Moments d`inertie d`un disque

MMMENTS D'INERTIE D'UN DISQUE HOMOGENE, INFINIMENT MINCE, DE CENTRE O, DE RAYON R
ET DE MASSE m
PREMIERE METHODE
y
dy
y= (R²-x²) 1/2

x
O
x
On considère le quart de disque représenté
Le moment d'inertie, par rapport à Ox, de la surface élémentaire assimilable à un rectangle de
longueur x et de largeur dy est dIOx = dm y² car tous les points de la surface élémentaire se trouvent
à la même distance y de l'axe Ox.
Le moment d'inertie du disque est égal à quatre fois celui du quart de disque
----------------------------------------------------------------------------------On peut effectuer ce calcul directement Quand x varie de R à 0, y varie de 0 à R et dy est >0
Le moment d'inertie est une grandeur positive: ici x>0, y²>0 et dy>0
y²=R²-x²
dy=- x (R²-x²)-1/2
----------------------------------------------------------------------------------------
On peut aussi effectuer ce calcul en faisant un changement de variable
--------------------------------------------------------------------------------------------Par raison de symétrie
DEUXIEME METHODE
 + d
r
dy

O
x
On considère comme surface élémentaire, la portion de couronne circulaire délimitée par les cercles
de rayons r et r+dr et représentée en gras. L'aire peut être assimilée à celle d'un rectangle de
longueur r d et de largeur dr.



r et  sont deux variables indépendantes: la variation de r n'engendre pas celle de  et
réciproquement

=
 


=
 

=
TROISIEME METHODE
On considère comme surface élémentaire, la couronne circulaire délimitée par les cercles de rayons r
et r+dr et représentée en gras. L'aire peut être assimilée à celle d'un rectangle de longueur 2 r et
de largeur dr.
y
R
r
r+dr
O
=
x