Non-Commutative Differential Geometry - ETH E

Diss. ETH No. 12292
Non-Commutative Differential
Geometry
A dissertation submitted to the
SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY ZURICH
(ETH Zurich)
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by Olivier Grandjean, Dipl. Phys. ETH
born March 3, 1967
citizen of Buttes and La Cote-aux-Fees
accepted
on
(NE)
the recommendation of
Prof. Dr. J.
Prof. Dr. G.
Frohlich,
Felder,
1997
examiner
co-examiner
Abstract
In this work, we describe an approach to differential geometry based on supersymmetric quantum mechanics. Thereby, we arrive at an algebraic formulation of
differential geometry. We find a geometric realization of the generators of the supersymmetry algebra and a relation between the number of supersymmetries and
the geometrical structure of configuration space. Following Connes, we allow the al¬
gebra
of functions
configuration
over
formulation of non-commutative
space to be non-commutative. This leads to
a
Riemannian, Hermitian, Kahler, Hyperkahler and
symplectic geometry. We show how the general formalism is applied to concrete sit¬
uations by studying some examples. First, we consider the Connes-Lott formulation
of the standard model. The space underlying this model is the Cartesian product
of
a
classical manifold with
a
two
tion and show that it describes
with
a
a
space. We
general relativity
dynamical scalar field measuring the
example, we study the target space
second
model based
a
point
on
SU(2).
differential forms and
an
analogue
we
a
ac¬
together
distance between the two sheets.
As
by
a
full matrix
algebra acting
on
We determine the structure of the bundle of
compute the de Rham cohomology and the curvature of
of the Levi-Civita connection.
of this model is
the classical manifold
of the quantum Wess-Zumino-Witten
This space is decribed
finite dimensional Hilbert space.
compute the Hilbert-Einstein
on
The result is that the quantum target
deformation of the classical
3-sphere. Finally,
we
consider the
non-commutative 2-torus at irrational values of the deformation parameter. After
having studied the de
a
i
Rham
complex and
non-commutative Kahler space.
the curvature,
we
show that this space is
Resume
ce travail, nous decrivons une approche de la geometrie differentielle basee
mecanique quantique supersymetrique. Nous obtenons une realisation geo-
Dans
sur
la
metrique des generateurs de l'algebre supersymetrique ainsi qu'un lien entre le
nombre de supersymetries et la structure geometrique de l'espace de configura¬
tion. D'apres Connes, nous considerons egalement le cas ou l'algebre des fonctions
l'espace de configuration est non commutative. Ceci nous mene a une formu¬
geometries non commutatives Riemannienne, Hermitienne, Kahlerienne,
Hyperkahlerienne et symplectique. L'etude de quelques exemples nous permet de
montrer comment le formalisme general s'applique a des situations concretes. Nous
sur
lation des
considerons tout d'abord la formulation de Connes-Lott du modele standard. L'es¬
pace
un
qui sous-tend
espace
trons
a
qu'elle decrit
dynamique
scalaire
ple
sur
un
ce
la relativite
produit
cartesien d'une variete
classique
generale
sur
la variete
classique,
ainsi
l'espace
qu'un champ
cet espace est decrit par
differentielles,
exem-
cible du modele
une
quantique de Wess-Zumino-Witten
algebre complete de matrices qui agit sur
espace de Hilbert de dimension finie. Nous determinons la structure de
fibre des formes
par
nous mon-
mesurant la distance entre les deux feuillets. Le deuxieme
traite de l'etude de
SU(2);
modele est le
deux points. Nous calculons Taction de Hilbert-Einstein et
et
nous
calculons la
cohomologie
l'espace
de de Rham ainsi
equivalent de la connexion de Levi-Civita. Le resultat est
quantique de ce modele est une deformation de la sphere classique de
dimension trois. Finalement, nous considerons le tore non commutatif de dimen¬
que la courbure d'un
que la cible
sion deux pour des valeurs irrationnelles du parametre de deformation.
etudie le
un
complexe
de de Rham et la
espace de Kahler
non
commutatif.
courbure,
nous
Apres
avoir
montrons que cet espace est