correction - maths

MATHS-LYCEE.FR
première ES-Devoir
Chapitre 7: Statistiques
Devoir 7-1 : probabilités (60mn)
( 9 points )
Exercice 1
On a effectué une étude sur les ventes dans un grand magasin vendant des lots de 4 chaises et des tables.
On notera les événements :
”T” : le client a acheté une table.
R
F
.
”C” : Le client a acheté un lot de 4 chaises.
On a ainsi obtenu les résultats suivants :
événement
probabilité
T ∩C
0,2
T ∩C
0,3
T ∩C
0,35
EE
T ∩C
p
C
Y
L
-
1. Que signifie la notation T ∩ C ?
S
H
T
C signifie que le client n’achète pas le lot de A
chaises.
M
.
donc T ∩ C signifie que le client achète
W une table mais pas le lot de chaises.
W
W
2. Calculer p.
* Solution:
* Solution:
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
p(T ∩ C) + p(T ∩ C) + p(T ∩ C) + p(T ∩ C) = 1
donc p = 1 − 0, 2 + 0, 3 + 0, 35 = 1 − 0, 85 = 0, 15
p = p(C ∩ T ) = 0, 15
C
3. Que signifie la notation C ∪ T ?
H
Calculer p(C ∪ T ).
* Solution:
R
F
.
E
E
LY
S
AT
.M
C ∪ T signifie que le client achète le lot de chaises ou bien la table.
W
W
Deux calculs sont donc possibles :
W
C ∪ T est donc le contraire de l’événement T ∩ C.
p(C ∪ T ) = p(T ∩ C) + p(T ∩ C) + p(T ∩ C) = 0, 3 + 0, 35 + 0, 15 = 0, 8
ou bien p(C ∪ T ) = 1 − p(T ∩ C) = 1 − 0, 2 = 0, 8
La probabilité que le client achète une table ou bien le lot de chaises est p(C ∪ T ) = 0, 8.
Chapitre 7: Probabilités
Page 1/4
MATHS-LYCEE.FR première ES
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
Chaque client achète au maximum un lot de 4 chaises et la table.
MATHS-LYCEE.FR
première ES-Devoir
Chapitre 7: Statistiques
4. Le lot de 4 chaises est vendu 220 euros et la table 170 euros.
On note X la variable aléatoire donnant la dépense d’un client entrant dans le magasin.
* Solution:
R
F
.
On a donc quatre cas possibles :
Le client n’achète rien (événement T ∩ C) et dépense 0 euro.
EE
Le client achète seulement le lot de quatre chaises (événement T ∩ C) et dépense 220 euros.
C
Le client achète seulement la table (événement T ∩ C) et dépense 170 euros.
Y
L
-
Le client achète la table et le lot de chaises(événement T ∩ C) et dépense 170 + 220 = 390 euros.
On a donc :
événement
probabilité
S
0
0,2
170
0,3
220
0,35
H
AT
390
0,15
.M
5. La fréquentation du magasin est en moyenne de 140 clients par jour.
W
W
Calculer l’espérance de X et en déduire la recette moyenne journalière du magasin.
* Solution:
W
E(X) = 0 × 0, 2 + 170 × 0, 3 + 220 × 0, 35 + 390 × 0, 15 = 186, 5
Cela signifie que sur un grand nombre de client, la dépense moyenne sera de 186,5 euros par client.
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
Pour 140 clients, on a donc 186, 5 × 140 = 26110 euros.
R
F
Le magasin peut espérer une recette journalière moyenne de .26110 euros.
EE
6. Le magasin est ouvert exceptionnellement un dimancheC
de décembre et la fréquentation augmente
Y
L15% sur l’ensemble de ses articles.
alors de 20% car le magasin a affiché une remise de
S
Quelle recette peut espérer faire le magasin avec
H l’ouverture de ce dimanche ?
* Solution:
AT
20
.Mde 20% donc est multiplié par 1 + 100
Le nombre de clients augmente
= 1, 2.
W
Il y aura donc 140 × 1, 2 = 168 clients.
W
La dépense moyenne par client diminue de 15% avec la remise et est donc multipliée
15 W
par 1 −
= 0, 85.
