Estimation d`un modèle Garch en présence de données de haute

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que
Université des Sciences et de la Technologie « Houari Boumediene»
Faculté de Mathématiques
Résumé de Mémoire de Magister en Recherche Opérationnelle
Option : Méthodes Stochastiques
Présentée par
MESSAHLI Leila
( )
Thème
Estimation d’un modèle GARCH
en présence de données de haute fréquence
Résumé
La modélisation des séries …nancières est un problème complexe. Cette complexité tient surtout
à l’existence de régularités statistiques (faits stylisés) communes à un très grand nombre de séries
…nancières et di¢ ciles à reproduire arti…ciellement à partir de modèles stochastiques. Ces modèles
économétriques se présentent généralement sous la forme multiplicative "t = t t , où la variable
aléatoire t , appelée volatilité, mesure le degré de ‡uctuations d’un actif …nancier, d’un produit dérivé,
d’un marché etc. Nous pouvons distinguer deux classes particulières pour la spéci…cation adoptée pour
t à savoir les processus conditionnellement hétéroscédastiques (ou de type GARCH), pour lesquels
la variance est parfaitement connue à une date donnée, comme fonction a¢ ne des valeurs passées de
"2t (GARCH standard) et les processus dits à volatilité stochastique.où la volatilité est, elle même, un
processus latent.
L’objectif principal de ce mémoire est l’estimation des paramètres d’un modèle GARCH en
présence de données de haute fréquence, en utilisant la méthode du quasi maximum de vraisemblance (QMV). Nous montrons à quel point l’estimation des paramètres sera améliorée, une fois une
bonne proxy de volatilité Hn
mesure nonparamétrique de volatilité, à titre d’exemple la volatilité
réalisée est utilisée. En se basant sur le logarithme des proxies de volatilité, un gain en e¢ cacité de
l’estimateur du QMV est obtenu. Le modèle sous-jacent est dit log GARCH. D’autre part, nous
étudions la structure probabiliste (stationarité, ergodicité, conditons d’existence des moments d’ordres
supérieurs,...etc) ainsi que les propriétés asymptotiques de l’estimateur du QMV à savoir la consistance
et la normalité asymptotique pour ces deux cas de …gure: GARCH standard classique, GARCH basé
sur des proxies Hn ou log (Hn ).
( )
Directrice du mémoire : Ha…da GUERBYENNE, M.C.A., Faculté de Mathématiques, U.S.T.H.B.
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
1
Introduction
En …nance et en économétrie …nancière, l’analyse des variations du prix d’un actif et de son instabilité
est fondamentale. Il est bien connu que les rendements journaliers des actifs …nanciers sont di¢ ciles, voire
impossible à prédire, bien que leur volatilité semble, relativement facile à prédire. De ce fait, la volatilité joue
un rôle clé dans l’évaluation des produits dérivés, dans l’allocation des actifs ou dans la gestion du risque.
La volatilité mesure le degré de ‡uctuations d’un actif …nancier, d’un produit dérivé, d’un marché etc. Elle
est associée à l’imprévu, l’incertain et le risque. Le concept de volatilité est probablement l’un des sujets qui
suscite le plus de recherches dans le domaine de la …nance mathématique
Par essence, la volatilité est un phénomène non observable; celle-ci est essentielle pour la plupart des
modèles …nanciers. Alors, il est nécessaire de construire un certains nombre de statistiques Hn dites proxies
et, l’on se base sur ces dernières lors de spéci…cation, d’estimation et d’évaluation des modèles de volatilité.
