amortization schedule calculator

The Lognormal Method Applied to ABS and MBS Analysis
ZHENG Yunqing
TCHANGUE Serge
Ecole Nationale des Ponts et Chaussées
Mars 2007
Abstract
This paper shows how to use the Expected Loss approach in conjunction with the
lognormal assumption to analyze ABS and MBS slices. First, we consider an example
with linear amortization without prepayment and then we tackle the case of an ABS
structure with constant amortization that includes interest and principal. In this last case,
we will analyze the influence of prepayment on different slices. This analysis tells us at
which level of prepayment the equity slice or senior slice can take lose or gain value.
Our general guideline will be to calculate the net present value (NPV) and the expected
loss of each slice given by the cash-flows generated in each scenario. Then, we calculate
the average of this value using the probability of the considered scenario to occur. This
probability is given by a lognormal distribution. To make this process automatically and
more accurate, we built a C++ DLL for Excel that use Monte -Carlo method instead of
scenarios.
Keywords: Lognormal Method, Principal Allocation, Prepayment, Expected Loss, ABS, MBS,monte-carlo.
1. Introduction
Asset-Backed Securities (ABS) issuance, especially Collateral Debt Obligations
(CDO) and Collateral Loan Obligations (CLO), shows a remarkable growth during
recent years and can be expected to continue over the next year. So the ratings of
Asset-Backed securities and Mortgage Backed securities seem to us more and more
important. How to assign a rating for those securities? Moody’s ratings of AssetBacked securities and Mortgage Backed securities are ultimately based on the
Expected Loss Concept. When assigning a rating, we should identify all outcomes or
paths which might lead o investors suffering a loss on the rated security, to quantify
those losses, and to assign probabilities of each such path occurring. The rating is
then based on the probability weighed los to the investor. This report focuses on the
expected loss approach and shows under lognormal assumption this approach can
analyze ABS securities and MBS securities quite well. It is also an attempt to present
a prepayment model which gives us a view of more real model in the bank sector.
The report is structured as follows. First, we present the lognormal method to
demonstrate the advantage of this method and how to use it. In the next section, a
model of cash flow allocation with two different kinds of principal allocation is
proposed with a simple example. Third, we present the sensitivity analysis for
different parameters. Fourth, we introduce the model in consideration of prepayment
and present the result also. Finally, we summarize our findings and conclude.
2. The Lognormal Method
Historical performance data allows us to estimate the future performance of a
pool of loans or other receivables. With the aid of a sufficiently large data set, we can
construct a histogram. We find that, in many cases, the shape of the histogram follows
the shape of the theoretical “lognormal” probability distribution. Let us denote M and
∑
as the mean and standard deviation of the cumulative default rate. We assumed
that the cumulative default rate L calculated of the cumulative default rate L is
lognormally distributed. This means that X , which is the natural logarithmic value of
L , has a normal distribution of probability with mean m and standard deviation σ
calculated as follows:
L = e m + σ B1
E[ L] = M = e e
m
[
Var[ L ] = E e
⇒
σ =
σ E [ B1 ] +
2 m + 2σ B1
σ
2
2
Var [ B1 ]
]− M

log 1 +


2
=
= e
∑
2
m+
2
σ
⇒
2
= e
2 m+
( 2σ ) 2 ⋅1
2
m = log( M ) −
σ
2
2
2
2
− M 2 = e 2 m + 2σ − M 2 = M 2 e σ − M 2
2
 ∑  


 M  

 
So the lognormal method of building cumulative default rate distribution is as follows:
Denoting “ j ” as the scenario under which the fault rate ranges between l j and
l j + ∆ l , the probability of the occurrence of the scenario j equals
1
2π σ
xj+ ∆ x
∫
e
−
( u− m)2
2σ
2
du ,
xj
( )
where x j = log l j . Helpfully, this formula has already been implemented in Microsoft
Excel as:
LOGNORMDIST ( l j + ∆ l ; m; σ ) − LOGNORMDIST ( l j ; m; σ
)
Chart 1 Excel Model of calculating the probability of default
Probability( interval of
0.1%)
Cumulative Default Rate Distribution
1.00%
0.80%
0.60%
0.40%
0.20%
0.00%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Cumulative Default Rate
Chart 2 Cumulative Default Rate Distribution
Chart 2 shows the probability distribution of the cumulative default rate according to a
Lognormal distribution with mean M=1% and standard deviation
∑
= 0 .7 % .
