Brevet blanc donné en DM en mars avec sa correction

Brevet blanc à rendre à la rentrée de mars 2012
Partie Numérique
Exercice 1.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question une seule réponse est
exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte un point. L'absence de réponse
ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indique sur ta copie le numéro de la question et de la réponse.
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1) L'image de 4 par la fonction f définie par
f ( x)=3 x −5 est :
12
3
7
2) L'antécédent de 4 par la fonction f définie par
f ( x)=3 x −5 est :
12
3
7
3) Le premier jour j'ai effectué un tiers du trajet,
le deuxième jour un quart. Il m'en reste :
5
7
5
12
7
12
4) La diagonale d'un carré de côté 3 cm est égale
à:
√6
3 √2
2 √3
Exercice 2, Brevet France métropolitaine, juin 2011
Pour cet exercice, on ne vous demande qu'un peu de réflexion et des calculs très simples. Vous devez
trouver la solution sans poser d'équation.
On fabrique des bijoux à l’aide de triangles qui ont tous la même forme. Certains triangles sont en verre et
les autres sont en métal. Trois exemples de bijoux sont donnés ci-dessous. Les triangles en verre sont
représentés en blanc ; ceux en métal sont représentés en gris.
Tous les triangles en métal ont le même prix. Tous les triangles en verre ont le même prix. Le bijou n°1
revient à 11 €, le bijou n°2 revient à 9,10 €. À combien revient le bijou n°3 ?
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte
dans la notation.
Partie Géométrique
Exercice 1, Brevet Polynésie Septembre 2010 :
La formule d’Al-Kashi permet de calculer le troisième côté d’un triangle connaissant deux côtés et un angle.
Pour un triangle ABC, on a : BC²=AB²+AC²−2AC×AB×cos ̂
BAC .
On considère pour tout l’exercice que : AB = 6 cm, AC = 12 cm et ̂
BAC = 60 °.
1. Construire un triangle ABC vérifiant les conditions précédentes.
2. Donner la valeur de cos ̂
BAC .
En déduire avec la formule d’Al-Kashi que l’on a BC2 = AC2 + AB2− AC × AB.
Montrer que BC = √ 108 cm.
3. En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.
Brevet blanc à rendre début mars.
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Exercice 2, Brevet Asie, juin 2010
Lors d’une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre F située à 18 mètres au-dessus du sol en
utilisant leur grande échelle [PF]. Ils doivent prévoir les réglages de l’échelle. Le pied P de l’échelle est situé
sur le camion à 1,5 m du sol et à 10 m de l’immeuble.
1. D’après les informations ci-dessus, déterminer la longueur RF.
2. Déterminer l’angle que fait l’échelle avec l’horizontale, c’est-à-dire ̂
FPR , arrondi à l’unité.
3. L’échelle a une longueur maximale de 25mètres. Sera-t-elle assez longue pour atteindre la fenêtre F ?
Problème, brevet Asie, juin 2010
On rappelle les formules suivantes : Périmètre d’un cercle de rayon R : 2πR
Aire d’un disque de rayon R : πR²
et
Volume d’un cône :
aire de la base×hauteur
3
Partie 1
Un cocktail sans alcool est préparé avec 8 cL de jus d’abricot, 6 cL de jus d’ananas, 2 cL de jus de citron
vert et 2 cL de sirop de cerise.
1. Quelle est la proportion de jus d’abricot dans ce cocktail ?
2. Pour préparer un pichet contenant 2,7 litres de ce cocktail, quelle
quantité de jus d’abricot faut-il prévoir ?
Partie 2
Lors d’une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres
qui ont la forme d’un cône de révolution.
Le bord du verre est un cercle de rayon OC = 5,9 cm.
Ce cercle est situé dans un plan horizontal.
La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm.
La figure donnée n’est pas réalisée à l’échelle.
1. a. Calculer, en cm 3 , le volume de ce verre, arrondi à l’unité.
b. En déduire que la contenance de ce verre est d’environ 25 cL.
