Test de STUDENT

Dr Bourouba Statistiques
TEST t DE STUDENT
Domaine d’application du test :
Données quantitatives
Deux échantillons INDEPENDANTS
Distributions normales
Comparaison d’échantillons
1/Ranger les valeurs sous forme de tableau
Noter le nombre N1 de données de la première série et le nombre N2 de données de la
deuxième série
1/Exemple pratique :
On désire comparer les glycémies de deux groupes de diabétiques , les uns insulino
dépendants (DID) les autres non insulino dépendants (DNID)
DID
DNID
Sujet Glycémie (g/l) Sujet
Glycémie (g/l)
1
2.52
1
1.98
2
2.63
2
1.65
3
2.45
3
1.45
4
3.01
4
1.23
5
2.89
5
1.85
6
2.01
6
1.22
7
2.36
7
1.48
8
2.48
9
2.55
10
2.78
N1=10 ; N2 = 7
2/Calculer les moyennes et les écarts types de chacune des séries
xi
Moyenne =
N
∑
∑ (x
Ecart − type =
i
− moyenne ) 2
N−1
2/Dans notre exemple :
2.52 + 2.63 + 2.45 + 3.01 + 2.89 + 2.01 + 2.36 + 2.48 + 2.55 + 2.78
MoyenneDID =
= 2.57
10
Ecart typeDID =
(2.52 − 2.57) 2 + ( 2.63 − 2.57) 2 + (2.45 − 2.57) 2 + ......
= 0.28
10 − 1
MoyenneDNID=1.55
Ecart typeDNID=0.29
3/Calculer la variance totale
N1 × σ 12 + N 2 × σ 22
2
S =
(N1 + N2 ) − 2
3/Dans notre exemple :
10 × 0.28 2 + 7 × 0.29 2
S2 =
=0.09
(10 + 7) − 2
(
(
) (
) (
S = 0.09 = 0.30
)
)
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4/Calcul du t de Student
moyenne 1 − moyenne 2
t=
1
1
S
+
N1 N 2
4/Dans notre exemple
2.57 − 1.55
t=
=6.90
1 1
0.30
+
10 7
5/Comparer le t calcule au t de la table, avec un degré de liberté ν =N1+N2-2
Si t calcule est supérieur au t de la table il existe une différence significative
Si t calcule est inférieur au t de la table il n’existe pas de différence significative
5/Dans notre exemple
ν=15
t de la table :
t=2.13 pour un risque de 95%
t=2.94 pour un risque de 99%
t calcule = 6.90
Il est donc supérieur à t de la table à 95% et 99%
Il existe donc une différence significative entre les glycémies des DID et des DNID pour nos
séries
On note t non apparie=6.90 ;p<0.01
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TEST t DE STUDENT APPARIE
Domaine d’application du test :
Données quantitatives
Deux échantillons DEPENDANTS
Distributions normales
Comparaison d’échantillons
1/Ranger les résultats sous forme de tableau
Noter l’effectif des données N
1/Existe t-il une différence entre la calcémie et le taux de PTH chez 7 malades atteint de
cancer du poumon
Sujet Calcémie PTH
1
120
800
2
230
420
3
70
180
4
420
1780
5
300
500
6
100
300
7
52
400
N=7
2/Calculer la valeur absolue des différences respectives pour chaque sujet :
y n = X n −1 − X n
2/Dans notre exemple :
Sujet Calcémie PTH Y = I Calcémie – PTH I
680
1
120
800
190
2
230
420
110
3
70
180
1360
4
420
1780
200
5
300
500
200
6
100
300
348
7
52
400
3/Calculer les carrés y2des différences y :
3/Dans notre exemple :
Sujet Calcémie PTH Y = I Calcémie – PTH I
680
1
120
800
190
2
230
420
110
3
70
180
1360
4
420
1780
200
5
300
500
200
6
100
300
348
7
52
400
Y2= Carré des différences
462400
36100
12100
1849600
40000
40000
121104
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4/Calculer :
Σ Y = Somme des différences y
Σ Y 2 = Somme des carrés des différences y
(ΣY)
(Σ 2= Carré de la somme des différences y
4/Dans notre exemple :
Somme des différences :
ΣY = 680+190+110+1360+200+200+348 = 3088
Somme des carrés des différences y :
ΣY 2 = 462400+36100+12100+1849600+40000+40000+121104 = 2561304
Carré de la somme des différences y :
(ΣY) 2= (3088)2 = 9535744
5/Calculer le t de Student apparié :
t=
∑ y N −1
N ∑ y − (∑ y )
2
2
5/Dans notre exemple :
t=
3088 (7 − 1)
7 × 2561304 − (953574)
;
t = 2,61
6/Calculer le degré de liberté :
ν = N-1
6/Dans notre exemple :
ν=7−1 ;ν=6
7/Comparer le t calcule avec le t de la table avec ν degré de liberté :
7/Dans notre exemple :
t calcule = 2,61
t de la table avec un risque de 95 % et pour ν = 6 = 2,44
8/Conclusion :
Si t calcule est supérieur au t de la table : il existe une différence significative entre les
deux séries
Si t calcule est inférieur au t de la table : il n’existe pas de différence significative entre
les deux séries
8/Dans notre exemple :
t calcule = 2,61 est supérieur au t de la table = 2,44
Donc il existe une différence significative entre la calcémie et le taux de PTH, chez ces 7
patients.
On note t apparie = 2,61 , ddl=6 , p<0,05
Dr Bourouba Statistiques
TABLE du t de STUDENT
ν Degré de liberté
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
P = 95 %
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.021
2.000
1.980
1.960
P = 99 %
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.704
2.660
2.617
2.576