3. An Example of A Lognormal Method Application
We use a simple example to explain how to implement our cash flow allocation
model and how to finally obtain the expected loss. Firstly, we make the following
assumptions:
1). The probability distribution of the cumulative default rate of a portfolio of assets is
lognormal with mean M=1% and standard deviation ∑ = 0.7% .
2). The pool has a seven-year maturity and pays an average coupon of 7%.
3). The assets are subject to contractual amortization based on a linear schedule over a
seven-year period.
4). No prepayments are received.
5). There is a 40% recovery rate on defaulted assets. Recoveries occur instantaneously in
the same period as the asset defaults.
6). On average the timing of defaults on the assets is assumed as follows :
Time Distribution of Losses
1.60%
1.40%
1.20%
1.00%
0.80%
0.60%
0.40%
0.20%
0.00%
1
2
3
4
5
6
7
Year
Chart 3. Time Distribution of Losses
7). The reserve fund has been financed by a subordinated loan provided by the originator.
8). Both Class A and B Notes receive a semi-annual coupon.
9). No coupon is paid to the Subordinated Loan provider.
Assets
Liabilities
100 Receivables
C=
M=
SIGMA=
Recovery Rate=
Maturity=
1
7% 1% 0.70% 40% 7 years
Reserve Fund
90
Class A Notes
c=
10
Class B Notes
c=
1
Chart 4 A two-tranche structure considered in our example
5%
6%
Subordinated Loan
The algorithm of Cash flow Allocation is as follows:
1). Asset Allocation
O/S Bop = 100 (as defined in the Balance Sheet)
Contractual Amortisation = O/S Bop / Time to Maturity
Defaulted Time Distribution given by Chart 3
Defaulted Amount = Default Time Distribution * O/S Bop
Actual Amortisation=(O/S Bop – Defaulted Amount) / Time To Maturity
Recoveries = Recovery Rate * Defaulted Amount
Net losses = Defaulted amount – recoveries
Interest on the Assets = (O/S Bop – Defaulted Amount) / Coupon/2
(/2: because it’s semi-annual)
O/S eop = O/S Bop – Defaulted Amount – Actual Amortisation
O/S Bop = O/S eop

2). Liability
O/S A Bop = the nominal value of the A notes (i.e. 90)
O/S B Bop = the nominal value of the B notes (i.e. 10)
O/S Total Bop = O/S A Bop + O/S B Bop
Interest A Due = O/S A Bop * coupon c (A) /2
Interest B Due = O/S B Bop * coupon c (B) /2
1) Amortisation Algorithm :
There are two kinds of amortisation: “Normal” Amortisation and Early Amortisation.
i). “Normal” Amortisation
Princial A Due = (Contractual Amortisation + Defaulted Amount)*O/S A Bop / O/S
Total Bop
Princial B Due = (Contractual Amortisation + Defaulted Amount)*O/S B Bop / O/S
Total Bop
ii). Early Amortisation
During Early Amortisation, all the cash available at the payment date, including the
reserve fund, is allocated as follows: Interest A, Interest B, Principal A. When the
Class A Notes are fully redeemed the cash allocation becomes: Interest B, Principal
B.