On utilisera cette valeur dans la suite du problème.
2. a. Pour cette question on admettra que si un solide voit ses dimensions (c'est à dire ses longueurs)
multipliées par k alors son volume est multiplié par k 3 .
Dans cette question, le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur.
On admet que le liquide occupe un cône de hauteur SO' dont la base est le disque de rayon O'C'. On
considère que ce disque est horizontal comme le bord du verre. Calculer le volume de cocktail contenu dans
chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près.
b. 43 personnes sont attendues à cette fête. Sachant qu’en moyenne, chacune d’elles consommera 3 verres,
20 litres de cocktail suffiront-ils ?
3. Le graphique de la page suivante représente les variations du volume de cocktail contenu dans le verre en
fonction de la hauteur de liquide.
a. Le volume est-il proportionnel à la hauteur de liquide ? Justifier la réponse.
b. Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer :
• Le volume de cocktail si la hauteur de liquide atteint 3 cm.
• La hauteur de liquide si le volume servi est 17 cL.
Brevet blanc à rendre début mars.
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Nom : _________________________________
Prénom : _________________________________
Feuille à rendre avec votre copie.
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Correction du Brevet blanc à rendre à la rentrée de mars 2012
Partie numérique [7 points]
Correction de l'exercice 1 [4 points, un point par réponse]
Seule la réponse correcte a été conservée à chaque question.
Réponse A
Réponse B
1) L'image de 4 par la fonction f définie par
f ( x)=3 x −5 est :
2) L'antécédent de 4 par la fonction f définie par
f ( x)=3 x −5 est :
3) Le premier jour j'ai effectué un tiers (
trajet, le deuxième jour un quart (
4
) du
12
Réponse C
f(4)=3×4–5=7
3, car 3 est la
solution de
3x–5=4
1-
4
3
5
=
12 12 12
3
). Il m'en
12
reste :
4) La diagonale d'un carré de côté 3 cm est égale
à:
3 √ 2 ou  18
(on applique le
th. de Pythagore)
Correction de l'exercice 2, Brevet France métropolitaine, juin 2011 [3 points]
Pour cet exercice, on ne vous demande qu'un peu de réflexion et des calculs très simples. Vous devez
trouver la solution sans poser d'équation.
On fabrique des bijoux à l’aide de triangles qui ont tous la même forme. Certains triangles sont en verre et
les autres sont en métal. Trois exemples de bijoux sont donnés ci-dessous. Les triangles en verre sont
représentés en blanc ; ceux en métal sont représentés en gris.
Tous les triangles en métal ont le même prix. Tous les triangles en verre ont le même prix. Le bijou n°1
revient à 11 €, le bijou n°2 revient à 9,10 €. À combien revient le bijou n°3 ?
1ère méthode :
Le bijou n°3 peut être vu comme une moitié de bijou n°1 (2 verres et 2 morceaux de métal) jointe à une
moitié de bijou n°2 (3 verres et 1 morceau de métal)
11 9,10
+
=10,05
2
2
Le bijou n°3 coûte 10,05€.
2ème méthode :
Le bijou n°1 est fait de quatre lots composés d'un morceau de verre et d'un morceau de métal.
11 : 4 = 2,75.
Un morceau de métal et un morceau de verre valent 2,75€.
Le bijou n°2 est fait de deux lots à 2,75€ composés d'un morceau de verre et d'un morceau de métal ainsi
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que de deux lots composés de deux morceaux de verre.
9,10-2,75×2=3,6.
Les deux lots composés de deux morceaux de verre valent 3,60€ et donc un lot seul vaut 3,60 : 2 soit 1,80€.
Le bijou n°3 est fait de trois lots à 2,75€ composés d'un morceau de verre et d'un morceau de métal ainsi que
d'un lot à 1,80€ composé de deux morceaux de verre.
2,75×3+1,80×1=10,05
Le bijou n°3 revient à 10,05€.