En statistique, le terme proxy est utilisé pour une variable qui n’est pas d’ intérêt premier, en elle-même,
mais qui est étroitement liée à un objet d’intérêt. Elle est reliée au concept d’estimateur. Mais les proxies
tendent à remplacer les variables d’intérêt non observables, tandis qu’un estimateur est une statistique dont
le rôle est l’estimation de paramètres. Un bon estimateur des paramètres est celui qui possède, par exemple,
la plus petite erreur quadratique moyenne. Par analogie, une bonne proxy est celle qui possède une forte
corrélation avec la variable. Une proxy de volatilité donne lieu à de nouvelles opportunités: on peut l’analyser,
l’optimiser et la prévoir en utilisant des techniques plus simples que les modèles économétriques complexes
utilisés lorsque la volatilité est latente. E¤ectivement, les proxies de volatilité construites sur la base de
données intra-journalières ont un pouvoir de prévision supérieur à celles des proxies construites à partir des
rendements journaliers,(voir, par exemple, Ghysels, Santa-Clara, and Valkanov (2006), and Engle and Gallo
(2006))
Ce mémoire est intitulé “Estimation d”un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence”
est composé de quatres chapitres.
1
Quelques outils mathématiques
Les processus stochastiques o¤rent un cadre mathématique à de nombreux phénomènes qui évoluent
dans le temps. Nous consacrons le premier chapitre à la présentation des principaux outils nécessaires à
l’étude des modèles de séries chronologiques …nancières. En e¤et, les propriétés probabilistes, à savoir: la
stationnarité (stricte et au second ordre), l’ergodicité (forte et faible) caractérisant la structure de dépendance
des processus stochastiques solutions d’équations aux di¤érences stochastiques.
Du fait que notre intérêt est centré autour de la modélisation de processus en présence de données de
haute fréquence, les concepts de martingale en temps continu, de martingale locale, de semimartingale, de
variation quadratique, sont introduits.
2
Structure probabiliste et estimation du modèle GARCH(p; q)
Le présent chapitre est composé d’une introduction et de trois autres sections. Dans un premier temps,
nous spéci…ons une écriture autorégressive généralisée du modèle qui nous permettra d’établir, à partir de
l’exposant de Lyapounov, les propriétés probabilistes du modèle GARCH, à savoir, la stationnarité stricte et
au second ordre, l’ergodicité, l’existence des moments d’ordres supérieurs et la structure d’autocovariance.
Ensuite, nous passons à l’estimation des paramètres de ce modèle en utilisant la méthode du quasi maximum
de vraisemblance (QM V ). Les propriétés asymptotiques de ces estimateurs (la consistance et la normalité
asymptotique) sont étudiées. En…n, une étude de simulation intensive a été faite. Elle nous a permis de
con…rmer les résultats théoriques obtenus.
Dé…nition 2:1:
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
2
Le processus f"t ; t 2 Zg, suit un modèle GARCH(p; q) s’il est solution de l’équation aux récurrences stochastique suivante
"t
=
2
t
où w > 0;
i
0;
t
q
= w+
2;
t
Pq
i=1
0, i = 1; :::; q, j = 1; :::; p,
j
2
i "t i
q
+
Pp
j=1
6= 0 et
2
j t j; t
2 Z;
(2:1)
6= 0.
p
La stationnarité d’un processus dont l’évolution est re‡étée par une équation aux di¤érences stochastiques, découle de l’existence d’une solution strictement stationnaire de cette équation. Nous nous intéressons plus particulièrement aux solutions non anticipatives où les processus ("t ) s’écrivent comme fonction
mesurable des variables
t+h ; h
t s; s
2
t
0. Pour ces processus,
est indépendant de la tribu engendrée par
0 , et ("t ) est indépendant de la tribu engendrée par
t+h ; h
> 0 . De telles solutions sont
également ergodiques.