If (Actual Cash Received >= Interest A Due+ Interest B Due+ Principal A Due
+Principal B Due)
//“Early Amortisation”
Cash Available = Actual Cash Received
Interest A Paid = Interest A Due
Interest B Paid = Interest B Due
Remaining Cash 1 = Cash Available – Interest A Paid –Interest B Paid
Principal A
Principal B
Paid = Principal A Due
Paid = Principal B Due
Else
If the last amortization is early amortisation
Cash Available = Actual Cash Received + 1
Else
Cash Available = Actual Cash Received
End if
If Cash Available > Interest A due
Interest A Paid = Interest A due
Else
Interest A Paid = Cash Available
End if
If Cash Available – Interest A Paid > Interest B due
Interest B Paid = Interest B due
Else
Interest B Paid = Cash Available – Interest A Paid
End if
Remaining Cash 1 = Cash Available – Interest A Paid –Interest B Paid
If Remaining Cash 1 > Principal A due
Principal A Paid = Principal A due
Else
Principal A Paid = Remaining Cash 1
End if
Principal B Paid = Remaining Cash 1 - Principal A Paid
End if
Remaining Cash 2 = Remaining Cash 1 – Principal A Paid – Principal B Paid
Total Amount Received by A = Interest A Paid + Principal A Paid
Total Amount Received by B = Interest B Paid + Principal B Paid
2) Net Present Value Algorithm
Helpfully, this formula has already been implemented in Microsoft Excel as :
NPV(Coupon Rate, Total Amount Received by A from the beginning to the
maturity)
3) Loss Rate
Loss Rate A = (the nominal value of the A Notes – NPV A) / the nominal value of the
A Notes
Loss Rate B = (the nominal value of the B Notes – NPV B) / the nominal value of the
B Notes
The loss in each scenario is then weighted by the probability of occurrence of that
scenario, determined according to the Lognormal distribution. This allows us to
calculate the expected loss on each Class of Note.
Cumulative default rate Lj
0.10%
2.30%
4.60%
4.70%
4.80%
4.90%
5.00%
8.80%
8.90%
9.00%
9.10%
9.20%
11.10%
11.20%
11.30%
11.40%
15.00%
16.00%
19.50%
Probability Scenario Pj Loss A
Notes(%)
0.00000%
0.00000%
0.00138%
0.00000%
0.12762%
0.00000%
0.14076%
0.00000%
0.15454%
0.00000%
0.16894%
0.00000%
0.18392%
0.00000%
0.77861%
0.00000%
0.78670%
0.08436%
0.79421%
0.22656%
0.80115%
0.36877%
0.80753%
0.51097%
0.83172%
2.70231%
0.82871%
3.35703%
0.82535%
3.51687%
0.82167%
3.67670%
0.57215%
9.43079%
0.49349%
11.02915%
0.27016%
16.62340%
Loss B
Notes(%)
0.00000%
0.00000%
5.73835%
6.78206%
8.02170%
9.21612%
10.41054%
55.61998%
56.09986%
56.09348%
56.08711%
56.08073%
61.02259%
66.11178%
66.11178%
66.11178%
66.11178%
66.11178%
66.11178%
Table 1 the Loss Rate of the Lognormal Method computation
Table 1 summarizes the result of the Lognormal Method computation. Only a few
scenarios among the ones that were computed are depicted in the table below. We
pick up some important turning point like as long as the cumulative default rate does
not exceed 8.8%, there is no loss on the A Notes. And as long as the cumulative
default rate does not exceed 4.6%, there is no loss on the B Notes. And as long as the
cumulative default rate exceeds 11.1%, the loss on the B Notes remains constant at
66.11178%.
The total expected loss of each Class of Notes would be calculated as follows:
Expected Loss (A Notes) =
Expected Loss (B Notes) =
4) Average Life
Total Principal Weight A = Sum ( Principal A Paid from the beginning to the
maturity)
Total Principal Weight B = Sum ( Principal B Paid from the beginning to the
maturity)
Time Principal Weight A = Principal A Paid * time / the nominal value of the A
Notes (i.e. 90)
Time Principal Weight B = Principal B Paid * time / the nominal value of the B
Notes (i.e. 10)
If the A Notes are not fully amortised after the legal maturity
// we consider that the non-amortised amount is amortised at the legal maturity
date
Time Principal Weight A at Maturity = (Principal A paid + the nominal value of
the A Notes – Total Principal Weight A ) * maturity / the nominal value of the A
Notes
If the B Notes are not fully amortised after the legal maturity
// we consider that the non-amortised amount is amortised at the legal maturity
date
Time Principal Weight B at Maturity = (Principal B paid + the nominal value of
the B Notes – Total Principal Weight B ) * maturity / the nominal value of the B
Notes
Average Life A = sum (Time Principal Weight A from the beginning to the maturity)
Average Life B = sum (Time Principal Weight B from the beginning to the maturity)
The expected average life of each Class of Notes is calculated in a classical way
including the fact that if the Notes are fully amortised after the legal maturity, we
consider that the non-amortised amount is amortised at the legal maturity date. And the
expected average life equals 3.71 years
Cumulative default rate Lj
0.10%
2.30%
4.60%
4.70%
4.80%
Probability Scenario Pj Loss A
Loss B
Notes(%)
Notes(%)
0.00000%
3.75
3.75
0.00138%
3.70
3.70
0.12762%
3.45
5.64
0.14076%
3.45
5.64
0.15454%
3.41
6.03
4.90%
5.00%
8.80%
8.90%
9.00%
9.10%
9.20%
11.10%
11.20%
11.30%
11.40%
15.00%
16.00%
19.50%
0.16894%
0.18392%
0.77861%
0.78670%
0.79421%
0.80115%
0.80753%
0.83172%
0.82871%
0.82535%
0.82167%
0.57215%
0.49349%
0.27016%
3.41
3.41
3.58
3.59
3.59
3.59
3.60
3.63
3.66
3.67
3.67
3.88
3.94
4.14
6.04
6.04
6.05
6.05
6.05
6.05
6.05
6.50
7.00
7.00
7.00
7.00
7.00
7.00
Table 2 the Result of Average Life of Notes A and B
Cash Flow Allocation (Cumulative Default = 5%)
1
2
3
4
5
6
7
8 ……
14
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
… … P14
Asset
O/S Bop
Contractual
Amortisation
Default Time
Distribution
Defaulted Amount
Actual
Amortisation
Recoveries
Net Losses
Interest on the
Assets
Actual Cash
Received
O/S eop
Liability
O/S A Bop
100
92.63
85.27
77.71
70.19
62.49
54.88
47.58
6.50
6.80
……
……
7.14
7.13
7.11
7.06
7.02
6.94
6.86
5%
5%
10%
10%
15%
15%
10%
10%
……
2.5%
0.25
7.13
0.25
7.11
0.50
7.06
0.50
7.02
0.75
6.94
0.75
6.86
0.50
6.80
0.50
6.73
……
……
0.13
6.37
0.10
0.10
0.20
0.20
0.30
0.30
0.20
0.20
0.05
0.30
2.70
0.45
2.43
0.45
2.16
0.30
1.90
0.30
1.65
……
……
……
0.15
3.49
0.15
3.23
0.30
2.97
10.47
10.19
9.73
9.42
8.92
8.57
8.40
8.07
……
6.52
92.63
85.27
77.71
70.19
62.49
54.88
47.58
40.36
0.00
83.35
76.71
68.15
60.69
53.54
46.56
39.58
……
……
……
……
90.00
6.50
0.08
0.22
0.00
O/S B Bop
O/S Total Bop
10.00
9.26
8.52
8.52
8.52
8.52
8.52
8.52
100.00
92.61
85.23
76.67
69.21
62.06
55.09
48.10
Interest A Due
Interest B Due
2.25
0.30
2.08
0.28
1.92
0.26
1.70
0.26
1.52
0.26
1.34
0.26
1.16
0.26
0.99
0.26
Principal A Due if
Normal
Amortisation
Principal B Due if
Normal
Amortisation
6.65
