Réponses prof

Rallye 2015, Nice
Exercice 1 : Tromperie
Le dresseur le plus expérimenté du cirque met 40 minutes pour laver un éléphant.
Son fils, lui, accomplit le même travail en deux heures.
Combien de temps leur faudrait-il en travaillant ensemble pour laver trois éléphants ?
Observons que :
 le dresseur mettrait seul 40 × 3 = 120 minutes = 2 heures pour laver les trois éléphants.
1
Donc, en une heure, il ferait 2 du travail.
 Son fils mettrait seul 2 × 3 = 6 heures pour accomplir le travail.
1
Donc, en une heure, il ferait 6 du travail.
1
1
3
1
4
2
En travaillant ensembles, père et fils feraient en 1 heure + = + = = du travail :
2
6
6
6
6
3
2
1 heure
du travail
3
3
3
heure, c’est-à-dire 1h30.
correspond au travail complet
3
Remarque : On peut raisonner avec un seul éléphant et ensuite multiplier par 3. Vérifions que cela donnerait la
même chose :
 le dresseur mettrait seul 40 minutes pour laver un éléphant.
1
Donc, en une minute, il ferait 40 du travail.
2

Son fils mettrait seul 2 heures = 120 minutes pour accomplir le travail.
1
Donc en une minute, il ferait 120 du travail.
1
1
1
En travaillant ensembles, père et fils feraient en 1 minutes 40 + 120 = 30 du travail.
Donc en travaillant ensemble, ils mettraient 30 minutes pour laver un éléphant, il leur faudrait donc 1h30 pour laver
les trois éléphants.
Exercice 2 : Quoi de neuf ?
La touche "9" de ma calculatrice ne fonctionne plus et je dois calculer 989 × 8939.
Quel calcul puis-je taper pour qu'elle me donne le bon résultat ?
A première vue, j’aurais tendance à écrire :
 989 = 9 × 100 + 8 × 10 + 9 = (8 + 1) × 100 + 80 + (8 + 1)
 8939 = 8 × 1000 + 9 × 100 + 30 + (8 + 1) = 8000 + (8 + 1) × 100 + 30 + 8 + 1
Un calcul possible : 989 × 8939 =((8 + 1) × 100 + 80 + (8 + 1) × (8000 + (8 + 1) × 100 + 30 + 8 + 1).
Sinon, j’utilise les décomposition en nombres premiers : 989 = 23 × 43 et 8939 = 7 × 1277.
D’où : 989 × 8939 = 23 × 43 × 7 × 1277.
Exercice 3 : Une rosace
Un maître-verrier a reçu commande d’une rosace.
Elle doit occuper l’ouverture circulaire du mur de façade d’un bâtiment en construction,
le diamètre du cercle mesure 6 mètres.
Le commanditaire veut que la rosace ait la forme ci-contre à gauche et que, pour
des raisons esthétiques personnelles, l’aire de chacun des panneaux externes égale celle
du panneau circulaire central.
Tu es le maître-verrier. Saurais-tu compléter l’ébauche du plan de la rosace ?
On a besoin de trouver le diamètre du panneau central :
La surface de la rosace est : 𝐴 = 𝜋 × 𝑟 2 = 𝜋 × 32 = 9𝜋. On partage la rosace en 9 parties de même aire.
𝐴
Ainsi l’aire du panneau central doit être égale à : 𝐴𝑝𝑎𝑛𝑛𝑒𝑎𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 9 = 𝜋. Son rayon doit être donc égal à 1.
Donc, voici le schéma :
Exercice 4 : S’il n’en reste qu’un…
Ce nombre n'est pas 1. Cependant, quand on le divise par 2, ou par 3, ou par 4, ou par 5, ou par 6, ou par 7, ou par
8, ou enfin par 9, il reste toujours 1 ! Quel est le plus petit nombre possible qui a cette propriété ?