Un processus GARCH (p; q) donné par (2:1) admet la représentation autorégressive généralisée suivante:
Xt = At Xt
1
+ Bt , t 2 Z;
(2:2)
où
0
B
At = B
@
Xt
=
"2t
Bt
=
w
"2t
"2t
1
0
t
2
q t
2
1 t
I(q
1) (q 1)
O(q
1
2
t p+1
w
0
0
k=1
At :::At
0
2 Rp+q
2 Rp+q
1) p
1
p
I(p
P1
0
2
p t
O(q
1) 1
1) q
En itérant (2:2) on obtient, Xt = Bt +
2
t
2
1 t
q
O(p
q+1
1) (p 1)
O(p
1) 1
1
C
C 2 R(p+q)
A
(p+q)
k+1 Bt k
(2:3)
(2:4)
Théorème 2:1. (Bougerol et Picard, 1992)
Une condition nécessaire et su¢ sante d’existence d’un processus GARCH(p; q) strictement stationnaire,
solution du modèle (2:1) avec w > 0, est que le plus grand exposant de Lyapounov donné par
1
t2N t
= inf
E flog kAt :::A1 kg, soit strictement négatif. Lorsqu’elle existe, la solution strictement stationnaire est unique,
non anticipative et ergodique.
Le théorème suivant donne les conditions nécessaires et su¢ santes de stationnarité au second ordre.du modèle
GARCH.
Théorème 2:2. (Bollerslev, 1986)
Une condition nécessaire et su¢ sante pour qu’un processus GARCH (p; q) soit stationnaire au second ordre
est que
Xq
Xp
(2:5)
i+
j < 1:
i=1
j=1
L’unique solution strictement stationnaire est un bruit blanc faible
Le problème de l’existence des moments d’ordre supérieurs du modèle GARCH (p; q), repose sur le
théorème suivant (on fait l’hypothèse que la loi de t est symétrique, sinon ces moments semblent di¢ ciles à
calculer).
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
3
Théorème 2:3. (Stationnarité à l’ordre 2m)
Soit A(m) = E At
m
où At est dé…nie par (2:3). Supposons que E
"2t
su¢ sante d’existence des moments jusqu’à l’ordre m du processus
(m)
de (Xt ) est que, le rayon spectral
A
2m
t
< 1. Une condition nécessaire et
,dé…ni comme la première composante
< 1.
Alors, la série (Xt ) dé…nie en (2:4) est convergente en moyenne d’ordre m, pour tout t 2 Z, et le processus
"2t , est strictement stationnaire.
Pq
Notons A 0 (z) = i=1 i z i et B
0
(z) =
Pp
j
j=1
z j . Pour étudier la convergence forte des estimateurs
du QMV ^n , nous considérons les hypothèses suivantes données par Francq et Zakoian (2004): A1: 0 2
Xp
2
2
et
est compact, A2: < 0 et 8 2 ,
j < 1, A3: t a une loi non dégénérée et E
t = 1, A4:
j=1
si p > 0, A
0
(z) et B
0
(z) n’ont pas de racine commune, A
0
(1) 6= 0, et
0q
+
0p
6= 0.
Dans ce qui suit, nous nous intéressons à l’estimation des paramètres de la solution strictement stationnaire, non anticipative du modèle (2:1), par la méthode du QMV, et nous énonçons les deux théorèmes
établissant les résultats du comportement asymptotique de ces estimateurs. Le théorème suivant établit la
convergence forte de bn .
Théorème 2:4. (Francq et Zakoian (2004))
Soit
bn
une suite d’estimateurs du QMV. Sous les hypothèses A1-A4,
bn !
0
p:s
quand n ! 1.
En plus des conditions A1-A4, les conditions supplémentaires suivantes ont été données par Francq et
Zakoian (2004): A5:
0
2
, où
est l’intérieur de
, A6:
=E
asymptotique de l’estimateur bn .
4
t
< 1, pour garantir la normalité
Théorème 2:5. (Francq et Zakoian (2004))
Sous les hypothèses A1-A6,
p b
L
n n
0 ! N 0; (
où
J := E
0
@ 2 lt (
@ @
0)
0
=E
1
1) J
1
0
4(
0)
t
@
2
t(
@
;
0)
@
2
t ( 0)
0
@
;
est une matrice dé…nie positive.
3
Proxies de volatilité et variance réalisée
Par essence, la volatilité est un phénomène non observable. Il est donc naturel de penser à construire
un certain nombre de statistiques dites proxies de volatilité. Celles-ci sont des outils incontournables dans la
modélisation des prix des actifs …nanciers et de la volatilité. Les bonnes proxies améliorent l’estimation des
paramètres des modèles de volatilité à temps discret (GARCH) et par suite la prévision.