6.64
6.85
6.72
6.81
6.64
6.22
0.74
0.74
0.76
0.84
0.96
1.06
1.14
Test Amortisation:
Normal 1/early 0
Cash Available
Interest A Paid
Interest B Paid
Remaining Cash 1
Principal A Paid
Principal B Paid
Remaining Cash 2
Total Amount
Received by A
Total Amount
Received by B
NPV A
NPV B
Loss Rate A
Loss Rate B
Total Principal
Weight A
Total Principal
Weight B
Time Principal
Weight A
Average Life A
Time Principal
Weight B
Average Life B
7.86
6.00
……
……
……
……
……
……
……
1.29
……
6.62
……
……
0.00
1.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.47
2.25
10.19
2.08
10.73
1.92
9.42
1.70
8.92
1.52
8.57
1.34
8.40
1.16
8.07
0.99
0.30
7.92
0.28
7.83
0.26
8.56
0.26
7.46
0.26
7.15
0.26
6.98
0.26
6.98
0.26
6.83
6.65
0.74
6.64
0.74
8.56
0.00
7.46
0.00
7.15
0.00
6.98
0.00
6.98
0.00
6.83
0.00
0.52
0.45
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
8.90
8.72
10.48
9.17
8.67
8.32
8.15
1.04
1.02
0.26
0.26
0.26
0.26
0.26
7.82
0.26
……
6.52
90.00
8.43
……
8.96
0.00%
10.41%
0.14
0.17
0.20
0.23
0.27
0.07
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6.04
Table 3. Cash Flow Allocation (Cumulative Default = 5%)
0.24
6.29
0.00
6.29
0.00
0.00
0.30
……
0.00
0.00
……
……
5.50
3.38
0.04
0.00
6.52
0.00
90.00
0.07
0.00
0.24
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
0.04
7.86
4. MBS
Dans l’exemple précédent, l’actif de la structure de l’ABS n’est pas précisé. Dans
certain cas, celui-ci est constitué d’un pool de crédits immobiliers (MBS).
4.1 Amortissement principal et intérêts constants.
L’amortissement pour un prêt immobilier se fait souvent en principal plus intérêts
constants. Cette méthode permet de rembourser en majorité les intérêts au début du
prêt et en majorité le principal vers fin du prêt. Pour un prêt de principal A au taux r
constant, de maturité M en années et dont les paiements s’effectuent tous les N mois,
l’amortissement constant X vérifie la relation :
NM
∑
A=
X
r i

i = 1  1+ 
 N
On en déduit que
r
N
A
− NM
X=
r 

1−  1+

N

Dans le cadre d’une analyse théorique approfondie par des modèles continus,
l’expression de X est donnée par l’équation
A
X=
∫
T
0
e − rt dt
4.2 Model de prépaiement
S’il s’agissait de modéliser le comportement d’un unique détenteur de crédit immobilier,
la tâche serait bien difficile car celui-ci est « irrationnel ». Cependant, lorsqu une centaine
de milliers de prêts sont réunis, il en résulte que la moyenne des prépaiements devient
« rationnelle ». Selon les facteurs prépondérants choisis lors de la modélisation, on
distingue deux grandes classes des modèles de prépaiement. Les modèles déterministes et
les modèles aléatoires.
4.2.1
Le model PSA (Public Securities Association Model)
Reprenons l’exemple cité au paragraphe 4.1. Considérons la variable SMM (single
Monthly Mortality). Posons
SMM =
Scheduled _ balance − Actual _ balance
Scheduled _ balance
En supposant que le montant prépayé à chaque échéance est proportionnel à la SMM on
obtient que
Actual _ balance = Scheduled _ balance(1 − SMM )
12
N
où N est le nombre de mois entre deux remboursements du prêt. Considérons à présent la
variable CPR ( Conditional Prepayment Rate).
12
CPR = 1 − (1 − SMM ) N
Des données empiriques faites sur de nombreux panels de MBS montrent que cette variable est grosso
modo croissante dans la partie initiale du remboursement et reste constante dans la suite. Un exemple
est donné dans le schéma ci-dessous (source Tome 2 Wilmott).