Soit 𝑎 ce nombre. On doit avoir : 𝑎 − 1 = 2𝑘. De même, 𝑎 − 1 est multiple de 3, de 4… et de 9.
Ecrivons les nombres de 2 à 9 sous forme de produits de nombres premiers :
2
3
5
7
4= 2×2
6= 2×3
8= 2×2×2
9= 3×3
Le PPCM de ces nombres est 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2520.
Donc : 𝑎 − 1 = 2520, d’où 𝑎 = 2521.
Remarque : on pourrait utiliser un algorithme pour chercher ce nombre. Avec Algobox, cela donne :
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
TANT_QUE (a%2!=1 OU a%3!=1 OU a%4!=1 OU a%5!=1 OU a%6!=1 OU a%7!=1 OU a%8!=1 OU a%9!=1) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
a PREND_LA_VALEUR a+1
FIN_TANT_QUE
AFFICHER a
FIN_ALGORITHME
Début de l'algorithme
Entrez a : 2
2521
Fin de l'algorithme
Exercice 5 : La coulée verte
Sur la Promenade du Paillon, à Nice, on peut remarquer de curieux fauteuils.
Les quatre pieds sont les sommets d’un carré ; l’un des pieds est fixé, les trois autres sont mobiles.
Les deux rails circulaires sur lesquels tournent les trois pieds mobiles matérialisent un disque central entouré d’une
couronne. Comparer l’aire de cette couronne C et l'aire du disque central D (avec < ou = ou >)
Si 𝑐 est la longueur du côté du carré, 𝑐√2 est la longueur de son diagonale
L’aire du disque central : 𝐷 = 𝜋𝑐 2
L’aire de la couronne : 𝐶 = 2𝜋𝑐 2 − 𝜋𝑐 2 = 𝜋𝑐 2
Conclusion : C = D.
Exercice 6 : Joyeux anniversaire
Le 26 juillet 1762, Mozart avait 6 ans. Cette date a une autre particularité : elle s’écrit 26 7 1762, nombre qui peut
être lu indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. On dit que c’est un nombre palindrome.
Mais au fait, quelle était la date palindrome précédant le 26 juillet 1762 ?
Et quelle était la date palindrome suivant le 26 juillet 1762 ?
Remarque : Le 3 février 1802 est noté 3 2 1802 et non pas 03 2 1802 ni 3 02 1802.
Une date est de la forme 𝑗1 𝑗2 /𝑚1 𝑚2 /𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 .
Quand on lit la date de la gauche vers la droite :
- 𝑗1 peut être égal à 0 (dans ce cas, on le compte pas), 1, 2 ou 3 ;
- 𝑗2 peut varier de 0 à 9 ;
- 𝑚1 peut être égal à 0 (dans ce cas, on le compte pas) ou 1 ;
- 𝑚2 peut varier de 0 à 9.
Pour qu'il y ait palindrome, il faut que :
- 𝑗1 = 𝑎4
- 𝑗2 = 𝑎3 ou 𝑗3 = 𝑎4 (selon qu’on compte 𝑗1 ou pas)
- 𝑚1 = 𝑎2
- 𝑚2 = 𝑎1 ou 𝑚2 = 𝑎2 (selon qu’on compte 𝑚1 ou pas)
Nous sommes au XVIIIe siècle, on impose donc 𝑎1 = 1 = 𝑚2 et 𝑎2 = 7 = 𝑚1 . 71 doit être un mois, ce qui est
impossible. Donc nécessairement, on doit avoir 𝑚1 = 0 et 𝑚2 = 𝑎2 = 7.
Dans ce cas, notre date doit avoir la forme 𝑗1 𝑗2 /7/17𝑎3 𝑎4 .
Si on veut rester à la même décennie, il faudra imposer 𝑎3 = 6 = 𝑗2 et la date sera de la forme 𝑗1 6/7/176𝑎4 .
