Chap 12 - 1 Chapitre 12 Effet du transfert de matière dans les

Chapitre 12
Effet du transfert de matière dans les
extracteurs
12.1
Étages réels et efficacités
•Dans l'étage théorique, on suppose que les courants qui sortent
sont à l'équilibre thermodynamique.
•En pratique, cette hypothèse n'est souvent pas vérifiée. Les
compositions réelles des courants qui se séparent après avoir été
mis en contact, ne satisfont pas la relation d'équilibre
thermodynamique à cause des limitations dues au transfert de
matière entre les deux phases.
•Pour caractériser cet écart au comportement idéal, on utilise le
concept d'efficacité. Plusieurs définitions ont été proposées.
Efficacité de Hausen
Pente=-R/E
EH 
xn 1  xn AB

xn 1  xT* AT
EH 
yn 1  yn
yn 1  yT*
Efficacité de Hausen: pas
pratique à utiliser dans le
cas de contre-courant.
Distillation-Extraction
Chap 12 - 1
Efficacité de Murphree
Courbe d’équilibre
Droite opératoire
Courbe de
pseudo-équilibre
Efficacités de Murphree (en phases raffinat et extraite)
Efficacité en phase raffinat, EMR,
EMR 
xn 1  xn AB

*
xn 1  xn AC
xn* = valeur de x qui serait en équilibre avec yn
Efficacité en phase extraite:
EME 
yn  yn 1 FB

yn*  yn 1 FG
yn*= valeur de y qui serait en équilibre avec xn
Si la courbe d’équilibre est une droite,
yn  mxn*
EME
yn*  mxn
yn  yn 1
xn*  xn*1
 *

yn  yn 1
xn  xn*1
Distillation-Extraction
Chap 12 - 2
Le bilan en soluté sur un étage :
E  yn  yn 1   R  xn 1  xn 
12.4
Relation simple entre EMR et EME:
EMR
E
mE
1
y  yn 1 
 yn  yn1 
 yn  yn 1 
xn 1  xn R  n
R
A




xn 1  xn*
xn 1  xn*
m xn 1  m xn*
 m xn1  yn 
 m xn 1  yn 
1
 yn  yn 1 
A EMR
12.5
m  12.4  mE  yn  yn 1   mR  xn 1  xn 
 mxn 1 
12.5 

mE
1
 yn  yn1   mxn   yn  yn1   yn*
R
A
m xn 1  yn 
1
1
 yn  yn1   yn*  yn 
 yn  yn1 
A
A EMR
1
1
 yn  yn 1    yn*  yn1    yn  yn 1  
 yn  yn1 
A
A EMR
*
1  yn  yn 1   yn  yn 1   yn  yn 1 
1  yn  yn 1 

 *
 *

*
A  yn  yn 1   yn  yn 1   yn  yn 1  A EMR  yn*  yn 1 

1
1
EME  1  EME 
EME
A
A EMR
 1

 1 

 EMR 
Distillation-Extraction

 1

 1
A
 EME 
1
1
1

1 
A EME
A EMR
12.6
Chap 12 - 3
De même, à partir des définitions de EMR, EH et en utilisant les bilans
matières sur l'étage (réel et théorique), on pourrait démontrer la relation
entre les efficacités de Murphree et de Hausen:
 1
  1

 1  
 1 1  A 

 EMR   EH

12.7
Efficacité globale
Soit un extracteur composé de NR étages réels. Pour une
séparation donnée, on peut comparer ce nombre, au nombre d'étages
théoriques, NT, qu'il faudrait pour obtenir la même séparation. On définit
ainsi l'efficacité globale de l'appareil, EG, par:
EG 
12.2
NT
NR
12.8
Extracteurs à étages multiples
(systèmes immiscibles)
Cas où l’équilibre est une droite:
y*=m x
y=mx*
Bilan autour d'un étage p:
R  x p 1  x p   E  y p  y p 1 
R  x p 1  x p   E m  x*p  x*p 1  
x
x
*
p
 x*p 1 
p 1
 xp 

