Vecteurs EXERCICES CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
VECTEURS – EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J
les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les
lettres de la figure citer :
1) Deux vecteurs égaux
…………………………………………………….
2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes
différentes
…………………………………………………….
3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes
différentes
…………………………………………………….
4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme.
…………………………………………………….
5) Deux vecteurs opposés.
…………………………………………………….
Exercice n°2. Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles
JJG JJG JJG
IJ = IB + B.
JJG G JJG
H . = .. + IJ
JJJJG JJG G
MN = .P + ..
Exercice n°3.On considère la figure-contre :
En n'utilisant que les lettres représentées sur cette figure, compléter :
JJJG JJJG
AB + FE =.........................................................................................
JJJG JJJJG
AB + AH ...........................................................................................
JJJG JJJG
BA + BC =.........................................................................................
JJJG JJJG
BC + DE =.........................................................................................
JJJG JJJG
BF + GF =........................................................................................
JJJG JJJG
AE + FB =.........................................................................................
Exercice n°4. ABC est le triangle ci-contre
JJJG
JJJG JJJG JJG
XK = XL + .K
JJJG JJG JG
RS = R. + .S
JJJG JJJG JJJG JJJG G
AB + BC + CD + DE = ..
JJJG JJG JJG
CD = .A + A.
JG JJJG G JJG
.Y = XJ + .. + .R
JJG JJG JJG
.E = F . + G.
JJJG JJG JJG G
AB = .C + .D + ..
G JJJG JJG
.. = JK + .M
JJJG JJJG
JJJG
D
E
F
G
H
C
B
A
JJJG JJJG
1) Placer les points D et E tels que AD = AC − AB et AE = AB − AC
2) Démontrer que A est le milieu de [ED] .
Exercice n°5.
Dans chaque cas , Déterminer à partir du graphique une relation du type : =k
……………………….
……………………….
……………………….
où k est un réel :
……………………….
Exercice n°6. ABCD étant un parallélogramme, construire les points I, J et K tels que :
JJG
JJJG
AI = 3 AB
JJJG
3 JJJG
DJ = − CD
2
JJJJG JJJG JJJG
DK = CA + 3 AB
Exercice n°7.
JJJG JJJG G
Soit A et B deux points distincts d’un plan. Placer le point G tel que −2GA + 5GB = 0
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Exercice n°8.
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G
(
JJJG JJJG
)
JJJG
JJJG
JJJJG
JJJG
1) Exprimer plus simplement le vecteur : n = 2 MA − AC + MB − 3MC en fonction de AB et AC .
G G
G
G
G
G
2) u , v et w sont 3 vecteurs. Déterminer le nombre k tel que w = k u sachant que u = −
Exercice n°9. Soient trois points A, B et C distincts non alignés.
G
G
Les vecteurs w et x sont-ils colinéaires dans les cas suivants?
G
JJJG
G
JJJG JJJG
G
JJJG
1) w = 2 AB et x = –6 AB
G
JJJG
G
JJJG
G
JJJG
JJJG
2) w = –2 AB +3 AC et x = 4 AB –6 AC
JJJG
1
2
G 2
6) w =
5
G
3) w = 3 AB – AC et x = 9 AB –2 AC
5) w =
JJJG
G
5G
G 2G
v et que w = v .
4
3
4) w =
JJJG
1 JJJG JJJG
G 1 JJJG
AB +2 AC et x = AB – 3 AC
3
2
Exercice n°10. On considère un triangle ABC.
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
3 JJJG JJJG
G
AB +3 AC et x = – AB –9 AC
2
JJJG 3 JJJG
G 1 JJJG 3 JJJG
AB – AC et x = AB – AC
5
2
4
JJJG JJJG JJJG
1) Construire les points D et E tels que AD = AC + AB et BE = AB + AD
JJJJG 2 JJJG
JJJG 2 JJJG
AB et AN = AC
3
3
2) Construire les points M et N tels que AM =
JJJJG
JJJG
3) Exprimer MN en fonction de BC . Que peut-on en déduire pour (MN) et (BC) ?
Exercice n°11.
Soit ABCD un quadrilatère quelconque. On désigne par I,J,K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]
JJG
JJJG
1) Trouvez le nombre h tel que IJ =h AC
JJJG
2) Que peut-on dire de LK ?
3) Conclure sur la nature du quadrilatère IJKL
Exercice n°12. On considère un triangle ABC.