Conclusion :
- Date palindrome précédente : 𝟏𝟔/𝟕/𝟏𝟕𝟔𝟏
- Date palindrome suivant : 𝟏𝟕/𝟕/𝟏𝟕𝟕𝟏.
Exercice 7 : La bouteille à l’envers….
Cette bouteille d'eau minérale d'une contenance d'1,5 litre est constituée d'un cylindre surmontée d'un cône. La
hauteur du cône est de 9cm et le diamètre du cône et du cylindre est de 8cm.
A l'endroit, la hauteur de l'eau dans la bouteille est de 14cm, car la bouteille n'est pas pleine…
Mais si je la retourne, quelle sera la hauteur d'eau dans la bouteille à l'envers ?
On veut une réponse au millimètre près !
1
Rappelons qu’un litre est égal à 1 dm3 et que le volume d’un cône est donné par 3 𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 :
1
Le volume du cône est donc : × 𝜋 × 42 × 9 = 150,72 𝑐𝑚3 = 0,15072 𝑑𝑚3.
3
Cherchons la hauteur h du cylindre :
𝐴𝑏𝑜𝑢𝑡𝑒𝑖𝑙𝑙𝑒 = 𝐴𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 + 𝐴𝑐ô𝑛𝑒 ⟺ 1500 = 𝜋 × 42 × ℎ + 150,72
⟺ℎ=
1500−150,72
16𝜋
= 26,856 𝑐𝑚
Quand la bouteille est à l’endroit, la hauteur de l’eau s’élève à 14 cm.
Cette quantité d’eau est entièrement contenue dans le cylindre.
On peut calculer le volume de cette eau : 𝜋 × 42 × 14 = 703,36 𝑐𝑚3 .
A l’envers, la quantité d’eau contenue dans le cylindre est :
703,36 – 150,72 = 552,64 𝑐𝑚3 .
Conclusion : A l’envers, la hauteur s’élève à : 9 +
552,64
16𝜋
= 9 + 11 = 21 𝑐𝑚.
Exercice 8 : Y a moyen
Si on ajoute tous les nombres de 2 014 … à … 20 015, le résultat sera très grand ! Mais combien vaut la moyenne
de tous ces nombres ?
Posons
𝑆 = 2014 + 2015 + ⋯ + 20 014 + 20015
Ce qui donne aussi : 𝑆 = 20 015 + 20 014 + ⋯ + 2015 + 2014
Par addition :
2𝑆 = 22029 + 22029 + ⋯ + 22029 + 22029
On constate que, dans l’expression de 2𝑆, il y a (20 015 − 2014 + 1) = 18 002 termes du nombre 22 029.
On obtient ainsi : 2𝑆 = 18 002 × 22 029, c’est-à-dire 𝑆 = 18 002 ×
𝑆
La moyenne de tous ces nombres est donc donnée par : 𝑀 = 18 002 =
22 029
2
22029
2
.
= 11014,5.
Exercice 9 : Y a moyen
On a commencé un tableau de nombres. Dans chaque ligne, on a des entiers consécutifs tels que la somme des
carrés des nombres écrits dans les cases blanches est égale à la somme des carrés des nombres écrits dans les cases
grises : 3² + 4² = 5² et 10² + 11² + 12² = 13² + 14²
Il s'agit de compléter la troisième ligne en
respectant ces règles…
Cherchons les entiers 𝑛 tels que :
𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 + (𝑛 + 3)2 = (𝑛 + 4)4 + (𝑛 + 5)2 + (𝑛 + 6)6 ,
Ce qui revient à résoudre l’équation :
4𝑛2 + 12𝑛 + 14 = 3𝑛2 + 30𝑛 + 77 ⟺ 𝑛2 − 18𝑛 − 63 = 0 ⟺ (𝑛 − 21)(𝑛 + 3) = 0.
On trouve donc 𝑛 = 21 ou 𝑛 = −3.
Vérification : 212 + 222 + 232 + 242 = 2030 et 252 + 262 + 272 = 2030.
