Régulation automatique Chapitre 4: Régulateur PID Filière

Transcription

in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
JI
Régulation automatique
Chapitre 4: Régulateur PID
Filière électronique
Filière microtechnique
Michel ETIQUE
[email protected]
Haute Ecole d’Ingénieurs et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd)
Département d’électricité et d’informatique
institut d’Automatisation industrielle (iAi)
Régulation automatiqueChapitre 4: Régulateur PIDFilière électroniqueFilière microtechnique – p. 1/4
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Fonctions de transfert d’un système asservi
in s t i t u t d '
Automatisation
Schéma fonctionnel universel
JI
p a rtie d u s y s tè m
s i t u é e a v a n t l 'i n
d e s p e rtu rb a tio n
(a m p lific a te u r d
a c tio n n e u r, e tc )
ré g u la te u r
e à
tro d
s v (
e p u
ré g le r
u c tio n
t)
is s a n c e ,
v (t)
p a rtie
s itu é e
d e s p e
(p ro c e
w (t)
+
-
S
e (t)
G c(s )
u (t)
G
a 1
(s)
+
+
S
G
a 2
d u
a p
rtu
ssu
s y s tè m e à ré g le r
r è s l 'i n t r o d u c t i o n
rb a tio n s v (t)
s , c a p te u r, e tc )
(s)
y (t)
f _ 0 4 _ 2 3 .e p s
Fonctions de transfert :
1. Du système à régler Ga (s)
2. En boucle ouverte Go (s)
3. En boucle fermée, régulation de correspondance Gw (s)
4. En boucle fermée, régulation de maintien Gv (s)
in s t i t u t d '
Automatisation
Système à régler
JI
ré g u la te u r
e à
tro
s v
e p
ré g le r
d u c tio n
(t)
u is s a n c e ,
v (t)
p a rtie
s itu é e
d e s p e
(p ro c e
w (t)
+
-
S
e (t)
G c(s )
u (t)
G
a 1
(s)
+
+
S
G
a 2
d u
a p
rtu
ssu
rb a tio n s v (t)
(s)
y (t)
f _ 0 4 _ 2 3 .e p s
Y (s) Ga (s) =
= Ga1 (s) · Ga2 (s)
U (s) v(t)=0
in s t i t u t d '
Automatisation
Fonction de transfert en boucle ouverte Go (s)
JI
v (t)
w (t)
-
S
e (t)
y (t)
G c(s )
-
S
G
G
a 1
a 3
S
(s)
(s)
G
a 4
G
G
a 5
(s)
a 2
(s)
S
x (t)
(s)
f _ 0 4 _ 3 5 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
v (t)
e (t)
w (t)= 0
-
S
G c(s )
y (t)
-
S
G
G
a 1
a 3
S
(s)
(s)
G
a 4
G
G
a 5
(s)
a 2
(s)
S
x (t)
(s)
f _ 0 4 _ 3 3 .e p s
1. Couper la boucle en amont du comparateur
2. Annuler les signaux d’entrée w(t) et v(t)
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
e (t)
G
G c(s )
y (t)
-
S
G
G
a 1
a 3
(s)
(s)
G
G
a 4
a 5
(s)
a 2
(s)
S
x (t)
(s)
f _ 0 4 _ 3 4 .e p s
3. Calculer
Y (s) Go (s) =
E(s) w(t)=0,v(t)=0, boucle ouverte
= Gc (s) · Ga (s)
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulation de correspondance
JI
ré g u la te u r
e à
tro
s v
e p
ré g le r
d u c tio n
(t)
u is s a n c e ,
v (t)
p a rtie
s itu é e
d e s p e
(p ro c e
w (t)
+
-
S
e (t)
G c(s )
u (t)
G
a 1
(s)
+
+
S
G
a 2
d u
a p
rtu
ssu
rb a tio n s v (t)
(s)
y (t)
f _ 0 4 _ 2 3 .e p s