R
A
mE
12.9
Appliquons [12.9] pour tous les étages 1 à n et faisons le produit des termes:

x
*
1
 x2* 
x

*
2
 x3* 
 x0  x1   x1  x2 
p=1
Distillation-Extraction
p=2

x
*
n 1
 xn* 
x

*
n
 xn*1 
 An
 xn2  xn1   xn 1  xn 
p=n
12.10
Chap 12 - 4
x p  x p 1
 EMR  p 1 
 EME  p 
et
x p  x*p 1
x*p  x*p 1
x p  x*p 1
 EME  p  x*p  x*p 1  x p  x*p 1  x*p  x*p 1


 
x
x
x p  x p 1

 EMR  p 1  x p  x*p 1 
p 1 
 p
x
*
1
12.10
 x2* 
 x0  x1 
x

*
2
 x3* 
 x1  x2 

x
 xn* 
*
n 1
 xn2  xn1 
x

*
n
 xn*1 
 xn 1  xn 
 An
 EME n1  EME n1 * *
 EME 1  EME 2
1


 

  x  x   An
 EMR n2  EMR n2 n n1
 x0  x1   EMR 2  EMR 3
 EMR 1 
x0  x1
xn*  xn*1
 EME n  xn  xn1   x0  x1 
E

;




ME n
*
*
x0  x1
xn  xn 1
 EMR 1  xn  xn*1   x0  x1 
*
x

*
x  x  E 

x  x  x  x  E 
*
n
 xn*1 
*
0
n
1
0
*
n 1
ME n
*
1
MR 1
x  x  E   E   E 
12.10 
x  x  E  E  E 
n
0
*
n 1
ME n
ME 1
ME 2
*
1
MR 1
MR 2
MR 3
 
 EME n1  EME n1

 EMR n2  EMR n2
 An
Si nous supposons que les efficacités sont constantes sur tous les étages:
x  x    A E
 x  x   E
n
0
*
n 1
MR
*
1
ME



n
12.11
Bilan matière sur l’ensemble des étages
Rx0  Eyn 1  Rxn  Ey1
 A  x0  xn  
 y1  yn 1 

y
R
R
y
x0  n 1 
xn  1
mE
m
mE
m
 mxn  mx0 
m
1
 yn1  y1 
A
12.12
Par définition, les grandeurs x*p et yp sont à l’équilibre : yp=mx*p
 x  x    mx  mx    mx  y 
 x  x   mx  mx   mx  y 
*
n 1
n
0
Distillation-Extraction
*
1
*
n 1
n
0
*
1
n
0
n 1
12.13
1
Chap 12 - 5
1
A
12.12  yn1   mxn  yn1   mx0   yn 1  y1   yn1
 mxn  yn1   
1 
1
1
1

 1 yn 1  mx0  y1   mx0  mx0 
A
A
A 
A

 mxn  yn 1   
1 
1
 1  yn 1  mx0    mx0  y1 
A
A 
 x  x    mx  y 
 x  x   mx  y 
*
n 1
n
0
n
*
1
0
 xn  xn*1 
n 1
[12.13]
1
1
1 
  1  yn 1  mx0    mx0  y1 
A 
A

 mx0  y1 
x  x 
 x  x    1  1  y  mx   1
 x  x   A   mx  y  A
*
1
0
*
n 1
n
n 1
*
1
0
12.14
0
0
12.15
1
 x  x    A  1   y  mx   1
 x  x   A   y  mx  A
x  x    A E 
 x  x   E 
*
n 1
n 1
0
*
1
1
n
*
n 1
MR
*
1
ME
n
12.15
12.11
0
0
0
n
 E   A  1   yn 1  mx0  1
  A MR   


 EME   A   y1  mx0  A
n
 1

 1 
[12.6] 
E
 MR 
A
 1

A
 1
E
 ME 
 EMR
EMR
 1  EMR   AEMR
EME
12.16
12.17
Distillation-Extraction
12.16
E

E

  MR  EMR   A  MR  EMR 
 EMR

 EME

E
 A MR  1   A  1 EMR 12.17
EME
n
 A  1   yn 1  mx0  1
 1   A  1 EMR   


 A   y1  mx0  A
12.18
Chap 12 - 6
n
 A  1   yn 1  mx0  1

1   A  1 EMR   

A
y
mx
A




 1
0
12.18
On trouve ainsi le nombre d’étages en fonction des spécifications du problème:
 A  1   yn 1  mx0  1 
 
Log 


A
y
mx
A
  1
0

n
Log 1   A  1 EMR 
12.19
Pour des d'étages théoriques (EMR=1) on retrouve ainsi la relation de Kremser
(équation11.12) du chapitre 11.
 A  1   yn 1  mx0  1 
 
Log 

 A   y1  mx0  A 
n
Log  A 
11.12
L'efficacité globale de l'appareil se calcule ainsi facilement:
11.12
EG 
NThéorique
N
12.19 Réel

