Contrôle n°8

2014-2015
Terminale 07
Contrôle n˚7
Exercice 1 (10 points)
On note (un ) et (vn ) les suites réelles définies, pour tout entier naturel n, par
√
3un√− vn
un+1 =
.
u0 = 1 v0 = 0 et
vn+1 = un + 3vn
1. Calculer les valeurs de u1 , v1 , u2 , v2 .
2. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de uN et vN pour un entier
naturel N donné.
(a) On donne l’algorithme suivant :
Entrée :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
N est un nombre entier
K est un nombre entier
S est un nombre réel
T est un nombre réel
Affecter 1 à S
Affecter 0 à T
Affecter 0 à K
Tant que K < N
√
Affecter 3S√
−T à S
Affecter S + 3T à T
Affecter K + 1 à K
Fin Tant que
Afficher S
Afficher T
Faire fonctionner cet algorithme pour N = 2. Pour cela, on recopiera et complètera le
tableau de variables ci-dessous :
S
T
K
1
0
0
√
√
3
3
1
(b) L’algorithme précédent affiche t-il les valeurs de uN et vN pour un entier N donné ?
Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l’algorithme proposé
qui affiche bien les valeurs de uN et vN pour un entier N .
3. On pose, pour tout entier naturel n, zn = un + ivn .
√
On note a le nombre complexe a = 3 + i.
(a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
zn+1 = azn .
(b) Ecrire a sous forme exponentielle.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n,


 un = 2n cos nπ
6

 vn = 2n sin nπ
6
1
2014-2015
Terminale 07
Exercice 2 (10 points)
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :
A(1 ; 2 ; 7),
B(2 ; 0 ; 2),
C(3 ; 1 ; 3),
D(3 ; −6 ; 1) et E(4 ; −8 ; −4).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit ~u(1 ; b ; c) un vecteur de l’espace, où b et c désignent deux nombres réels.
(a) Déterminer les valeurs de b et c telles que ~u soit un vecteur normal au plan (ABC).
(b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :
x − 2y + z − 4 = 0.
(c) Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
3. On considère la droite D de

 x
y

z
l’espace dont une repésentation paramétrique est :
=
2t + 3
= −4t + 5
=
2t − 1
où t est un nombre réel.
(a) La droite D est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
(b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite D et du plan (ABC).
4. Etudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).
2