Y (s) Go (s)
Gw (s) =
=
W (s) v(t)=0 1 + Go (s)
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulation de maintien
JI
ré g u la te u r
e à
tro
s v
e p
ré g le r
d u c tio n
(t)
u is s a n c e ,
v (t)
p a rtie
s itu é e
d e s p e
(p ro c e
w (t)
+
-
S
e (t)
G c(s )
u (t)
G
a 1
(s)
+
+
S
G
a 2
d u
a p
rtu
ssu
rb a tio n s v (t)
(s)
y (t)
f _ 0 4 _ 2 3 .e p s
Y (s) Ga2 (s)
Gv (s) =
=
V (s) w(t)=0 1 + Go (s)
in s t i t u t d '
Automatisation
Application du principe de superposition
JI
ré g u la te u r
e à
tro d
s v (
e p u
ré g le r
u c tio n
t)
is s a n c e ,
v (t)
p a rtie
s itu é e
d e s p e
(p ro c e
w (t)
+
-
S
e (t)
G c(s )
u (t)
G
a 1
(s)
+
+
S
G
a 2
d u
a p
rtu
ssu
rb a tio n s v (t)
(s)
y (t)
f _ 0 4 _ 2 3 .e p s
Y (s) = Gw (s) · W (s) + Gv (s) · V (s)
y(t) = L−1 {Gw (s) · W (s)} + L−1 {Gv (s) · V (s)}
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Régulateur PID
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateurs non-linéaires
JI
T
T
e x t
c
G é n é ra te u r
d e c o n s ig n e
P o te n tio m è tre
d e c o n s ig n e
w
y
P u is s a n c e
d is s ip é e
p a r e ffe t J o u le
u
+
C o m p a ra te u r
R é g u la te u r
à a c tio n à
e
u
A
A m p lific a te u r
p
th
i
C o rp s d e
c h a u ffe
d e p u is s a n c e
d e u x p o s itio n s
C a p te u r
P o te n tio m è tre
d e m e su re
f _ 0 4 _ 2 6 . e p s ère électroniqueFilière microtechnique – p. 10/4
Régulation automatiqueChapitre 4: Régulateur PIDFili
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
w (t)
y (t)
+
e (t)
u
e
u (t)
R é g u la te u r à a c tio n à
a v e c h y s té rè s e
f _ 0 4 _ 2 9 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
w (t)
y (t)
+
e (t)
u
e
u (t)
R é g u la te u r à a c tio n à
a v e c h y s té rè s e
f _ 0 4 _ 2 9 .e p s
la rg e u r d e
l 'h y s t é r è s e
w (t)
y (t)
0
+ u
u (t)
m a x
0
-u
t
t
m a x
f _ 0 4 _ 2 7 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur P
JI
Loi de commande du régulateur P :
u (t) = Kp · e (t)
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur P
JI
u (t) = Kp · e (t)
Fonction de transfert du régulateur P :
U (s)
Gc (s) =
= Kp
E (s)
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur P
JI
u (t) = Kp · e (t)
Fonction de transfert du régulateur P :
U (s)
Gc (s) =
= Kp
E (s)
Schéma fonctionnel du régulateur P :
e (t)
K
p
u (t)
f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 1 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Réponse indicielle du régulateur P
JI
e (t)= e (t)
1
u (t)= K
0
t [s]
p
e (t)
f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 1 .e p s
u (t) = Kp · e (t)
in s t i t u t d '
Automatisation
Réponse harmonique du régulateur P
JI
A (w ) [d B ]
K
p
[d B ]