JJJG
On désigne par P le milieu de [AB], et par Q et R les points définis par BQ = -
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
1 JJJG JJJG 4 JJJG
BC et RC = AC
3
5
1) Exprimer PQ et PR en fonction des vecteurs AB et AC
JJJG
JJJG
2) Que peut-on dire des vecteurs PQ et PR ?
3) Que peut-on en déduire ?
Exercice n°13. Soit ABC un triangle.
JJJG 5 JJJG 3 JJJG JJJG
JJJG 1 JJJG
AC + CB et CE = –2 AC + AB
2
2
2
On désigne par D et E les points tels que : AD =
Montrer que le point B est le milieu du segment [ED].
Exercice n°14. Soit ABC un triangle.
JJJG
1) On désigne par J , D et K les points tels que AJ =
JJJG
2 JJJG JJJG 1 JJJG JJJG
AB , BK = BC et AD = 2 AC
3
2
2) Montrer que les points J, D et K sont alignés.
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VECTEURS – CORRECTION
Exercice n°1
1) Deux vecteurs égaux sont par exemple :
JJJG JJJG JJJG JJJG
AB = FO = OC = ED
JJJG JJJG JJJG JJJG
ou encore FE = AO = OD = BC
2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de
normes différentes sont par exemple :
JJJG
JJJG
AB et CF
3) deux vecteurs de même direction, de même sens et de
normes différentes sont par exemple :
JJJG
JJJG
AB et FC
4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme
sont par exemple :
JJJG
JJJG
AB et BC
5) Deux vecteurs opposés sont par exemple :
JJJG
JJJG
AB et DE
Exercice
Compléter
leJJJ
s pG ointJJJ
illéGs à l'JJJ
aid
JJG JJG n°2JJ
JG
G e de la relation de ChaslesJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
IJ = IB + BJ
FE = FG + GE
AB + BC + CD + DE = AE
JJJG JJJG
XK = XL +
JJJG JJJG
CD = CA +
JJJG
LK
JJJG
AD
JJJG JJJG JJG
HJ = HI + IJ
JJJG
JJJG
JJJG
RS = RA + AS (ou n’importe quelle
JJJG JJJG JJJG JJJG
AB = AC + CD + DB
JJJG
JJJG
JJG
JJJG
XY = XJ + RY + JR (on change alors
autre lettre que A)
l’ordre des vecteurs dans la somme)
JJJG JJJG JJJJG
JM = JK + KM
JJJJG JJJG JJJG
MN = MP + PN
EJJJ
xeGrciceJJJ
nG°3 OJJJ
n GconsJJJ
idGère JJJ
la Gfigure suivante :
AB + FE = AB + BC = AC
JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
AB + AH = AB + BE = AE
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG
BA + BC = FG + GH = FH
JJJG JJJG JJJG JJJG G
BC + DE = BC + CB = 0
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
BF + GF = BF + AB = AB + BF = AF
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
AE + FB = AE + EC = AC
Exercice n°4
1)
JJJG JJJG JJJG
AD = AC − AB
JJJG
JJJG
= AC + − AB
(
)
opposé du
JJJG
vcteur AB
PG
JJJG
JJJ
JJJG JJJG JJJG
= AC + BA = BA + AC = BC
JJJG JJJG JJJG
AE = AB − AC
JJJG
JJJG
= AB + − AC
(
)
opposé du
JJJJG
vcteur AC
PG
JJJG
JJJ
JJJG JJJG JJJG
= AB + CA = CA + AB = CB
JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
2) Puisque CB = − BC , on déduit que AE = − AD = DA , qui caractérise le fait que A est le milieu de {ED]
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Exercice n°5
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et
ont la même
et
ont la même
et
ont la même
et
ont la même
direction, et sont de même direction, et sont de sens direction, et sont de sens direction, et sont de même
sens donc k > 0 .
contraire donc k < 0 .
contraire donc k < 0 .
sens donc k > 0 .
