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ENAC Physique toutes filières 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Faucherand (Ponts et Chaussées) ; il a été relu
par Yannick Alméras (ENS Ulm).
Ce sujet propose un éventail des différents chapitres du programme de sup, allant
de l’électromagnétisme à la thermodynamique en passant par l’optique géométrique,
la mécanique et l’électricité. Les questions présentent rarement des difficultés insurmontables, si ce n’est quelques questions un peu calculatoires ; mais en revanche, le
sujet fait appel à l’attention du candidat en proposant des réponses qu’une lecture
trop rapide de l’énoncé sur les notations et conventions rendrait aisément fausses.
Insistons sur le fait que l’ENAC cherche, en posant des QCM, à tester les candidats
sur un grand nombre de domaines du cours. Le but n’est pas de rédiger des réponses
complètement le jour du concours, mais d’arriver à choisir le plus rapidement possible
les cases à cocher.
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Indications
3 Calculer l en divisant par le diamètre a la surface du cône occupée par le fil.
4 Utiliser la loi de Biot et Savart.
dN
5 Multiplier le champ trouvé à la question précédente par la densité de spires
N
et intégrer par rapport à r en effectuant des changements de variables successifs.
6 Utiliser la relation de Descartes.
9 Tracer les trajectoires des rayons lumineux pour un objet A0 B0 situé à une distance d0 de l’objectif et raisonner à l’aide du schéma.
10 Considérer le même schéma qu’à la question 9.
11 Revenir à la définition de la puissance moyenne.
12 Une méthode consiste à considérer la puissance moyenne dissipée par effet Joule
et à la comparer à la puissance moyenne consommée.
13 Calculer le module de l’impédance et en déduire L.
14 Exprimer le facteur de puissance en fonction de r, L, C, et ω à l’aide de l’impédance.
17 Utiliser la loi de Laplace.
19 Utiliser l’équation d’état des gaz parfaits.
20 Prendre la différentielle de l’énergie interne.
21 Idem.
22 Faire un bilan d’énergie.
27 Calculer l’accélération d’entraînement dans R′ .
28 Penser à la force d’inertie de Coriolis. . .
29 Appliquer le principe fondamental de la dynamique et résoudre le système obtenu.
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Partie I
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Magnétostatique
1 Nous allons ici étudier le champ magnétique créé par le système.
Pour déterminer dans un premier temps le
nombre N de spires qui constituent le bobinage, considérons le schéma ci-contre.
r2 − r1
Nous avons
sin α =
aN
soit
N=
z( r1 )
a
aN
α
r2 − r1
a sin α
z(r2 )
r2
A
B
C
D
r1
E
2 On passe ici, et dans la suite, d’une description discontinue du bobinage à une
description continue, ce qui est justifié dans le cas où le nombre total N de spires
est important, c’est-à-dire pour N ≫ 1. Nous pouvons donc considérer un élément
infinitésimal du bobinage.
Le dessin de droite nous donne
dz
cos α =
a dN
soit
a dN
α
dz
dN =
a cos α
A
dz
dr
B
C
D
E
3 La section du fil est donnée par s = (πa2 )/4. Il nous reste donc à calculer sa
longueur l. Celle-ci est obtenue en divisant la surface du cône occupée par le fil, par
le diamètre a du fil.
l=
soit
surface du cône
1
=
a
a
l=
Z
r2
r1
Z
N
2πrn a dN =
0
Z
z2
z1
2πr dr
π(r22 − r12 )
=
a sin α
a sin α
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2πr dz
a cos α
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En remplaçant l par sa valeur dans l’expression de R, on obtient
R=ρ
A
l
(r2 − r12 )
= 4ρ 23
s
a sin α
B
C
D
E
4 Le bobinage étant parcouru par un courant I constant, il est en fait demandé
→
−
de retrouver le résultat classique du champ magnétique B créé par une spire en un
point de son axe. Regardons le schéma suivant qui correspond à notre cas.
P
r
n
α
S
z
z
dB
La loi de Biot et Savart donne pour un champ magnétique créé en S par un
→
−
élément de longueur dl orienté par le courant I de la spire
→ −
−
→
−
→ µ0 I dl ∧ PS
µ0 I sin2 α −
dB =
=
dl →
n
3
4π PS
4π r2
Du fait de la symétrie de révolution de la distribution de courant autour de l’axe Oz,
→
le champ magnétique est dirigé suivant −
z , sur lequel il reste donc à projeter
µ0 I
sin3 α dl
4πr2
et à intégrer sur le périmètre de la spire considérée :
Z 2πr
−
→
µ0 I
µ0 I
→
→
B1 =
sin3 α dl −
ez = 2πr
sin3 α −
ez
2
2
4πr
4πr
0
dBz =
−
→ µ0 I
→
B1 =
sin3 α −
ez
2r
soit
A
B
C
D
E
−
→
5 Pour calculer le champ magnétique total B créé par la bobine, il faut intégrer
suivant r puisque α = Cte .
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