JEAN-FRAN¸COIS QUINT (LAGA) REC¸OIT LE CLAY RESEARCH

JEAN-FRAN¸COIS QUINT (LAGA) REÇOIT LE CLAY
RESEARCH AWARD
Jean-François Quint, normalien de l’ENS-Lyon, a effectué sa thèse au DMA
de l’ENS-Paris sous la direction d’Yves Benoist. Spécialiste de la dynamique des
actions de groupes de Lie, il est recruté comme chargé de recherches CNRS en 2002
à l’Institut Camille Jordan (Univ. Lyon 1) puis rejoint l’équipe Théorie Ergodique
et Systèmes Dynamiques du LAGA (Univ. Paris 13) en 2005. C’est en 2007 qu’il
commence à travailler avec Yves Benoist (CNRS - Univ. Paris 11) sur les fermés
invariants et les mesures stationnaires d’actions sur les espaces homogènes. Les 16
et 17 mai prochains, ils vont tous deux recevoir le Clay Research Award 2011 pour
ces travaux.
Ce prix prestigieux est décerné tous les ans depuis 1999 par l’Institut Clay pour
“célébrer des découvertes majeures en recherche mathématique”. Il est également
attribué cette année à Jonathan Pila. Six français ont déjà reçu ce prix par le passé,
dont le récent médaillé Fields, Ngo Bao Chau.
Leur résultat. Le travail d’Y. Benoist et de J.F. Quint, situé au carrefour de
la géométrie, des systèmes dynamiques et des probabilités, contribue à la théorie
ergodique des transformations des espaces homogènes.
Les espaces homogènes considérés sont les quotients de volume fini X = G/Λ
d’un groupe de Lie réel simple par un sous-groupe discret. Tout élément g de G agit
sur l’espace X et le but de la géométrie ergodique consiste à décrire comment les
orbites x, g(x), g(g(x)), ... d’un point x de X se distribuent dans X. Par exemple,
G peut être l’espace SL(2, R) des transformations linéaires conservatives du plan
R2 et Λ le sous-ensemble SL(2, Z) des transformations qui préservent le réseau des
entiers Z2 .
Ces questions sont reliées à des problèmes de théorie des nombre et en particulier d’approximation diophantienne. Par exemple, Margulis a démontré par cette
approche la conjecture d’Oppenheim : toute forme quadratique non-dégénérée sur
Rn , n > 2, qui n’est pas définie et qui n’est pas multiple d’une forme à coefficients
rationnels possède un ensemble de valeurs aux rationnels Zn qui est dense dans R.
Un théorème majeur du domaine, démontré par Ratner en 1990, affirme que
lorsque g est unipotent (i.e. 1 est la seule valeur propre), l’orbite de tout point x se
distribue de façon homogène dans un sous-ensemble de la forme Hx/Λ, où H est
un sous-groupe fermé de G.
Le résultat de Benoist et Quint généralise le théorème de Ratner et permet
de considérer des orbites de la forme x, g1 (x), g2 (g1 (x)), g3 (g2 (g1 (x))), ... où les
éléments g1 , g2 , g3 , ... de G sont obtenus par une marche aléatoire. Par exemple
lorsque X est l’espace SL(2, R)/SL(2, Z) des réseaux de volume 1 du plan, la conclusion du théorème s’applique aux tirages aléatoires d’une suite g1 , g2 , g3 , ... dans
un ensemble {g, g 0 } formé de deux transformations diagonalisables sur R ayant des
directions propres différentes. Cette approche probabiliste, proposée par Furstenberg, avait déjà fait récemment l’objet de travaux difficiles de Bourgain, Furman,
Lindenstrauss, Mozes par des méthodes très différentes d’analyse harmonique.
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