100
On a donc une dépense moyenne de E(X) × 0, 85 = 186, 5 × 0, 85 = 158, 525 euros par client.
On a donc pour 168 clients : 158, 525 × 168 = 26632, 20.
Le magasin peut espérer une recette moyenne de 26632,2 euros.
Chapitre 7: Probabilités
Page 2/4
MATHS-LYCEE.FR première ES
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
Compléter le tableau de la loi de probabilité de X.
Valeur de X
0
probabilité 0,2
MATHS-LYCEE.FR
première ES-Devoir
Chapitre 7: Statistiques
( 11 points )
Exercice 2
D’après BAC ES Nouvelle-Calédonie 2009.
Un club de natation propose à ses adhérents trois types d’activité : la compétition, le loisir ou l’aquagym.
30% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20% des adhérents au club pratiquent l’aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.
R
F
.
la la section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30% des
E
E
adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.
C
On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère
Y les évènements suivants :
L
- A : ” La personne interrogée pratique l’aquagym”
S
- C : ” La personne interrogée pratique la natation en compétition”
H
T
- L : ” La personne interrogée pratique la natation en loisir ”
A
- R : ” La personne interrogée participe à la rencontre ” et R son événement contraire.
.M
1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous
W correspondant aux différentes situations possibles pour
un total de 100 adhérents.
W
A C L total
W
....
Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20% des adhérents de
....
total
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
Chaque adhérent ne peut pratiquer qu’une seule des trois activités.
100
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
* Solution:
R 30
F
. 20 100
E
et 20% des adhérents au club pratiquent l’aquagym donc p(A) =
E 100
50
C
et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition soit p(C) = 1 − p(A) − p(L) =
100
Y
L
A
C
L
total
1
S
R
de 20
20% de 30
4
H 46
5
35
6
T
30% de 50 A
R
15
15
24
54
M
.
total
20
50
30
100
W
2. Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu’elle parW
ticipe à la rencontre.
W
30% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir donc p(L) =
* Solution:
Il y a 35 adhérents pratiquant la natation en compétition qui participent à la rencontre sur 100
La probabilité qu’elle pratique la natation en compétition et participe à la rencontre est p(C ∩ R) =
Chapitre 7: Probabilités
Page 3/4
MATHS-LYCEE.FR première ES
35
100
MATHS-LYCEE.FR
première ES-Devoir
Chapitre 7: Statistiques
3. On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu’elle soit dans la
section compétition.
Donner une valeur approchée du résultat arrondie à 10−2 près.
35 adhérents pratiquent la compétition parmi les 46 participants à la rencontre
35
donc la probabilité demandée est
≈ 0, 76
46
R
F
.
La probabilité qu’elle soit dans la section compétition sachant qu’elle participe à la rencontre est 0,76 environ.
E
E
C
Remarque
Y de terminale) et se note p (C) ≈
L
Cette probabilité est une probabilité conditionnelle (programme
S0, 76.
H
T
4. Les tarifs du club pour l’année sont les suivants : l’adhésion à la section compétition est de 100 euros
A
et l’adhésion à la section loisir ou à l’aquagym
est
M de 60 euros. De plus, une somme de 15 euros est
.
demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
W
On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle
W
à la rencontre). Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S.
W
R
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
Si
pi
60
.........
75
0,11
.........
.......
* Solution:
A ∩ R ou bien
L∩R
60
15 + 24
= 0, 39
100
Si
pi
C
A ∩ R ou bien
L∩R
75
H
R
F
.
E
E
LY
S0,11
AT
.........
0,35
C ∩C
C ∩R
100
15
= 0, 15
100
100 + 15 = 115
0,35
Penser à vérifier que la somme des probabilités est 1.
.M
5. Calculer l’espérance mathématique de S et interpréter ce nombre.
* Solution:
W
W
W
E(S) = 60 × 0, 39 + 75 × 0, 11 + 100 × 0, 15 + 115 × 0, 35 = 86, 9
E(S) = 86, 9
cela signifie que pour un grand nombre d’adhérents, la dépense sera de 86,9 euros par adhérent.
Chapitre 7: Probabilités
Page 4/4
MATHS-LYCEE.FR première ES
www.maths-lycee.fr –Devoir 7-1 : probabilités
* Solution: