Exercice spécialité nouvelle calédonie 2010 Exercice 3 5 points

Exercice spécialité nouvelle calédonie 2010
Exercice 3
5 points
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Par suite d’une forte augmentation du prix des carburants de 2007 à 2008, certains salariés
d’une entreprise changent de mode de déplacement pour se rendre sur leur lieu de travail.
En 2007, 60 % des salariés utilisaient leur voiture personnelle.
En 2008, 30 % des salariés utilisant leur voiture en 2007 ne l’utilisent plus et 5 % des personnes
ne l’utilisant pas en 2007 l’utilisent en 2008.
On appelle les états suivants :
A l’ état : ≪ la personne utilise sa voiture ≫ ;
B l’ état : ≪ la personne n’utilise pas sa voiture ≫.
On suppose que cette évolution se poursuit d’une année à l’autre à partir de 2008 et on appelle,
pour tout entier naturel n, Pn , la matrice ligne donnant l’état probabiliste des moyens de
déplacement des salariés de cette entreprise au cours de l’année (2007 + n).
On pose Pn = (an bn ) et on a P0 = (0, 6 0, 4).
1. Tracer un graphe probabiliste représentant la situation décrite ci-dessus.
2. Donner la matrice de transition correspondant à ce graphe probabiliste, en respectant
l’ordre alphabétique des sommets.
3. En supposant que cette évolution se poursuive et en utilisant la question précédente,
quelle est la probabilité qu’un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en
2009 ? En 2010 ?
(On arrondira les résultats obtenus au centième).
4. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a la relation : an+1 = 0, 7an + 0, 05bn .
En déduire que an+1 = 0, 65an + 0, 05.
(b) On admet que an peut alors s’écrire, pour tout entier naturel n,
1 16
× 0, 65n .
an = +
7 35
Vérifier la validité de cette formule pour a0 , a1 et a2 .
5. (a) Déterminer la limite de la suite (an ).
(b) En supposant que cette évolution se poursuive, est-il possible d’envisager qu’à terme
aucun des salariés de cette entreprise n’utilise sa voiture personnelle pour aller au
travail ?
Justifier la réponse.
correction devoir n°
E•xe‰r€‰i€e
1)
En 2008, 30 % des salariés utilisant leur voiture en 2007 ne l’utilisent plus donc 70% l’utilisent encore.
De même en 2008 5 % des personnes ne l’utilisant pas en 2007 l’utilisent en 2008 donc 95% ne l’utilisent
pas.
On obtient donc le graphe
C’est bien un graphe probabiliste car la somme du poids des arètes sortantes est égale à 1.
2)
la matrice est
0, 7 0, 3
0, 05 0, 95
!
En 2007, 60 % des salariés utilisaient leur voiture personnelle donc P0 = 0, 6 0, 4
P1 = P0 ∗ M = 0, 44 0, 56
P2 = P1 ∗ M = P0 ∗ M 2 = 0, 336 0, 664
La probabilité qu’un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2009 est 0,44.
La probabilité qu’un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2010 est 0,336.
3)a. On sait que Pn+1 = Pn ∗M
or Pn ∗M = 0, 7an + 0, 05bn 0, 3an + 0, 95bn et Pn+1 = an+1 bn+1 .
Donc an+1 = 0, 7an + 0, 05bn .
b. On sait de plus que an + bn = 1 donc an+1 = 0, 7an + 0, 05(1 − an ) = 0, 7an + 0, 05 − 0, 05an =
0, 65an +, 0, 05.
c. Il est admis la formule mais je vous poserai avec un changement de variable.
a0 = 0, 6
a1 = 0, 7 ∗ 0, 6 + 0, 05 = 0, 44
a2 = 0, 7 ∗ 0, 44 + 0, 05 = 0, 336
4) a. 0 < 0, 7 < 1 donc lim 0, 7n = 0 donc lim an =
n→+∞
n→+∞
1 16
1
+
∗0= .
7 35
7
1
b. La limite est de plus la suite (an ) est décroissante donc il n’est pas possible qu’à terme aucun salarié
7
n’utilise sa voiture personnelle pour aller au travail.
1
≈ 0, 1429 environ 14, 3% des salariés utiliseront leur voiture personnelle pour aller au travail.
7
5)
Le graphe a deux sommets donc il existe un état stable qui il ne dépend pas de l’état initial et vérifie
P = PM
P M = 0, 7x + 0, 05y 0, 3x + 0, 95y et P = x y donc
P M = P ⇐⇒
(
0, 7x + 0, 05y = x
⇐⇒
0, 3x + 0, 95y = y
or x + y = 1 donc
(
6x − y = 0
⇐⇒
x+y =1
Conclusion l’état stable est P =
1
7
(
6
7
(
−0, 3x + 0, 05 = 0
⇐⇒ 0, 3x− 0, 05y = 0 ⇐⇒ 6x− y = 0
0, 3x − 0, 05y =,

1

 x=
7x = 1(L1 + L2)
7
⇐⇒
6 .

x+y = 1
 y=
7
1 6
est bien l’état stable alors il suffit
7 7
de calculer P ∗ M et de vérifier que P ∗ M = P . C’est le cas lorsque les graphes sont d’ordre supérieur
à 2.
Dans un problème Si on vous demande de vérifier que P =