G 5G
u= v
3
2G
G
u=− v
3
6G
G
u=− v
5
Exercice n°6
JJJG
3 JJJG 3 JJJG
DJ = − CD = DC
2
2
Exercice n°7
1) On écrit
JJJG JJJG JJJG JJJJG
G
n = 2 MA − AC + MB − 3MC
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
= 2 MA − AC + MA + AB − 3 MA + AC
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
= 2 MA − 2 AC + MA + AB − 3MA − 3 AC
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
= 2 MA + MA − 3MA − 2 AC + AB − 3 AC
JJJG JJJG
= AB − 5 AC
5G
4G
G
G
G 2G
G 3G
2) Si u = − v , alors v = − u . Si w = v , alors v = w
4
5
3
2
4G
G
v = − 5 u
3G
4G
8 G
G 2  4 G
Ainsi 
⇔ w = − u ⇔ w = ×− u  = − u
2
5
3  5 
15
G
vG = 3 w

2
G
G
8
Ainsi le nombre nombre k tel que w = k u vaut k = −
15
(
(
)
)
(
)
Exercice
JJJGn°8 JJJG G
− 2GA + 5 GB
N =0
Relation
de Chasles
JJJG
JJJG
JJJ
G G
JJJG JJJG JJJG G
⇔ −2GA + 5 GA + AB = 0 ⇔ −2GA + 5GA + 5 AB = 0
JJJG JJJG G
⇔ 3GA + 5 AB = 0
JJJG
JJJG
JJJG −5 JJJG
JJJG 5 JJJG
⇔ 3GA = −5 AB ⇔ GA =
AB ⇔ AG = AB
3
3
D’où une construction du point G :
(
)
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G 4G 2G
u= v= v
6
3
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Exercice n°9
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG G
G
G
G
G
G
G
G
1) Si w = 2 AB et x = –6 AB , alors −3w = −3 × 2 AB = −6 AB = x . Puisque x = −3w , les vecteurs x et w sont
colinéaires
JJJG JJJG
JJJG JJJG
G
G
2) Si w = –2 AB +3 AC et x = 4 AB –6 AC , alors
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
JJJG JJJG G
G
−2w = −2 −2 AB + 3 AC = ( −2 ) × −2 AB + ( −2 ) × 3 AC = 4 AB − 6 AC = x .
G
G
G
G
Puisque x = −2 w , les vecteurs x et w sont colinéaires
JJJ
G
JJJ
G
JJJG
JJJG
G
G G
G
3) Si w = 3 AB – AC et x = 9 AB –2 AC , les vecteurs ne sont pas colinéaires, car s’il existait un réel k tel que k w = x ,
JJJG JJJG
JJJG JJJG G
3k = 9
G
. Or il n’existe aucune valeur k réelle
on aurait kw = k 3 AB − AC = 3k AB − k AC = x si et seulement si 
 − k = −2
(
)
(
(
)
)
solution de ce système
3 JJJG JJJG G
1 JJJG JJJG
3 JJJG JJJG
G
G
 1 JJJG JJJG 
AB +3 AC et x = – AB –9 AC , alors −3w = −3  AB + 3 AC  = − AB − 9 AC = x . Puisque
2
2
2
2

G
G
G
G
x = −3w , les vecteurs x et w sont colinéaires
G 1 JJJG JJJG
G 1 JJJG JJJG
5) Si w =
AB +2 AC et x =
AB -3 AC , les vecteurs ne sont pas colinéaires, car s’il existait un réel k tel que
3
2
k 1
JJJG G
G
G G
 =
 1 JJJG JJJG  k JJJG
k w = x , on aurait kw = k  AB + 2 AC  = AB + 2k AC = x si et seulement si  3 2 . Or il n’existe aucune
3
 3
2k = −3
G
4) Si w =
valeur k réelle solution de ce système
5G
2 JJJG 3 JJJG
G 1 JJJG 3 JJJG
AB − AC et x = AB – AC alors w =
5
5
2
4
4
JJJ
G
JJJG
1
3
G
G 5G
G
G
= AB − AC = x . Puisque x = w , les vecteurs x et w
2
4
4
G
6) Si w =
5  2 JJJG 3 JJJG  5 2 JJJG 5 3 JJJG
 AB − AC  = × AB − × AC
45
5
4 5
 4 5
sont colinéaires.