L’objectif de ce chapitre est l’étude du problème d’optimisation de ces proxies en présence des données
intra-journalières de haute fréquence dans les modèles de volatilité, en temps discret (la volatilité est un facteur
d’échelle). Après avoir introduit le processus des rendements intra-journalier Rn (:) dit modèle scaling, nous
abordons le problème d’optimisation de ces proxies (le critère à utiliser, l’existence de proxies optimales et leurs
limites,le prescaling, ...) d’une part. D’autre part, nous examinons les propriétés statistiques (convergence
et distribution asymptotique) de l’une des proxies de volatilité les plus utilisées en économétrie …nancière
à savoir la volatilité journalière réalisée (elle se construit en additionnant les carrés des rendements intrajournaliers et en prenant la racine carrée), cela sera fait en absence / présence des e¤ets de microstructure.
Nous terminons ce chapitre par une application.
Nous commençons par l’introduction du processus des rendements intra-journaliers en temps continu dit
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
4
modèle scaling (d’échelle) Rn (:).
Dé…nition 3:1.
Les processus des rendements intra-journaliers Rn (:) sont dits satisfaire le modèle scaling si
Rn (u) =
n
n
(u) ; 0
u
1,
(3:1)
et
M1: Les facteurs d’échelle n sont strictement positifs, M2: Les processsus standards n (:) sont cadlag
(continu à droite et possédant une limite à gauche) sur l’intervalle [0; 1], M3: Les processsus standards
n (:) ont la même distribution de probabilité pour chaque entier n, M4: Le processsus standard
n (:) est
n
o
indépendant de Gn 1 , pour tout n, où Gn 1 =
( i )i n 1 , ( i )i n , la tribu tribu engendrée par le passé
des processus jusqu’à l’instant n
1.
La racine carrée de la variation quadratique (limite de la variance réalisée quand le pas d’échantillonnage
tend vers zéro) n’est pas nécessairement un estimateur optimal du facteur d’échelle n . On adopte d’autres
proxies comme estimateurs.
Dé…nition 3:2.
Soit H une fonctionnelle mesurable, positivement homogène, dé…nie sur un sous espace linéaire D de l’espace
de Skorohod D [0; 1]. Supposons que
2 D p:s, et H ( ) est strictement positive p:s. Alors, H est une
proxy fonctionnelle.et la variable aléatoire Hn
H (Rn ) est dite proxy1 .
À titre d’exemple de proxies de volatilité, on cite: les rendements absolus journaliers, les rendements
absolus overnight, l’étendue des rendements et la volatilité réalisée. La restriction aux proxies de volatilité
positivement homogènes, nous permet de les comparer et de les optimiser sans recours à l’identi…cation du
modèle à facteur d’échelle n . En introduisant l’opérateur logarithmique, nous obtenons
log (Hn ) = log (
n)
+ Un ;
(3:2)
où Un = log (H ( n )) est dit l’erreur. Pour juger de la qualité d’une proxy, nous utilisons le critère
de l’erreur quadratique moyenne (MSE). Ce critère nous permet de comparer et d’optimiser les proxies:
E (log (Hn )
log (
2
n ))
2
= E Un2 = var (Un ) + (E (Un )) . Les proxies Hn ne sont pas nécessairement sans
biais E (Un ) 6= 0. Minimiser le MSE revient à minimiser la quantité var (Un ).
Dé…nition 3:3.
Soient les deux proxies suivantes H (1) et H (2) dont la variance de leurs logarithmes est
(i)
2
log H (i) ( ) , i = 1; 2 respectivement. Alors, la proxy H (1) est dite meilleure à H (2) si sa variance
est inférieure ou égale à celle de H (2) , autrement dit,
(1)
2
(2)
= var
(1)
2
2
. Une proxy H
possédant une
variance …nie est dite optimale si elle est la meilleure parmi toutes les autres proxy i.e.,var (log (H ( ))) =
inf var (log (H ( ))).