0 [d B ]
1 0
-1
1 0
1 0
-1
1 0
0
1 0
1 0
1
2
1 /T
p
1 0
1 /T
p
1 0
3
w [ra d /s ]
j (w ) [d e g ]
+ 9 0
0
-4 5
-9 0
0
1 0
1
0 .1 /T
p
1 0
2
3
w [ra d /s ]
f _ 0 4 _ 0 7 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Réalisation électronique de principe du régulateur P
JI
R
R
1
-
e (t)
G
c
(
s) =
U
E
(s)
(s)
2
+
= -
R
u (t)
R
2
1
f _ 0 4 _ 1 8 _ 0 1 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Limite du régulateur P : erreur statique E∞
JI
u (t) 6= 0
⇒
u (t) = Kp ·e (t) 6= 0
⇔
e (t) 6= 0
Grandeur réglée y(t)
Réponse indicielle avec un régulateur P
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t [s]
0.25
0.3
0.35
0.4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t [s]
0.25
0.3
0.35
0.4
Commande u(t)
8
6
4
2
0
f_ch_04_01_1.eps
Régulation automatiqueChapitre 4: R
égulateur PIDFilière électroniqueFilière microtechnique – p. 15/4
in s t i t u t d '
Automatisation
ré g u la te u r
S
w (t)
y (t)
e (t)
K
p
u (t)
1
u a(t)
S
1 /R a
1 + s L a/R
ia(t)
a
v (t)
T
K
T
c a p te u r d e
v ite s s e
m o te u r D C
a m p lific a te u r
d e p u is s a n c e
(s u p p o s é id é a l)
JI
e m
(t)
S
1 /R f
1 + s J /R
w (t)
f
K
m w
y (t)
e m (t)
K
E
f _ 0 4 _ 1 1 .e p s
Tem
KT =0 [A]
KE ·ω6=0 [V]
z }| {
z }| {
ua (t) = Ra · ia (t) + em (t)
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
C o u p le d e
C o u p le d e
fro tte m e n t
fro tte m e n t
0
F ro tte m e n t s e c p u r
V ite s s e
0
F ro tte m e n t v is q u e u x lin é a ire
Tem
KT 6=0 [A]
V ite s s e
f _ 0 4 _ 3 8 .e p s
KE ·ω6=0 [V]
z }| {
z }| {
ua (t) = Ra · ia (t) + em (t)
in s t i t u t d '
Automatisation
Annulation de E∞ : action sur w(t)
JI
V
+
p o te n tio m è tre
V
v (t)
D w (t)
-
w (t)
S
S
w '( t )
e (t)
K
p
u (t)
G a(s )
y (t)
y (t)
f _ 0 4 _ 1 2 _ 0 1 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Annulation de E∞ : action sur u(t)
JI
V
+
p o te n tio m è tre
V
v (t)
u i( t )
-
S
w (t)
e (t)
K
p
u p(t)
S
u (t)
G a(s )
y (t)
y (t)
f _ 0 4 _ 1 2 _ 0 2 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Schématisation de la procédure
JI
M e s u re r e (t)
e (t)= 0 ?
A u g m e n t e r u i( t )
( D i m i n u e r u i( t ) )
M a i n t e n i r u i( t )
f _ 0 4 _ 1 0 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Schématisation de la procédure
JI
M e s u re r e (t)
e (t)= 0 ?
A u g m e n t e r u i( t )
( D i m i n u e r u i( t ) )
M a i n t e n i r u i( t )
f _ 0 4 _ 1 0 .e p s
intégrer l’erreur ! ui (t) =
Rt
−∞ e(τ )
· dτ
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PI
JI
ré g u la te u r P I
u i( t )
K i/ s
S
w (t)
y (t)
e (t)
K
v (t)
p
u p(t)
S
u (t)
G a(s )
y (t)
f _ 0 4 _ 1 3 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PI
JI
Loi de commande :