4.2.2 Model aléatoire
Le model précédent un a modèle simpliste et facile à implémenter qui ne tient compte
que de la tendance générale des prépaiements. En réalité, c’est un peu plus compliqué car
nous ne l’avons pas encore signalé mais une des causes principales du prépaiement c’est
le refinancement. Donc, il existe une corrélation assez forte entre taux intérêts et
prépaiements. Une façon simple de rendre compte de cette corrélation serait de poser
CPR = a (t ) f (r )
où t est le temps et r le taux d’intérêt variable du marché. La fonction a(.) pourrait alors
être modélisée comme dans le modèle précédent et f(.) par une fonction croissante des
taux d’intérêts.
5. Monte-carlo
Dans la première partie de ce rapport, nous avons vu comment on peut valoriser les
tranches d’un ABS (NPV et Expected Loss) par une méthode basée sur des scénarios
pondérés par leur probabilité de réalisation.
5.1 Cas du prépaiement déterministe
La principale variable aléatoire qui nous intéresse dans ce cas c’est le défaut cumulé sur
la durée du prêt qui suit une loi lognormale. La méthode par scénarios est peu efficace
surtout lorsqu’il s’agit d’une loi donc le support est très étroit. En prenant des valeurs de
façon uniforme pour cette variable, la majorité des calculs sont inutiles car leur
probabilité est quasi nulle. Ainsi, leur contribution au résultat final est très faible. Une
meilleure approche consiste à faire du monte-carlo. C’est-à-dire dans le cas présent, de
tirer à plusieurs reprises la valeur du défaut cumulé suivant une loi lognormale, ensuite,
on calcule la quantité qui nous intéresse grâce aux cash-flows généré pour cette valeur, et
afin on fait la moyenne empirique.
5.2 Cas du prépaiement aléatoire
Dans ce cas également, la méthode de monte-carlo s’applique. Il suffit pour cela de
pourvoir modéliser la courbe des taux d’intérêt du marché par un modèle de Vasiseck par
exemple. Ensuite, comme dans le cas précédent, on fait des moyennes empiriques sur
plusieurs trajectoires (path-dependent method).
6.
Cas d’étude
On se place dans le cas suivant :
6.1 Les taux d’intérêt
Les taux d’intérêt sans risque sont supposés constants pendant toute la durée du prêt.
Cette hypothèse serait réaliste dans cas où les taux subiraient de très faibles variations. La
corrélation entre prépaiements et taux d’intérêts serait encore plus faible. On aurait alors
CRP = K .a (t )
La valeur du taux d’intérêt risque neutre est de 4% et celle du taux d’emprunt de 5% soit
un spread à l’emprunt de 1%.
6.2 Tranches
La structure de l' ABS considérée est constituée des deux tranches. Une tranche senior de
95% du principal et une tranche equity de 5%. Les taux intérêts sur chacune de ces
tranches sont respectivement de 4,4% et de 4,6%. Voir détails ci-dessous.
Assets
Liabilities
100
95
Receivables
Class A Notes
C=
M=
SIGMA=
Recovery Rate=
Maturity=
5,00%
1,00%
70,00%
40,00%
10 years
1 Reserve Fund
c=
4,40%
5
Class B Notes
c=
4,60%
1 Subordinated Loan
6.3 Défaut
Comme nous l’avons déjà souligné, le défaut cumulé suit une loi lognormale de moyenne
1% et de d’écart type de 0,7%.
6.4 Recouvrement
En cas de défaut sur une partie du principal, le taux de recouvrement sera de 40%.
Résultats
Sous les hypothèses précédentes, on obtient les résultats suivants :
m
sigma
Number of
years=
Divisions
-885,38%
291,50%
10
=
Iterations
1
1000
Monte-Carlo
NPV A
NPV B
AVERAGE LIFE A
94,4251
4,9268
5,9078
AVERAGE LIFE B
LOSS A
LOSS B
6,0609
0,4259%
1,4633%
7.1 Les paramètres
Les variables m et sigma sont respectivement la moyenne et l’écart type de la variable
aléatoire de loi normale associé à la lormornale du modèle. La variable Divisions
correspond au nombre de remboursement annuel. La variable Iterations correspond au
nombre d’itérations de monte-carlo.