11−9,1
trouver le surcoût
2
qu’entraînait un morceau de métal utilisé à la place d'un morceau de verre, soit 0,95€.
9,1+0,95=10,05
Le bijou n°3, qui a un morceau de métal à la place d'un morceau de verre par rapport au bijou n°2,
coûte10,05€
D'autres méthodes étaient encore possible. On pouvait notamment, en calculant
Partie Géométrique [6 points]
Correction de l'exercice 1, Brevet Polynésie Septembre 2010 [3 points, un point par question]:
La formule d’Al-Kashi permet de calculer le troisième côté d’un triangle connaissant deux côtés et un angle.
Pour un triangle ABC, on a : BC²=AB²+AC²−2AC×AB×cos ̂
BAC .
On considère pour tout l’exercice que : AB = 6 cm, AC = 12 cm et ̂
BAC = 60 °.
1. Construire un triangle ABC vérifiant les conditions précédentes.
2. Donner la valeur de cos ̂
BAC .
̂
Si BAC=60∘ alors cos(60°)=0,5.
En déduire avec la formule d’Al-Kashi que l’on a BC² = AC² + AB²− AC × AB.
Comme cos ̂
BAC = 0,5 alors 2AC×AB×cos ̂
BAC = AC×AB et donc la formule d'Al-Kashi donne
ici BC²=AB²+AC²−AC×AB.
Montrer que BC = √ 108 cm.
BC²=6²+12²–6×12
BC²=36+144–72
BC²=108 or BC est une longueur donc BC>0 et ainsi BC = √ 108 cm.
3. En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.
Dans le triangle ABC, le plus long côté est AC.
D'une part AC² = 12²=144
D'autre part AB²+CB²=6²+108=36+108=144
Nous constatons que AC²=AB²+CB² donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC
est rectangle en B.
Correction de l'exercice 2, Brevet Asie, juin 2010 [3 points, un point par question]
Lors d’une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre F située à 18 mètres au-dessus du sol en
utilisant leur grande échelle [PF]. Ils doivent prévoir les réglages de l’échelle. Le pied P de l’échelle est situé
sur le camion à 1,5 m du sol et à 10 m de l’immeuble.
1. D’après les informations ci-dessus, déterminer la longueur RF.
Les points F, R et S sont alignés, donc RF = FS – RS = 18 – 1,5 = 16,5
La longueur RF vaut 16,5 m.
Brevet blanc à rendre début mars.
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2. Déterminer l’angle que fait l’échelle avec l’horizontale, c’est-à-dire ̂
FPR , arrondi à l’unité.
Le triangle FRP est rectangle en R.
FR
16,5
tan ̂
donc tan ̂
et ainsi ̂
FPR =
FPR =
FPR=tan−1 (1,65) soit environ 59°.
PR
10
3. L’échelle a une longueur maximale de 25 mètres. Sera-t-elle assez longue pour atteindre la fenêtre F ?
Le triangle FRP est rectangle en R, donc, d'après le théorème de Pythagore, nous avons :
FP²=FR²+RP²
FP²=16,5²+10²
FP²=272,25+100
FP²=372,25 or FP est une longueur donc FP>0 et ainsi FP=√ 372,25 soit environ 19,3m et donc
FP<25m. L'échelle ayant une longueur maximale de 25m, elle sera assez longue pour atteindre la fenêtre F.
Correction du problème, brevet Asie, juin 2010 [7 points]
On rappelle les formules suivantes : Périmètre d’un cercle de rayon R : 2πR
Aire d’un disque de rayon R : πR²
et
Volume d’un cône :
aire de la base×hauteur
3
Partie 1
[2 points, un point par question]
Un cocktail sans alcool est préparé avec 8 cL de jus d’abricot, 6 cL de jus d’ananas, 2 cL de jus de citron
vert et 2 cL de sirop de cerise.
1. Quelle est la proportion de jus d’abricot dans ce cocktail ?
8+6+2+2=18.
En tout le volume du cocktail est 18 cL.