1

u (t) = Kp · e (t) + ·
Ti
Zt
−∞

e (τ ) · dτ 
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PI
JI
Loi de commande :

1

u (t) = Kp · e (t) + ·
Ti
Zt
−∞

e (τ ) · dτ 
Fonction de transfert :
U (s)
1 + s · Ti
Gc (s) =
= Kp ·
E (s)
s · Ti
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PI
JI
Schéma fonctionnel :
e (t)
1
sT
i
S
K
p
f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 2 .e p s
u (t)
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PI
JI
1
e (t)
sT
i
S
K
p
u (t)
f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 2 .e p s
Réponse indicielle :
u (t) = K
K
i
×ç e (t) +
×
Ti
è
1
ò
t
- ¥
ö
e (t ) × d t ÷
ø
e (t)= e (t)
1
T
p
æ
0
p
t [s]
f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 2 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PI : réponse harmonique
JI
A (w ) [d B ]
K
p
I
P
[d B ]
0 [d B ]
1 0
-1
0 .1 /T
i
1 0
1 /T
0
i
1 0
1 0 /T
1
i
1 0
1 0
2
w [ra d /s ]
3
j (w ) [d e g ]
0
P
-4 5
1 0
-9 0
-1 8 0
-1
0 .1 /T
i
1 0
0
1 /T
i
1 0
1
1 0 /T
i
1 0
2
1 0
3
w [ra d /s ]
I
Régulation automatiqueChapitre 4: Régulateur
PIDFilière électroniqueFilière microtechnique – p. 24/4
f _ 0 4 _ 0 4 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PI : schéma électronique de principe
JI
R
e (t)
1
R
-
2
C
2
+
u (t)
f _ 0 4 _ 1 8 _ 0 2 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Annulation de E∞ (correspondance)
JI
w (t)
-
S
G
G
w
(s)
=
W
Y (s
(s)
o
)
(s)
=
1 +
G
y (t)
(s)
G (s)
o
o
f _ 0 4 _ 2 4 .e p s
Y (j · ω)
Go (j · ω)
∞
Gw (j · ω) =
=
→
→1
W (j · ω)
1 + Go (j · ω)
1+∞
in s t i t u t d '
Automatisation
Annulation de E∞ (maintien)
JI
v (t)
-G sc(s )
1
G
1
+
as 1 ( s )
G
v
(s)
+
=
V
Y (s
)
(s)
=
G
S
a 2
1 + G
G
(s)
(s)
o
1
as 2
(s)
y (t)
f _ 0 4 _ 2 6 .e p s
Y (j · ω)
Ga2 (j · ω)
Ga2 (j · ω)
Gv (j · ω) =
=
→
→0
V (j · ω)
1 + Go (j · ω)
1+∞
in s t i t u t d '
Automatisation
Robustesse des performances en basse fréquence
JI
Y (j · ω)
Gc (j · ω) · Ga (j · ω)
Gw (j · ω) =
=
W (j · ω)
1 + Gc (j · ω) · Ga (j · ω)
∞ · Ga (j · ω)
→
1 + ∞ · Ga (j · ω)
→1
Y (j · ω)
Ga2 (j · ω)
Gv (j · ω) =
=
V (j · ω)
1 + Gc (j · ω) · Ga (j · ω)
Ga2 (j · ω)
→
1 + ∞ · Ga (j · ω)
→0
in s t i t u t d '
Automatisation
Effet déstabilisant de l’action I
JI
Réponses indicielles avec régulateur P et I
2
K =0, K =12.5
Grandeur réglée
p
i
1.5
Kp=0, Ki=1.12
K =50,
K =0
p 1
i
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
t [s]
5
4
I
Commande
3
2
I
1
0
−1 P
−2
0
1
2
3
t [s]
f_ch_04_02_1.eps
reg_PI_01.sq
in s t i t u t d '
Automatisation
Prise en compte de l’évolution de e(t)
JI
e (t)
e (t)
e (t0)
0
e (t0)
t0
S i t u a t i o n 1 : l 'e r r e u r c r o î t e n t = t 0
t [s]
0
t [s]
t0
S i t u a t i o n 2 : l 'e r r e u r d é c r o î t e n t = t 0
f _ 0 4 _ 0 9 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Prise en compte de l’évolution de e(t)
JI
e (t)
e (t)
e (t0)
0
e (t0)
t [s]
t0
S i t u a t i o n 1 : l 'e r r e u r c r o î t e n t = t 0
0
t [s]
t0
S i t u a t i o n 2 : l 'e r r e u r d é c r o î t e n t = t 0
f _ 0 4 _ 0 9 .e p s
Effet sur la commande d’un régulateur P ou PI :
