suite (an) ? 200
Partie C
1)
2)
L’objectif du président du club est d’atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? oui.
Même question si l’objectif du président du club est d’atteindre au moins 300 adhérents. non
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