Droite des milieux

Droite des milieux
I. Le théorème des milieux
Théorème
Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au
troisième côté.
Utilisation
Données : (ce qui me permet d’utiliser le théorème)
I milieu de [ AB ]
J milieu de [ AC ]
Conclusions : (ce que le théorème me permet de déduire)
( IJ ) // ( BC )
Exercice
Soit MNP un triangle quelconque.
A est le milieu de [MN].
B est le symétrique de N par rapport à P.
Montrer que les droites (BM) et (AP) sont parallèles.
On sait que, dans le triangle MNB, A est le milieu de [MN] ;
P est le milieu de [BN] (car B est le symétrique de N par rapport à P) ;
Or si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième
côté ;
Donc les droites (BM) et (AP) sont parallèles.
Théorème
Si, dans un triangle, un segment relie les milieux de deux côtés alors il a pour mesure la
moitié de la mesure du troisième côté.
Utilisation
Données :
I milieu de [ AB ]
J milieu de [ AC ]
Conclusions : IJ =
BC
ou BC = 2 × IJ
2
Exercice
Soit ABC un triangle tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm.
D est le symétrique de A par rapport à B.
E est le milieu de [CD]
Déterminer la longueur BE.
On sait que, dans le triangle ACD, E est le milieu de [CD] ;
B est le milieu de [AD] (car D est le symétrique de A par rapport à B) ;
Or si, dans un triangle, un segment relie les milieux de deux côtés alors il a pour mesure la moitié de la
mesure du troisième côté ;
1
Donc BE =
AC.
2
5
Ainsi BE = .
2
D’où BE = 2,5 cm.
II. La réciproque du théorème des milieux
Théorème
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Utilisation
Données :
I milieu de [ AB ]
( IJ ) // ( BC ) (avec J un point de [ AC ] )
Conclusions : J milieu de [ AC ]
Exercice
MNP un triangle quelconque ;
A est un point de [MN] ;
B est le milieu de [AP].
La droite parallèle à (MN) passant par B coupe (MP) en C
Montrer que C est le milieu de [MP].
On sait que, dans le triangle AMP, B est le milieu de [AP] ;
les droites (MN) et (BC) sont parallèles ;
Or si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté alors elle
coupe le troisième côté en son milieu ;
Donc C est le milieu de [MP].
III. Théorème ou réciproque ?
Que choisir en fonction de ce que l’on veut démontrer ?
Le théorème des milieux permet de montrer que deux droites sont parallèles.
Le théorème des milieux permet aussi de montrer que la longueur d’un segment est la moitié de celle
d’un autre segment.
La réciproque du théorème des milieux permet de montrer qu’un point est le milieu d’un segment.