8 4
=
18 9
4
La proportion du jus d'abricot dans le cocktail est
soit environ 0,44.
9
2. Pour préparer un pichet contenant 2,7 litres de ce cocktail, quelle quantité de jus d’abricot faut-il prévoir ?
4
2,7× =1,2 . Pour préparer 2,7 L de cocktail il faut prévoir 1,2 L de jus d'abricot.
9
Partie 2
[5 points, voir le barème ci-dessous]
Lors d’une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres qui ont la forme d’un cône de révolution.
Le bord du verre est un cercle de rayon OC = 5,9 cm. Ce cercle est situé dans un plan horizontal.
La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm.
La figure donnée n’est pas réalisée à l’échelle.
1. a. Calculer, en cm 3 , le volume de ce verre, arrondi à l’unité. [1 point]
Aire de la base = πOC² soit π×5,9² soit environ 109,36cm²
airedelabase×hauteur 10,936×6,8
=
Volume du verre =
soit environ 248 cm3.
3
3
b. En déduire que la contenance de ce verre est d’environ 25 cL. [0,5 point]
1 L correspond à un cube de côté 10cm soit 1000 cm 3.
1 cL correspond à une centième de ce volume soit 10 cm 3.
248 cm^3 correspond donc à 24,8 cL soit environ 25 cL.
2. a. Pour cette question on admettra que si un solide voit ses dimensions (c'est à dire ses longueurs)
multipliées par k alors son volume est multiplié par k 3 . [1 point]
Dans cette question, le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur.
On admet que le liquide occupe un cône de hauteur SO' dont la base est le disque de rayon O'C'. On
considère que ce disque est horizontal comme le bord du verre. Calculer le volume de cocktail contenu dans
chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près.
Le cône de sommet S et de hauteur SO' est une réduction du cône de sommet S et de hauteur SO de facteur
4
5.
3
4
Le volume de ce cône est donc 25×
soit 12,8.
5
Le volume du cocktail contenu dans chaque verre est 13 cL environ.
()
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2b. 43 personnes sont attendues à cette fête. Sachant qu’en moyenne, chacune d’elles consommera 3 verres,
20 litres de cocktail suffiront-ils ?
[1 point]
43×3=129
129 verres seront consommés.
13×129=1677
1677 cL seront consommés soit 16,77 L. 20 litres de cocktail seront donc suffisant.
3. Le graphique de la page suivante représente les variations du volume de cocktail contenu dans le verre en
fonction de la hauteur de liquide.
Remarque préliminaire : ce graphique n'est pas correct. Pour une hauteur de 7cm, il indique un volume de
20,5 cL or l'énoncé précise bien que la contenance du verre est environ de 25 cL et cela pour une hauteur de
6,8 cm (résultat que nous avons retrouvé par calcul). Nous pouvons donc affirmer que les résultats que nous
trouverons par lecture graphique ne seront pas tout à fait cohérents avec les résultats que des calculs
convenablement menés auraient indiqué.
a. Le volume est-il proportionnel à la hauteur de liquide ? Justifier la réponse. [0,5 point]
La courbe obtenue n'est pas une droite or seules les droites passant par l'origine du repère représentent des
situations de proportionnalité. Le volume du liquide n'est donc pas proportionnel à sa hauteur.
b. Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer :
• Le volume de cocktail si la hauteur de liquide atteint 3 cm.[0,5 point]
Si la hauteur de liquide atteint 3 cm, le volume sera légèrement inférieur à 2 cL.
3
3
Remarque en lien avec la remarque préliminaire : 25×
donne 2,1 cL.
6,8
( )
• La hauteur de liquide si le volume servi est 17 cL. [0,5 point]
Si le volume de liquide servi est 17 cL, la hauteur du liquide sera légèrement supérieure à 6,5 cm.
Remarque en lien avec la remarque préliminaire : en fait, nous aurions dû trouver un peu moins de 6 cm car
3
6
25×
donne environ 17,2 cL.
6,8
( )
Brevet blanc à rendre début mars.
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