∆u(t0 ) = Kp · e(t0 )
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PD
JI
Loi de commande :
de
u (t) = Kp · e (t) + Td ·
dt
U (s)
Gc (s) =
= Kp · (1 + s · Td )
E (s)
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PD
JI
e (t)
sT
d
S
K
p
f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 3 .e p s
u (t)
K
f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 2 .e p s
p
T dd (t)
e (t)= e (t)
1
0
u (t) = K
t [s]
p
d e ö
æ
÷
×ç e(t) + T d ×
è
d t ø
f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 3 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PD
JI
Grandeur réglée
2
K =1, T =0
p
1.5
d
Kp=1, Td=3
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
t [s]
30
35
40
45
50
5
10
15
20
25
t [s]
30
35
40
45
50
Grandeur de commande
2
1.5
Kp=1,
1 Td=0
0.5
0
−0.5
−1
0
f_ch_04_03_1.eps
reg_PD_01.sq
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur PD
JI
1.4
Grandeur réglée y(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
t [s]
30
35
40
45
50
10
15
20
25
t [s]
30
35
40
45
50
Grandeur de commande
2
1.5
1
0.5
0
up
u
−0.5
u
−1 d
0
5
Régulation automatiqueChapitre 4: Régulateurf_ch_04_03_2.eps
PIDFilière électroniqueFilière microtechnique – p. 34/4
in s t i t u t d '
Automatisation
Réponse harmonique du régulateur PD
JI
D
A (w ) [d B ]
K
p
P
[d B ]
0 [d B ]
1 0
-1
0 .1 /T
d
1 0
0
1 /T
d
1 0
1
1 0 /T
d
1 0
1 0
2
3
w [ra d /s ]
j (w ) [d e g ]
D
+ 9 0
+ 4 5
1 0
0
-9 0
P
-1
0 .1 /T
d
1 0
0
1 /T
d
1 0
1
1 0 /T
d
1 0
2
1 0
3
w [ra d /s ]
f _ 0 4 _ 0 5 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Inconvénient : sensibilité aux bruits
JI
dn
d =
N̂ · sin (2 · π · f · t)
dt
dt
· cos (2 · π · f · t)
=
2 · π · f · N̂
| {z }
amplitude multipliée par f
V (s)
W (s)
-
S
E (s)
U (s)
G c(s )
G a(s )
Y (s)
S
N (s)
b ru it s u r la m e s u re
f _ 0 4 _ 2 8 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Influence du bruit de mesure sur la commande dans le cas d’un asservissement de vitesse
30
m
10
0
c
ω , ω [t/min]
20
−10
−20
−30
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t [s]
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.3
0.2
u [V]
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
f_bruit_02_1.eps
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
v (t)
w (t)
R é g u la te u r
y (t)
L IM IT A T IO N
+ u
m a x
u (t)
u
-u
v
m a x
S Y S T E M E
A
R E G L E R
y (t)
f _ 0 4 _ 1 9 .e p s
i.e. aux variations rapides de l’erreur
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
w (t)
G
filtre
(s)
w
filtré
(t)
-
S
G
G
w
o
(s)
(s)
y (t)
f _ 0 4 _ 2 0 .e p s
Des variations rapides de l’erreur sont
provoquées par
le bruit de mesure
les variations rapides de la consigne
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Solution possible : filtrer (légèrement) l’action
dérivée
e (t)
sT d
1 + sa T
d
+
+
S
K
p
u (t)
f _ 0 4 _ 3 0 .e p s
s · Td
U (s)
= Kp · 1 +
Gc (s) =
E (s)
1 + s · a · Td
1 + s · (1 + a) · Td
= Kp ·
1 + s · a · Td
a = facteur d’avance de phase valant en général 0.1 à 0.2.
in s t i t u t d '
Automatisation
Régulateur industriel PID
JI
Loi de commande :

