III. Les techniques opératoires III. Les techniques opératoires

TP. La technique opératoire de la division
TP. La technique opératoire de la division
Analysez les réponses d’un même élève de CM2 quant aux procédures
mises en œuvre pour les opérations en ligne ou posées.
Questions posées à l’entrée en 6e
• 72 ÷ 3
RE (24) 75,8% ; AR 18,6% ; NR 5,6%
• 3968 ÷ 8
RE (496) 44,3% ; chiffre des centaines exact 20,5%
Autres Réponses 9,2% ; Non Réponse 25,9%
Questions posées en fin de 6e
• 7956 ÷ 48
Quotient (165) 36% ; Reste (36) 33% ; NR 7%
• Remplace les points par les chiffres qui conviennent
.
.
.
.
7
3
.
.
.
2
3
2
Dividende 39% ; premier reste 33% ; NR 7%
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III. Les techniques opératoires
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III. Les techniques opératoires
2. Techniques de la division
2. Techniques de la division
A. Technique usuelle
B. Technique « égyptienne » (1 850 av. J.- C.)
8 2 4 4 2
4 0 4 1 9
2 6
8
4
4
3
0
2
2
0
7
2
4 4 2
1 9
4
8
6
4
8
3
4
8
2
2
7
0
2
0
4
8
4
4
= 1 0 × 4 2
= 1 0 × 4 2 + 4 0 4
=
9 × 4 2
=
9 × 4 2 + 2 6
= 1 9 × 4 2 + 2 6
Quotient
Dividende
42
84
168
336
672
1
2
4
8
16
824
672
152
84
68
42
26
Reste
16
2
1
19
Diviseur
Reste
Quotient
39
40
Analysez la page de manuel (CE2) : objectif, connaissance préalable,
démarche, propriété sous-jacente, intérêt et inconvénient.
IV. Les problèmes multiplicatifs
1. Avant enseignement de la technique opératoire
A. Problème dont la procédure experte est une multiplication
Des carreaux conditionnés en paquets
de 15 sont disposés
sur une palette.
Sur chaque «étage»
de la palette, il y a
4 rangées de 3
paquets, et il y a 8
étages en hauteur.
Combien y a-t-il de
carreaux
sur
la
palette ?
Analysez la réponse
de l’élève.
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IV. Les problèmes multiplicatifs
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IV. Les problèmes multiplicatifs
1. Avant enseignement de la technique opératoire
2. Après enseignement de la technique opératoire
B. Problème dont la procédure experte est une division
A. Problème dont la procédure experte est une multiplication
Pour Noël, on va acheter des sucettes. Il en faut une pour chaque enfant. Elles
sont vendues par paquet de 5. Combien faut-il acheter de paquets ?
À la récréation de 10 heures, 83 petits pains ont été vendus par un groupe
de 4 élèves. Chaque petit pain a été vendu 3F.
Quel est le montant de cette vente ?
Entrée en 6e, RE (249) 81% ; donnée parasite utilisée 4%
1. Le texte du problème ne dit pas combien d'élèves il y a dans la classe.
Pourquoi l’enseignante n'a-t-elle pas donné cette information ?
•Un cinéma a 600 places. Une place coûte 28 F au tarif plein et 21 F au
tarif réduit. La salle est entièrement remplie. 450 places ont été payées au
tarif plein, les autres au tarif réduit.
Combien la caissière a-t-elle encaissé ce jour-là ?
Fin de 6e, RE (15 750) 69%
2. Déterminer, pour chaque élève, la procédure mise en œuvre et les
questions auxquelles il a répondu.
B. Problème dont la procédure experte est une division
•Le cuisinier de la cantine a reçu 50 pommes. Il prépare des corbeilles de
8 pommes chacune.
a) Combien de corbeilles peut-il préparer ?
b) Combien manque-t-il de pommes pour préparer une corbeille de
plus ?
a) RE 73% ; 6,2 ou 6,25 2% ; 7 5% ; AR 19% ; NR 2%
b) RE 56% ; 2 10% ; 8 8% ; AR 19% ; NR 7%
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IV. Les problèmes multiplicatifs
IV. Les problèmes multiplicatifs
2. Après enseignement de la technique opératoire
2. Après enseignement de la technique opératoire
B. Problème dont la procédure experte est une division
C. Comparaison issue d’une situation de proportionnalité
•Martin est chargé de ranger 80 bouteilles dans des casiers. Chaque casier
peut contenir 12 bouteilles. Combien de casiers seront nécessaires pour
que Martin puisse ranger toutes les bouteilles.
Voici trois plateaux de fruits à l’étalage d’un marchand de primeurs.
L’étiquette du premier plateau indique que l’on peut avoir pour 4 F les 8
oranges, l’étiquette du second plateau pour 2 F les trois citrons, et celle du
troisième plateau indique 4 F pour les sept poires.
RE(7) 30% ; 6 31% ; AR 30% ; NR 10%
•Un professeur a 332 feuilles de papier ; il en distribue 25 à chacun de ses
élèves et il reste 7 feuilles. Combien y a-t-il d’élèves ?
RE(13) 71% ; NR 5%
•Combien de morceaux de ficelle mesurant chacun 4 mètres de long
peuvent être coupés dans une ficelle de 39,2 mètres de long ?
Quelle longueur de ficelle restera-t-il ?
RE(9) 43% ; AR 44% ; NR 14%
RE(3,2) 27% ; 0,8 6% ; AR 48% ; NR 19%
a) Quel est le fruit le plus cher ? b) Quel est le moins cher ?
a) 1981 (87) RE 20% (57%)
b) 1981 (87) RE 20% (59%)
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Conclusion
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Conclusion
1. Les situations
3. Les problèmes
On repère deux grands types de situations multiplicatives :
•Les problèmes reposant sur des situations de proportionnalité où la
valeur de l’unité est donnée se répartissent entre des problèmes de
multiplication, des problèmes de division-partition et problèmes de
division-quotition.
• Les situations de proportionnalité en distinguant celles où la valeur de
l ’unité est donnée qui conduisent à une multiplication ou une division, de
celles où la quatrième proportionnelle est à calculer et qui conduisent à
différentes méthodes.
•Dans les problèmes de division, l’interprétation du quotient et du reste
est un facteur de difficulté.
•Les situations de compositions de grandeurs qui sont des situations à
trois termes où le troisième est le produit des deux premiers.
4. Les procédures des élèves
2. Les propriétés et la technique
•Des procédures où la représentation du problème par un schéma ou un
dessin permet de le résoudre par comptage.
•Les propriétés sont plus ou moins faciles à mettre en évidence à partir
des situations.
•Des procédures progressives comme les arbres de calcul, les additions
réitérées à la place d’une multiplication, et enfin les soustractions ou les
multiplications réitérées pour remplacer une division.
•Les techniques opératoires reposent sur les propriétés des opérations.
•Les élèves rencontrent des difficultés liées à la complexité des techniques
et à la mémorisation des tables de multiplication.
•Des procédures qui mettent en œuvre les techniques opératoires.
•Des procédures mixtes.
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