Nombre dérivé, tangente : résumé de cours. Introduction Soit f une

Nombre dérivé, tangente : résumé de cours.
Introduction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. On appelle Cf la courbe représentative de f
dans le plan rapporté au repère (O,~ı, ~) et on appelle A le point de Cf d’abscisse a. C’est à dire que A
est le point de coordonnées a, f (a) .
Évidemment par le point A on peut faire passer une infinités de droites différentes ! Il ne suffit pas de
dire qu’elle passe par le point A pour définir sans ambiguı̈té la tangente à Cf en ce point.
1
Mais une seule des droites passant par le point A sera la droite tangente à Cf au point A.
Construction d’une tangente
On va voir maintenant comment on construit cette tangente.
Soit h un nombre réel assez petit et différent de 0. Le point H a + h, f (a + h) appartient aussi à Cf .
2
Si h > 0 alors le point H se trouve à droite du point A puisque a + h est plus grand que a.
Si h < 0 alors le point H se trouve à gauche du point A puisque a + h est plus petit que a.
3
Par les points H et A passe une unique droite, c’est la droite (AH).
Selon la formule habituelle, cette droite a pour coefficient directeur :
yH − yA
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
=
=
.
xH − xA
a+h−a
h
Que se passe-t-il lorsque h tend vers 0 ?
4
5
6
On voit que lorsque h tend vers 0 , la droite (AH) ”tend” vers une droite limite. C’est cette droite
qu’on appelle la droite tangente à Cf au point d’abscisse a.
Appelons T la droite tangente à Cf au point d’abscisse a.
Son coefficient directeur est
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
lim
On appelle cette limite, quand elle existe, le nombre dérivé de f en a et on le note
f ′ (a).
On a donc
f ′ (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
.
h
(1)
Récapitulons :
La tangente à Cf au point A a, f (a) :
– est une droite,
– passe par le point A a, f (a) ,
– a pour coefficient directeur f ′ (a).
Si M (x, y) est un point de la la tangente T différent de A le coefficient directeur de T est aussi donné
par
yM − yA
y − f (a)
=
.
xM − xA
x−a
On a donc
f ′ (a) =
y − f (a)
.
x−a
7
D’où y − f (a) = f ′ (a) · (x − a) + f (a) et finalement
y = f ′ (a) · (x − a) + f (a).
(2)
Cette formule donne une équation de la tangente à Cf en a.
La fonction dérivée
Pour chaque a ∈ Df il y a un point correspondant A a, f (a) sur Cf et une tangente Ta en ce point.
En général si a est différent de b les droites Ta et Tb sont des droites différentes.
8
9
En général f ′ (a) change en fonction de a.
On appelle fonction dérivée de la fonction f la fonction
f ′ : x 7→ f ′ (x)
qui à chaque nombre x associe le nombre dérivé f ′ (x).
Fonction dérivable ou non
f (a + h) − f (a)
n’existe pas. Dans ce cas il n’y a évidemment pas de nombre
h
dérivé en a et l’on dit que la fonction f n’est pas dérivable en a.
Il peut se produire que lim
h→0
Voici un exemple :
10
Dans cet exemple, lorsque on se place au point A(0; 2, 5) on obtient deux tangentes possibles. Cela est
dû au fait que
f (0 + h) − f (0)
f (0 + h) − f (0)
lim
6= lim
.
h→0
h→0
h
h
h<0
h>0
Dans un tel cas on dit :
– que la courbe Cf n’admet pas de tangente au point d’abscisse 0 ;
– que la fonction f n’est pas dérivable en 0.
11