1

u (t) = Kp · e (t) + ·
Ti
Zt
−∞

de 
e (τ ) · dτ + Td ·
dt
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Loi de commande :

1

u (t) = Kp · e (t) + ·
Ti
Zt
−∞

de 
e (τ ) · dτ + Td ·
dt
U (s)
1 + s · Ti + s2 · Ti · Td
Gc (s) =
= Kp ·
E (s)
s · Ti
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
e (t)
1
i
sT
d
S
sT
K
u (t)
p
f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 4 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
1
e (t)
i
sT
d
S
sT
K
f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 4 .e p s
K
u (t) = K
p T d d ( t )
u (t)
p
p
æ
×çe(t) +
×
Ti
è
1
ò
t
- ¥
e (t ) × d t + T d ×
e (t)= e (t)
1
K
T
i
d e ö
÷
d t ø
0
p
t [s]
f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 4 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Réponse harmonique du régulateur PID
JI
A (w ) [d B ]
0 [d B ]
I
0 .1 /T
1 0
-1
c 1
D
P
1 /T
c 1
1 0
0
1 0 /T
c 1
1 0
1
0 .1 /T
w
c 2
1 0
2
1 /T
c 2
1 0
3
1 0 /T
w [ra d /s ]
c 2
n
j (w ) [d e g ]
1 0 w
+ 9 0
n
+ 4 5
0
-4 5
-9 0
0 .1 /T
1 0
c 1
-1
1 /T
c 1
1 0
0
1 0 /T
0 .1 w
c 1
1 0
1
0 .1 /T
w
c 2
1 0
2
1 /T
c 2
1 0
3
1 0 /T
c 2
w [ra d /s ]
n
n
f _ 0 4 _ 0 6 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
Systèmes physiquement réalisables
JI
U (s)
1 + s · Ti + s2 · Ti · Td
Gc (s)|P ID =
= Kp ·
E (s)
s · Ti
U (s)
= Kp · (1 + s · Td )
Gc (s)|P D =
E(s)
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
U (s)
K
1 + s · b1 + . . . + sm−1 · bm−1 + sm · bm
G (s) =
= α ·
E (s)
s
1 + s · a1 + . . . + sn−α−1 · an−α−1 + sn−α · an−α
1 + (j · ω) · b1 + . . . + (j · ω)m−1 · bm−1 + (j · ω)m · bm
K
·
G (j · ω) =
(j · ω)α 1 + (j · ω) · a1 + . . . + (j · ω)n−α−1 · an−α−1 + (j · ω)n−α · an−α
lim G (j · ω) =
ω→∞
(
K·
bm
an−α
n−m
(j · ω)
=
K· a bm
n−α
A (ω) = |G (j · ω)||ω→∞ → ωn−m
ϕ (ω) = arg {G (j · ω)}|ω→∞ → (n − m) · (−90 [◦ ])
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
A (w ) [d B ]
0 [d B ]
d = n -m < 0
d = n -m = 0
w [ra d /s ]
d = n -m > 0
f _ 0 4 _ 2 2 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
"Hit parade" des régulateurs classiques
JI
w (t)
y
P D
(t)
y
(t)
P ID
y P(t)
0
y
P I
(t)
y I( t )
f _ 0 4 _ 2 1 .e p s
t [s]
in s t i t u t d '
Automatisation
Résumé des effets respectifs des actions P, I, et D
JI
Action
Avantage
Désavantage
P
dynamique
ne permet pas d’annuler une erreur statique
I
annulation d’erreur statique,
amélioration de la robustesse
action lente, ralentit le système
(effet déstabilisant)
D
action très dynamique, améliore
la rapidité (effet stabilisant)
sensibilité aux bruits forte sollicitation de l’organe de commande
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Ajustage des paramètres de régulateurs P, PI
et PID par la méthode de Ziegler-Nichols
in s t i t u t d '
Automatisation
1ère méthode de Ziegler Nichols
JI
0
u (t)
t [s]
u (t)
G a(s )
y (t)
y (t)
0
t [s]
f _ 0 4 _ 4 0 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Réponse indicielle du système à régler seul, Tu=3.1109, Tg=7.3892
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Q
0.2
0
T
T +T
u
−0.2
0
u
5
g
10
15
20
25
t [s]
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Type
Kp
Ti
Td
Tg
Tu
-
-
3.3 · Tu
-
2.0 · Tu
0.5 · Tu
P
PI
0.9 ·
PID
1.2 ·
Tg
Tu
Tg
Tu
Réponse indicielle du système à régler seul, Tu=3.1109, Tg=7.3892
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Q
0.2
0
Tu
−0.2
0
Tu+Tg
5
10
15
20
25
t [s]
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Réponse indicielle en boucle fermée, Kp=1.4251, Ti=6.2218[s], Td=1.5555[s]
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
t [s]
in s t i t u t d '
Automatisation
2ème méthode de Ziegler Nichols
JI
y (t)
A
K
w (t)
-
S
e (t)
K
p
T
c r
c r
t
c r
u (t)
G a(s )
y (t)
0
f _ 0 4 _ 3 2 .e p s