(−3)2 + (−2)2 + (−1)2 + 02 = 14 et 12 + 22 + 32 = 14.
Exercice 10 : La chasse au trésor !
Sur le message du pirate il est indiqué :
Le trésor est plus près du Rocher R que
du phare P,
mais plus loin du rocher R que du Pylône PY.
En tout cas, il est à moins de 4km du phare P...
Où chercher ?
Un carreau sur la carte correspond à 1 km. J’importe la carte dans geogebra et je vais utiliser les outils de ce logiciel
pour chercher le trésor :
Exercice 11 : Sondage
Sur l'île de Toutour, il n'y a que deux familles : les Touvray (qui disent toujours la vérité) et les Toufaux (qui
mentent toujours). Chacun des 400 adultes toutouriens est soit pêcheur, soit chasseur, soit agriculteur, mais ne peut
pas exercer plusieurs professions. On a envoyé à ces 400 toutouriens un questionnaire comportant 3 questions :
1) Êtes-vous pêcheur ?
2) Êtes-vous chasseur ?
3) Êtes-vous agriculteur ?
et il fallait répondre à chacune par oui ou par non...
Il y a eu 300 "oui" pour la question 1), 200 "oui" pour la question 2) et 150 "oui" pour la question 3).
Combien y a-t-il d’adultes dans la famille Touvray ?
Dans ce genre de problèmes, il faut prendre quelques exemples pour se donner une idée.
Prenons un pêcheur de la famille des Touvray et un pêcheur de la famille des Toufaux. Voici sa réponse :
Questions
1°) Êtes-vous pêcheur ?
2°) Êtes-vous chasseur ?
3°) Êtes-vous agriculteur ?
Réponse du pêcheur Touvray
oui
non
non
Réponse du pêcheur Toufaux
non
oui
oui
Si on s’intéresse aux réponses « oui », il y a 2 fois plus oui pour les Toufaux. Soit 𝑉 le nombre des Touvray et 𝐹
celui des Toufaux. On a : 𝑉 + 𝐹 = 400 et 𝑉 + 2𝐹 = 650, donc 𝑉 + 𝐹 + 𝐹 = 650, c’est-à-dire 400 + 𝑓 = 650.
On trouve donc : 𝐹 = 250 et 𝑉 = 150.
Exercice 12 : Eclipse
On a tracé un cercle de rayon R et un carré de côté C.
L'aire coloriée en noir est égale à l'aire coloriée en gris.
𝐶
La question est : quel est le rapport 𝑅 ?
On a : 𝐴𝐴𝐵𝐷𝐶 = 𝐶 2 et 𝐴𝐶𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 = 𝜋 × 𝑅 2 . Appelons 𝑥 l’aire de la partie en noir et 𝑦 l’aire de la partie du disque en
blanc.
𝐶
On a : 𝑥 + 𝑦 = 𝜋 × 𝑅 2 et 𝑥 + 𝑦 = 𝐶 2 , donc 𝜋 × 𝑅 2 = 𝐶 2 , donc 𝑅 = √𝜋.
Exercice 13 : Formez le carré !
Les légionnaires romains, sur le champ de bataille, se disposaient en carré pour une plus grande efficacité.
La compagnie de Brutus est telle que si elle avait comporté 63 légionnaires de plus, le carré ainsi formé aurait eu
trois rangées de plus.
De combien de légionnaires la compagnie de Brutus est-elle constituée ?
Soit 𝑥 le nombre de légionnaires. Le schéma traduit l’énoncé :
On traduit tout cela en équation, cela donne : 𝑥 2 + 63 = (𝑥 + 3)2 , c’est-à-dire 𝑥 2 + 63 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9.
On a amené à résoudre l’équation : 63 = 6𝑥 + 9, on trouve 𝑥 = 9.
Le nombre de légionnaires est donc égal à : 92 = 81 !