Proportionnalité

Proportionnalité
Chapitre D1 du livre
I. Situation de proportionnalité
1.) Calculer le périmètre d’un carré
Exemple : calculer le périmètre d’un carré en fonction de la longueur du côté
Longueur
du côté
Périmètre
du carré
2
4
7
10,5
13
15
8
16
28
42
52
60
Conclusion : il y a proportionnalité entre le périmètre d’un carré et la longueur de son côté,
le coefficient de proportionnalité est 4.
2.) Reconnaître une situation de proportionnalité
a. D’un point de vue numérique
D’un point de vue numérique, deux suites de nombres sont proportionnelles
lorsque chaque nombre de l’une est obtenu en multipliant le nombre de l’autre qui lui
correspond, par un même facteur appelé le coefficient de proportionnalité.
Remarque :
Il y a aussi proportionnalité si on divise chaque nombre d’une suite par un même
nombre. Dans ce cas, ce diviseur commun est l’inverse du coefficient de
proportionnalité.
b. Quatrième proportionnelle
Quatre nombres non nuls
sont proportionnels ou forment une proportion si on observe
une égalité de quotients de la forme :
1
Calculer une quatrième proportionnelle revient à déterminer le nombre x à partir de 3 nombres
connus a, b et c tels que a, b, c et x forment une proportion.
Exemple :
Calculer la quatrième proportionnelle de 4 ; 35 et 12
Remarque :
permet d’écrire :
2
c. D’un point de vue graphique
D’un point de vue graphique on observe une situation de proportionnalité lorsque tous les
sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère.
points de coordonnées
Dans ce cas,
, a étant le coefficient de proportionnalité.
Exemple :
Le périmètre d’un carré est-il proportionnel à la longueur de son côté ?
Longueur du
côté L (cm)
Périmètre du
carré P (cm)
2
4
7
10,5
13
15
8
16
28
42
52
60
Les points sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère, le périmètre d’un
carré est bien proportionnel à la longueur de son côté.
3
Autre exemple :
L’aire d’un carré est-elle proportionnelle à la longueur de son côté ?
Longueur du
côté L (cm)
Aire du carré
A (cm2)
2
3
5
8
10
12
4
9
25
64
100
144
L’aire d’un carré n’est pas proportionnelle à la longueur de son côté les points ne sont pas
alignés.
4
II. Quelques exemples de situations de proportionnalité
1.) Échelle
L’échelle d’une représentation graphique est égale au quotient de la longueur reproduite par la
longueur réelle, c’est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des mesures réelles
à celles de la représentation.
Exemple :
Le plan d’une ville est une réduction de la réalité son échelle est inférieure à 1.
Par exemple
Longueur réelle L
(en cm)
Longueur sur le plan l
(en cm)
(écrit souvent 1/20 000 sur les plans)
20 000
10 000
240 000
500 000
60 000
1
0, 5
12
25
3
2.) Pourcentage.
Un pourcentage est le coefficient de proportionnalité d’une situation, il est exprimé sous la
forme d’un quotient dont le dénominateur est 100.
a. Calcul d’un pourcentage
On peut utiliser une situation de quatrième proportionnelle pour calculer un pourcentage.
Exemple :
On a dénombré dans un sac 30 objets cassés sur un total de 150.
Quel est le pourcentage d’objets cassés par rapport au nombre total dans ce sac ?
Nombre d’objets
30
x
Nombre total d’objets
150
100
Calcul de x :
20% des objets se trouvant dans ce sac sont cassés.
20% est un pourcentage, qui se lit « 20 pour 100 » et qui s’écrit
5
b. Appliquer un pourcentage à un nombre
Cela revient à multiplier ce nombre par le pourcentage.
Exemple :
Dans une classe de quatrième de 30 élèves, 60% sont des filles. Calculer le nombre
de filles de cette classe.
Il y a 18 filles dans la classe
3.) Vitesse constante
Un mouvement est uniforme lorsqu’il y a proportionnalité entre la distance parcourue et la
durée du parcours.
La vitesse constante ou moyenne est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de
la durée à la distance parcourue.
La vitesse constante ou moyenne est égale au quotient de la distance parcourue par la durée du
parcours.
Exemple :
Un cycliste parcourt 32 km en 2 heures
Si le mouvement est uniforme, on peut calculer qu’en 1 heure il parcourt 16 km
(coefficient de proportionnalité : v = 16 km/h).
Et ensuite qu’il pourra parcourir 80 km en 5 heures par exemple.
Temps t
(en h)
Distance parcourue d
(en km)
2
1
5
3,5
8
32
16
80
56
128
6