Contre-réactionner le système à régler avec un
régulateur P de gain Kp
Augmenter Kp jusqu’à ce que le système soit en
oscillation entretenue
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
y (t)
A
K
w (t)
-
S
e (t)
K
T
c r
c r
t
c r
p
u (t)
G a(s )
y (t)
0
f _ 0 4 _ 3 2 .e p s
Pulsation d’oscillation
Amplitude de l’oscillation
ωcr = 2 · π · fcr =
2·π
Tcr
Acr
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
y (t)
y (t)
w (t)= 0
e S( t )
e (t)
-1
y (t)
@ w
y (t)
c r
le c o m p a ra te u r
re p ré s e n te u n
g a in d e (-1 ) p o u t y (t) !
-1
e (t)
-1
y (t)
@ w
y (t)
c r
f _ 4 1 _ 3 9 .e p s
Dans ces conditions, le gain de boucle en ωcr est égal à
−1
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Type
P
PI
PID
Kp
Ti
Td
0.5 · Kcr
0.45 · Kcr 0.83 · Tcr
0.6 · Kcr 0.5 · Tcr 0.125 · Tcr
y (t)
A
T
c r
c r
t
f _ 0 4 _ 3 7 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Type
Kp
Ti
Td
0.4 · Kcr
0.4 · Kcr 0.4 · Tcr
0.4 · Kcr 0.4 · Tcr 0.1 · Tcr
P
PI
PID
y (t)
A
T
c r
c r
t
f _ 0 4 _ 3 7 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
2ème méthode de Ziegler Nichols modifiée
JI
4 A /p
A
y 1(t)
u 1(t)
u (t)
t
A
T
c r
c r
t
" R E L A IS "
e (t)
w (t)
-
S
u
+ A
-A
P ID
e
u (t)
G a(s )
y (t)
f _ 0 4 _ 3 1 .e p s
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
4 A /p
A
y 1(t)
u 1(t)
u (t)
t
A
T
c r
c r
t
" R E L A IS "
e (t)
w (t)
-
S
u
+ A
-A
P ID
e
u (t)
G a(s )
y (t)
f _ 0 4 _ 3 1 .e p s
Le système à régler est de type passe-bas
−→ les hautes fréquences du signal d’entrée sont ±
fortement atténuées
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
4 A /p
A
y 1(t)
u 1(t)
u (t)
t
A
T
c r
c r
t
" R E L A IS "
e (t)
w (t)
-
S
u
+ A
-A
P ID
e
u (t)
G a(s )
y (t)
f _ 0 4 _ 3 1 .e p s
On néglige les harmoniques de y(t)
−→ y(t) ≈ Y 1 · sin (ωcr · t) est purement sinusoïdale
(seul le fondamental est pris en compte)
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
4 A /p
A
y 1(t)
u 1(t)
u (t)
A
t
T
c r
c r
t
" R E L A IS "
e (t)
w (t)
-
S
u
+ A
-A
P ID
e
u (t)
G a(s )
y (t)
f _ 0 4 _ 3 1 .e p s
y(t) ≈ Y 1 · sin (ωcr · t) ne dépend alors que du
fondamental de u(t) :
u(t) ≈ U 1 · sin (ωcr · t)
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
4 A /p
A
y 1(t)
u 1(t)
u (t)
t
A
T
c r
c r
t
" R E L A IS "
e (t)
w (t)
-
S
u
+ A
-A
e
u (t)
P ID
G a(s )
y (t)
f _ 0 4 _ 3 1 .e p s
Le gain de boucle en ωcr est donc
Kpcr ·
Y1
U1
=1
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
4 A /p
A
y 1(t)
u 1(t)
u (t)
A
t
T
c r
c r
t
" R E L A IS "
e (t)
w (t)
-
S
u
+ A
-A
e
u (t)
P ID
G a(s )
y (t)
f _ 0 4 _ 3 1 .e p s
Le gain de boucle en ωcr est donc
D’où :
Kpcr =
1
Y1
U1
=
U1
Y1
=
Y1
Kpcr · U 1 = 1
4
·A
4
A
π
=
·
Acr
π Acr
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Commande délivrée par le relais
10
5
0
−5
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
60
70
80
90
100
Signal de sortie
6
4
2
0
−2
−4
0
10
20
30
40
50
t [s]
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
10
5
0
−5
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
60
70
80
90
100
Signal de sortie
6
4
2
0
−2
−4
0
10
20
30
40
50
t [s]
A
4 10
4
·
= 2.55
= ·
π Acr
π 5
= 12.6 [s]
Kcr =
Tcr
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
10
5
0
−5
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
60
70
80
90
100
Signal de sortie
6
4
2
0
−2
−4
0
10
20
30
40
50
t [s]
A
4 10
4
·
= 2.55
= ·
π Acr
π 5
= 12.6 [s]
Kcr =
Tcr
Kp = 0.4 · Kcr = 1.1[−]
Ti = 0.4 · Tcr = 5.0 [s]
Td = 0.1 · Tcr = 1.26 [s]
in s t i t u t d '
Automatisation
JI
Réponse indicielle en boucle fermée, Kp=1.1, Ti=5[s], Td=1.26[s]
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
t [s]

Régulation automatique Chapitre 4: Régulateur PID Filière

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