H
La proposition ci-dessous montre qu’une bonne proxy est caractérisée par une forte corrélation avec le
facteur d’échelle n .
Proposition 3:1. (de Vilder et Visser, (2008))
Si 0 < var (log (
n )) ,
alors
1
2
2
corr (log (Hn ) ; log (
1 Les
deux termes Hn ; H désignent la notion de proxy
n ))
=
1+
var (log (
n ))
.
(3:3)
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
De plus, supposons que
(1)
(2)
5
< 1 , alors, (3:3) implique
(1)
corr log Hn
; log (
(2)
n)
corr log Hn
; log (
n)
.
Dans le cas où 2 = 0, on aura une corrélation parfaite entre la proxy Hn et le facteur d’échelle
traduit par: corr (log (Hn ) ; log ( n )) = 1
n
qui se
Le théorème suivant garantit l’existence d’une proxy optimale sous certaine condition.
Théorème 3:1. (de Vilder et Visser, (2008))
S’il existe une proxy de variance …nie, alors il existe une proxy optimale.
D’un point de vue théorique, le théorème précédent garantit l’existence de proxies optimales. Néanmoins,
il présente des limites en pratique. Cela est dû à la forme inconnue du processus n (:) et de sa non
observabilité. Selon les deux auteurs de Vilder et Visser (2007), la comparaison entre les proxies, en pratique,
se fait en utilisant la variance estimée du logarithme de leurs proxies. Ce qui nous permet d’établir la relation
d’équivalence suivante
(1)
2
2
(2)
(1)
(2)
() var log Hn
var log Hn
.
Dans le cadre de recherche d’une bonne proxy, de Vilder et Visser (2007) ont proposé une méthode
(w)
pour optimiser cette dernière. Ils dé…nissent une nouvelle proxy Hn
combinaison d’un nombre …ni de proxy
Pd
sous la contrainte i=1 wi = 1.
On note par
(i)
Hn ; i
= 1; :::; d, tel que
(w)
Hn
dite proxy géommétrique issue d’une
wi
Qd
(i)
= i=1 Hn
où w = (w1 ; :::; wd ),
la matrice de variance covariance des erreurs U (i) = log
U (1) ; :::; U (d)
= var
(w)
L’erreur U (w) associée à la proxy Hn
atteint son minimum global pour
est égale à
1
w =
La variance optimale est
2
w
=
1
0
1
0
1
,
i=1
:
(3:4)
wi U (i) , dont la variance est
w
= w0 w qui
0
i = (1; :::; 1) ,
(3:5)
. Cependant, cette solution n’est pas applicable en pratique, Il
dès que les proxies H (i) (
n’est pas possible d’estimer
Pd
0
H (i) ( ) , i.e.,
n)
sont non observables. A…n de surmonter cette
(w)
di¢ culté, il su¢ t d’estimer la matrice de variance covariance du logarithme de la proxy géométrique Hn
i.e.,
p;n
Hn(1) ; :::; Hn(d)
= var
0
= var (log (
n ))
0
+ ,
(3:6)
pour obtenir le vecteur des coe¢ cients optimaux w , comme le montre le théorème suivant.
Théorème 3:2. (de Vilder et Visser, (2008))
Soit le modèle d’échelle donné en (3:1).
var (log (
n ))
< 1 . Soient
et
p;n
Supposons que var log H (i) ( )
< 1, pour i = 1; :::; d et
les matrices de variance covariance données en (3:4) et (3:6) re-
spectivement. Le vecteur des coe¢ cients optimaux w donné en (3:5) ne dépend pas du processus (
peut être exprimé sous la forme w =
1
p;n
1
0
p;n
.
