Fonction: son graphique

Le graphique d’une fonction tracé sur le plan cartésien.
En plus de situer des points dans le plan cartésien on peut également y tracer des “courbes”
(plus communément appelées des graphiques de fonctions).
• Le graphique d’une fonction est un ensemble de coordonnées, (la plupart du temps
infinis en nombres) où chaque pair ordonnée est définie par une fonction y = f (x).
• Pour chaque coordonnée (x, y), la première valeur x est un nombre qui appartient
au domaine de la fonction f (x) tandis que la deuxième valeur y est le numéro y =
f (x) dans l’image de f . (Voir le fichier Fonction, sa défintion si nécessaire pour les
définitions de domaine et image.)
• Prenons comme exemple la fonction f (x) = 2x + 6. Nous trouverons quelques coordonnées dans le plan cartésien associées à cette fonction:
x=1
x=2
x=3
x=4
f (1)
f (2)
f (3)
f (4)
=
=
=
=
2(1) + 6
2(2) + 6
2(3) + 6
2(4) + 6
=
=
=
=
8
10
12
14
(1, 6)
(2, 10)
(3, 12)
(4, 14)
• On situe ces points dans le plan cartésien cherchant, si possible, un patron qui nous
permettra de prédire ou placer l’ensemble de toutes les coordonnées qui satisfont
f (x) = 2x + 6.
Figure 1: Le graphique de f (x) = 2x + 6
1
• Une fois que ce patron devient évident on trace une courbe qui rejoint ces points pour
obtenir le graphique de la fonction f (x) = 2x + 6 ci-dessus.
• Comme deuxième exemple prenons la fonction f (x) = x2 . Nous trouverons quelques
coordonnées dans le plan cartésien associées à cette fonction:
x = −3
x = −2
x = −1
x=0
x=1
x=2
x=3
f (−3)
f (−2)
f (−1)
f (0)
f (2)
f (3)
f (4)
=
=
=
=
=
=
=
(−3)2
(−2)2
(−1)2
02
12
22
32
=
=
=
=
=
=
=
9
4
1
0
1
4
9
(−3, 9)
(−2, 4)
(−1, 1)
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(3, 9)
• On situe ces points dans le plan cartésien cherchant, si possible, un patron qui nous
permettra de prédire ou placer l’ensemble de toutes les coordonnées qui satisfont
f (x) = x2 .
Figure 2: Le graphique de f (x) = x2
• Une fois que ce patron devient évident on trace une courbe qui rejoint ces points pour
obtenir le graphique de la fonction f (x) = x2 ci-dessus.
2
Nous rappelons la définition de la racine d’un polynôme. (Voir les fichiers intitulés Polynôme,
sa définition et Polynôme, sa racine si nécessaire.)
• Si p(x) est un polynôme, toute valeur de x qui satisfait l’équation p(x) = 0 est une
racine du polynôme p(x).
• Sur le graphique d’un polynôme les racines d’un polynôme sont précisément les points
où sa courbe coupe l’axe des abcisses.
– Au premiére exemple ci-dessus nous avons tracé le graphique du polynôme f (x) =
2x + 6.
– Pour trouver la racine de cette fonction on doit résoudre l’équation f (x) = 2x +
6 = 0.
∗ On obtient somme unique solution x = −3
– Donc f (x) = 2x + 6 a une seule racine −3.
– Le graphique que nous avons tracé confirme notre réponse: la courbe de f (x) =
2x + 6 coupe bel et bien l’axe des abcisses au point x = −3.
• Nous voyons également que la fonction f (x) = x2 a une seule racine puisque f (x) =
x2 = 0 a comme unique solution x = 0.
• Le graphique de ce polynôme tracé ci-dessus confirme notre réponse puisque l’intersection
de sa courbe avec l’axe des abcisses ne se produit qu’à un seul endroit: x = 0.
Il faut noter par contre que le graphique d’un polynôme nous permet que de faire une
approximation de ses racines.
• Par exemple, le graphique de la fonction f (x) = 2x + 6 ci-dessus ne nous permet pas
de décider si sa racine est −3 ou −3, 001.
• Seule la résolution explicit de l’équation nous permet de confirmer que l’unique racine
est −3.
• Il en est de même pour la fonction f (x) = x2 .
– Le graphique n’a pas la précision nécessaire pour distinguer x = 0 et x = 0, 001.
– Seule la résolution de l’équation x2 = 0 (visiblement assez simple) nous permet
de le confirmer.
– Ainsi il est essentiel de s’exercer à résoudre des équations pour trouver les racines
d’un polynôme.
• Prenons l’exemple suivant: trouver les racines de la fonction q(x) = (3 − x)( 12 − x).
3
• On faisant quelques calculs on obtient une approximation des ses racines grâce à son
graphique:
Figure 3: Le graphique de la fonction q(x) = (3 − x)( 21 − x)
• On estime que les racines sont approximativement 3 et 12 .
• On obtient la confirmation à l’aide du calcul suivant:
– Si (3 − x)( 12 − x) = 0 il faut que soit 3 − x = 0 ou
– Si
1
2
− x = 0 il faut que x =
– Donc les racines sont et
1
2.
1
2
− x = 0.
Si 3 − x = 0 il faut que x = 3.
{ 21 , 3}.
c Club Pythagore, 2007
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