7.2 Interprétation du résultat
La NPV A ou la net present value est un estimateur de la valeur réel de la tranche senior.
Elle subit une perte Loss A de 0,43%. La Average life A est une estimation la duré
moyenne de remboursement du principal. Ces valeurs permettent grâce à la table
« Moody’s Idealized Cumutative Expected Loss Rates » procurée par Moody’s
d’attribuer une note aux tranches. Dans le cas présent on a une note de A3 pour la tranche
senior et de Baa3 pour la tranche equity. La notation pourrait donc également être
automatisée.
7.3 Avec prépaiement linéaire
Les résultats précédents ont été obtenus sans prépaiement. Si nous incluons les
prépaiements sous la forme
Determistic Prepaiment
Number of years =
Year 1
Year 2
Year 3
Year 4
Year 5
Year 6
Year 7
Year 8
Year 9
Year 10
10
0%
4%
6%
6%
6%
6%
6%
6%
6%
6%
On obtient les résultats suivants
m
sigma
Number of
years=
Divisions
Iterations
-885,38%
291,50%
10
=
1
1000
Monte-Carlo
NPV A
NPV B
AVERAGE LIFE A
94,7579
4,8824
4,8154
AVERAGE LIFE B
LOSS A
LOSS B
9,0867
0,2548%
2,3530%
La note de la classe senior passe de A3 à A2 et celle de la classe equity reste inchangée à
Baa3.
7.Analyse des sensibilités
8.1 Mensualités
Regardons la sensibilité par rapport aux mensualités.
On constate que la expected loss des deux tranches ne varient par avec les mensualités
dans le cas sans prépaiements et que celle de la tranche senior varie légèrement lorsqu’on
introduit les prépaiements (lambda grand).
8.2 Moyenne et volatilité
Observons à présent l’influence du rapport sigma/mean sur la expected loss des tranches.
On observe un décollage des pertes de la tranche equity à partir de la valeur de 35% prise
par le rapport sigma/mean. Cette augmentation est linéaire dans le cas avec prépaiement
et plutôt irrégulière dans le cas sans prépaiement mais sur une tendance linéaire. La
tranche senior quant à elle varie très peu et surtout pour des valeurs très grandes.
8.3 Prépaiements
Analysons la sensibilité de la expected loss par rapport lambda fois le prépaiement
linéaire introduit précédemment. On obtient
Le graphe ci-dessus représente la différence entre les pertes sur la part equity et celles
sur la part senior. Contrairement à ce qu’on pourrait croire, dans certain cas, c’est la art
equity qui tire le plus profit des prépaiements. Ceci se traduit par la zone décroissante du
graphe pour des valeurs grandes de lambda (Loss B –Loss A décroissante entraîne LossB
décroissante et Loss A croissantes). Les courbes rose et bleue sont décroissantes à partir
de lambda=30 et atteignent 0 à lambda=50. Elles correspondent respectivement aux
rapports sigma/mean égale à 30% et 10%. C’est dont pour des valeurs faibles de la
volatilité qu’on obtient ce résultat.
9. conclusion
Ce travail nous a permis d’une part de mieux comprendre le fonctionnement des ABS et
de impact des clauses contractuelles d’amortissement sur le risque et la rentabilité de
chacune des tranches. En effet, on voit que l’un des rôles de la tranche equity c’est de
valoriser la note de la tranche senior en amortissant les premières pertes.
D’autre part, l’analyse des sensibilités nous a permis de comprendre que :
- la tranche equity est très sensible au risque ce qui n’est pas trop le cas pour la
tranche senior. En effet, les pertes sur la tranche equity augmente considérablement
avec le risque.
- Ce risque couplé aux prépaiements tendent à valoriser la part equity au détriment de
la part senior alors qu’on pourrait s’attendre au contraire car le part equity à un taux
d’intérêt supérieur à celui de la part senior.