n)
et
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
4
6
Estimation de modèles GARCH en présence de données de haute
fréquence
Ce dernier chapitre consiste à montrer à quel point l’estimation des paramètres du modèle GARCH
par la méthode du QMV sera améliorée, si une bonne proxy de volatilité est utilisée.en présence de données
de haute fréquence. Les propriétés asymptotiques des estimateurs, à savoir la consistance et la normalité
asymptotique sont conservées i:e., comme dans le cas classique pour les rendements close-to-close. Un gain
en e¢ cacité des estimateurs est obtenu si l’on travaille sur le logarithme des proxies Hn au lieu des proxies
Hn . Lors de l’étude des propriétés statistiques, nous utilisons la théorie développée par Visser (2008) fondée
sur la méthode du QMV, inspirée des travaux de Straumann et Mikosh (2006). L’intuition sous-jacente est de
construire la fonction de vraisemblance en se basant sur des proxies Hn , qui exploitent l’information contenue
dans le processus des rendements intra-journaliers Rn (:). Une étude de simulation et une application sur une
série de données réelles ont été faites Elles confortent les résultats théoriques.
Nous supposons que la suite des rendements logarithmiques journaliers (rn ), est issue d’un modèle
GARCH (1; 1), stationnaire où nous utilisons la représentation suivante donnée par Drost et Klaassen (1997) :
rn
= vn Zn ,
vn2
=
1 + rn2
(4:1a)
1
+ vn2
1,
(4:1b)
où les innovations Zn sont i.i.d. de moyenne nulle et de variance égale à 1. Le paramètre est dit paramètre
de normalisation, et sont des paramètres d’autorégression. Le système (4:1) est équivalent aux équations
d’un modèle GARCH classique donné en chapitre 2, dans le cas où p = q = 1, en posant
n
= vn ,
w=
2
,
=
2
.
A…n d’exploiter l’information contenue dans les données de haute fréquence, plus précisément des données
intra-journalières, nous avons besoin d’introduire un modèle pour le processus des prix intra-journaliers dans
le système d’équations (4:1), où pour chaque jour n ouvrable, nous introduisons un processus en temps
continu pour les rendements logarithmiques; noté Rn (:). Pour la simplicité des notations, nous réduisons
la journée ouvrable à un intervalle de temps unité [0; 1]. Par suite le modèle GARCH (1; 1) journalier (4:1)
devient
Rn (u)
vn2
= vn
=
n
(u)
1 + rn2
1
0
+ vn2
u
1,
(4:2a)
1.
(4:2b)
où l’équation (4:2a) représente le modèle scaling.
La séquence de processus
n
(:) est supposée i:i:d., et à trajectoires cadlag, tel que E
2
n
(1)
= 1. En
fait, Rn (0) et Rn (1) donnent le rendement overnight et le rendement close-to-close rn .respectivement. À
noter que le facteur d’échelle vn est le même que celui donné dans l’équation (4:1a), dans le cas discret; de
plus, il est constant au cours de la journée ouvrable. L’hypothèse que la séquence de processus ( n ) est i:i:d.
garantit que la suite de variables aléatoires (Zn ) l’est aussi. Ainsi, en posant Zn
n (1), nous pouvons
retrouver les rendements close-to-close rn , autrement dit, rn Rn (1).
Après avoir incorporé le processus des rendements logarithmiques intra-journaliers dans le modèle GARCH (1; 1)
journalier,nous pouvons utiliser l’information contenue dans ces données intra-journalières et construire par
la suite des proxies Hn pour les facteurs d’échelle.
Nous introduisons des proxies pour la volatilité vn . Nous supposons que la variable aléatoire H ( )
r
2
E H ( ) < 1. Nous notons ZH , les innovations
est identiquement non nulle, autrement dit 0 < H
2
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
normalisées données par ZH
H ( )=
H
2
2
< 1. Ainsi, E ZH
= 1.
Par homogeneité on a Hn = H (Rn ) = vn H (
dernière équation, nous obtenons Hn = vn
2
ZH;n
que E
7
H Zn;H ,
n ).
où
Par suite, en remplaçant H (
H
=
H
2 ,
n)
= ZH
et les innovations Zn;H
H
2
dans cette
0 sont i:i:d: tel
= 1.