Exercice n°10
1) et 2) voir ci-contre
3)
JJJJG JJJG JJJG
JJJJG 2 JJJG
MN = MA + AN = − AM + AC
3
JJJ
G
JJJG
JJJ
G
2
2
2
2 JJJG
= − AB + AC = BA + AC
3
3
3
3
JJJ
G
JJJG
JJJ
G
2
2
= BA + AC = BC
3
JJJJG 3 JJJG
Les vecteurs MN et BC étant colinéaires,
(
)
on déduit que les droites (MN) et (BC) sont parallèles
Exercice n°11 (le Théorème de Varignon)
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1) Dans le triangle ABC, I étant le milieu de [AB]et J celui de [BC], on applique la propriété dite de la droite des milieux
JJG
(ou de Thalès Vectoriel) pour conclure que IJ =
1 JJJG
AC
2
2) Dans le triangle ACD, L étant le milieu de [AD]et K celui de [CD], on applique la propriété dite de la droite des
JJJG
1 JJJG
AC
2
JJG 1 JJJG
JJJG 1 JJJG
JJG JJJG
3) Puisque IJ = AC et LK = AC , on conclut que IJ = LK , donc que IJKL est un parallélogramme.
2
2
milieux (ou de Thalès Vectoriel) pour conclure que LK =
Exercice n°12
1)
JJJOn
G écrit
JJJG JJJG
PQ = N
PB + BQ
car P est
le milieu
par définition
de [ AB]
P
1 JJJG  1 JJJG 
= AB +  − BC 
2
 3

JJJ
G
JJJ
G
JJJG
1
1
= AB − BA + AC
2
3
JJJ
G
1
1 JJJG 1 JJJG
= AB − BA − AC
2
3
3
JJJ
G
JJJ
G
1
1
1 JJJG
= AB + AB − AC
2
3
3
5 JJJG 1 JJJG
= AB − AC
6
3
JJJG 4 JJJG
JJJG 4 JJJG
Si RC = AC , alors, on peut écrire de plus que CR = CA , d’où :
5
5
JJJG JJJG JJJG JJJG
PR = N
PA + AC + CR
(
)
car P est
le milieu
de [ AB]
par définition
P
JJJ
G
JJJG
JJJ
1
 4 G
= BA + AC +  CA 
2
5

1 JJJG JJJG 4 JJJG
= − AB + AC − AC
2
5
1 JJJG 1 JJJG
= − AB + AC
2
5
2) On calcule
3 JJJG
3  5 JJJG 1 JJJG 
− PQ = −  AB − AC 
5
56
3

3 × 5 JJJG 3 ×1 JJJG
=−
AB +
AC
5× 6
5× 3
1 JJJG 1 JJJG
= − AB + AC
2
5
JJJG
= PR
JJJG JJJG
Les vecteurs PR et PQ sont donc colinéaires
3) On en déduit que les points P, Q et R sont alignés
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Exercice n°13
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
1) On va exprimer les vecteurs BD et BE en fonction de AB et AC afin de montrer qu’ils sont colinéaires
On écrit d’une part :
JJJG JJJG JJJG
BD = BA + AD
JJJG 5 JJJG 3 JJJG
= BA + AC + CB
2
2
JJJG 5 JJJG 3 JJJG JJJG
= − AB + AC + CA + AB
2
2
JJJG 3 JJJG 5 JJJG 3 JJJG
= − AB + AB + AC − AC
2
2
2
JJJ
G
JJJG
1
= AB + AC
2
(
)
Et d’autre part :
JJJG JJJG JJJG
BE = BC + CE
JJJG JJJG JJJG 1 JJJG
= BA + AC − 2 AC + AB.
2
JJJG 1 JJJG JJJG JJJG
= − AB + AB + AC − 2 AC
2
JJJ
G
JJJG
1
= − AB − AC
2 JJJG
JJJG
Puisque BD = − BE , on en déduit que le point B est le milieu du segment [ED].
Exercice n°14
On écrit successivement :
JJJG JJG JJJG JJJG
JK = JA + AB + BK
2 JJJG JJJG 1 JJJG
= BA + AB + BC
3
2
2 JJJG JJJG 1 JJJG JJJG
= − AB + AB + BA + AC
3
2
JJJ
G
JJJ
G
2
1 JJJG 1 JJJG
= − AB + AB − AB + AC
3
2
2
JJJ
G
JJJG
1
1
= − AB + AC
6
2
JJJG JJG JJJG 2 JJJG JJJG
JJJG
JJG
J
2 JJJG JJJG
puis JD = JA + AD = BA + 2 AC = − AB + 2 AC , ce qui nous permet de constater que JD = 4 JK , donc de
3
3
(
)
conclure que les points J,D et K sont alignés.
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