Alors le système (4:2) devient
Hn
= vn
vn2
et E Hn2 =Fn
1
= vn2
=
H Zn;H ,
1 + rn2
1
+ vn2
(4:3a)
1,
(4:3b)
2
H.
Pour étudier la consistance et la normalité asymptotique des estimateur du QMV ^n en se basant sur
les proxies Hn , nous considèrons les hypothèses suivantes.faites par Visser
B1: Zn est une suite de variables alétoires i:i:d. telle que E Z 2 = 1, B2:
donnée par
H
> 0,
> 0,
2 [0; 1) et
2 int
0
, B3: E log
0 2
est un sous-espace de l’espace
Z2 +
< 0, B4: Z 2 est non
4
dégénérée, B5: E ZH
< 1.
Théorème 4:1. (Visser, (2008))
Soit
0
=
0
H;
0
;
0
0
H
et
=
0 H
2 .
Sous les hypothèses B1-B5, l’estimateur du QMV bn , basé sur les
proxies Hn est asymptotiquement normal:
p b
L
0
2
n n
! N (0; V0 ) ; N ! 1, avec V0 = var ZH
GH1
0
, où le terme général de la matrice GH
est donné par
GH ( )i;j = E
h
@
1
4
H;0
( )
2
H;0 (
@
)
i
@
2
H;0 (
@
Corollaire 4:1. (Visser, (2008))
j
)
i
,
H;n
= vn
H.
= ( , ), fondés sur les proxies Hn et Hn0 .
var (Z 2 )
Alors, l’e¢ cacité relative asymptotique de ces deux estimateurs est EARGaussien (H, H 0 ) = var Z 2H .
( H0 )
Soient deux estimateurs du QMV du vecteur des paramètres
Il est possible d’estimer les paramètres du modèle GARCH (1; 1) donné en (4:1), en utilisant le logarithme
des proxies i.e., log (Hn ). Dans ce cas, on est en présence des estimateurs dits QM V log-gaussien, nous
procédons de la même manière que précédemment. L’e¢ cacité relative asymptotique de ces estimateurs
var (log (Z 2 ))
log-gaussiens est EARlog Gaussien (H, H 0 ) = var log Z 2H . La comparaison de l’e¢ cacité asymptotique
( ( H 0 ))
b
des estimateurs b et
du QMV gaussien via log-gaussien, basé sur la même proxy Hn est donnée par
EAR(log
Gaussien, Gausssien)
(H, H 0 ) =
var (log
2
(ZH
))
2
var ((ZH
))
.
Incorporons les log (Hn ) dans (4:2b), il s’ensuit log ( n ) = + log (Hn 1 ) + log ( n 1 ); les paramètres
, et sont reéls. Par suite remplaçons (3:2) dans cette dernière équation que nous venons d’introduire,
nous obtenons
log ( n ) = + ( + ) log ( n 1 ) + n ,
(4:5)
où (
n )n
= ( Un
1 )n
forment une suite d’innovations i:i:d. L’équation aux récurrences (4:5) a la même
forme qu’un processus AR (1) en log ( n ). Nous concluons quant à l’existence d’une solution strictement
stationnaire (resp. stationnaire au second ordre) en appliquant le théorème de Bougerol et Picard (1992)
(resp. le théorème de Brockwell et Davies (1991))
Nous terminons ce chapitre par une étude de simulation et une application sur une série de données reélles
Estimation d’un modèle GARCH en présence de données de haute fréquence
8
Conclusion
Dans ce mémoire, nous avons étudié les propriétés probabilistes et le comportement asymptotique des estimateurs du QMV dans le cas classique et dans le cas de présence de données de haute fréquence. Pour le premier
cas, nous avons utilisé les rendements journaliers close-to-close, lors de l’estimation de la volatilité journalière
selon un modèle GARCH en temps discret. Contrairement au premier cas, dans le second cas nous avons
incorporé le processus des rendements intrajournaliers dans le modèle. Nous concluons que l’e¢ cacité des
estimateurs des _paramètres est améliorée en utilisant une bonne proxy.
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