Log 1   A  1 EMR 
Log  A 
Dans le cas particulier où le facteur d'extraction vaut
lim
12.19
A 1

n 
R
1
mE
1  yn 1  mx0 

 12.21
EMR  y1  mx0 
1  xo  xn*1 
n 


EMR  xn  xn*1 
Distillation-Extraction
A
12.20
lim
12.20
A 1

EG  EMR
Chap 12 - 7
12.3
Transfert de matière: théorie du double film
kE
kR
(xi est en équilibre avec yi)
Chacune des 2 étapes de ce transfert sera caractérisée par un coefficient
de transfert de masse, respectivement kR kE.
Il est possible d'exprimer le flux de soluté en terme de coefficients globaux
de transfert KR et KE, respectivement pour les phases raffinat et extraite
Distillation-Extraction
Chap 12 - 8
N  k R  x  xi 
Nm
 m  x  xi    y *  yi 
kR
N

  yi  y 
kE

N  k E  yi  y 
 1 m
N Nm

 N      yi  y    y*  yi    y*  y 
kE kR
 kE kR 
N
y
*
 y
 1 m
  
 kE kR 
 K E  y*  y 
avec
De même on aurait :
N  K R  x  x* 
avec
1 m 1 
  
K E  kR kE 
1  1
1 
 

K R  k R mk E 
•L'intérêt du coefficient global K (par rapport à k) est qu'il ne nécessite plus
l'usage des concentrations aux interfaces. On rappelle que le symbole (*)
indique qu'il s'agit de la valeur en équilibre avec la concentration dans
l'autre phase.
•Utilisons ce modèle de transfert de matière pour déterminer l'efficacité de
Murphree d'un étage.
•Le développement suivant suppose que les deux phases de l'étage
sont parfaitement agitées afin que le potentiel de transfert (xn-xn*) soit
constant dans l'étage.
•On appelle Vn (m3) le volume de l'étage, a, l'aire interfaciale d'échange
entre les deux phases (m2/m3).
•Traduisons en équation le fait qu'une certaine quantité de soluté a quitté
le raffinat pour passer dans l'extrait au travers de l'interface.
R  xn 1  xn   a Vn K R  xn  xn* 
  xn 1  xn  
K R a Vn
xn  xn*   NUTR  xn  xn* 

R
12.26
Distillation-Extraction
Chap 12 - 9
 xn1  xn   NUTR  xn  xn* 
12.26
12.3
EMR 
xn 1  xn
xn 1  xn*
EMR 
EMR 
xn 1  xn*
NUTR
NUTR

xn 1  xn* xn 1  xn  xn  xn*
xn  xn*
xn  xn*
NUTR
xn 1  xn
1
xn  xn*
NUTR
1  NUTR
EMR 
 EMR 
NUTR  xn  xn* 
 EMR 
NUTR
NUTR  1
NUTR 
K R a Vn
R
12.28
12.27
De même en raisonnant sur la phase extraite on trouve
EME 
NUTE
1  NUTE
NUTE 
12.30
12.29
EMR 
NUTR
1  NUTR
12.27
K E a Vn
E
NUTR 
K R a Vn
R
12.28
Les termes NUT, nombre d'unité de transfert, sont des nombres
adimensionnels associés à la facilité d'amener dans l'étage, les courants
à l'équilibre. Pour un étage théorique, NUT = .
Distillation-Extraction
Chap 12 - 10
12.4
Extracteurs à contact continu
Le concept d'étage (même réel) n'est pas pertinent. On préfère dans ce cas
utiliser les notions de nombre d'unité de transfert (NUT) et de hauteur
d'unité de transfert (HUT)
Bilan
•écoulement piston des phases (attention, souvent cette hypothèse n'est
pas acceptable à cause de la dispersion axiale)
•solutions immiscibles et diluées en soluté R=constante et E=constante
Bilan sur le raffinat entre z et z+dz
 d  xR   K R  x  x*  aSC dz

dx
 K aS
 R C
*
xx  R

 dz

SC : section de la colonne
x2
 
x1
H  K aS
dx
R
C


*

0
xx
 R


 K R aSC
 dz  

 R
H  HUTR NUTR
 R 
HUTR  

 K R aSC 

H

12.32
NUTR  
x1
x2
dx
x  x*
La relation 12.32 indique que la hauteur totale de la colonne est le
produit d'une HUT caractérisant la difficulté de faire le transfert de
matière par une NUT caractérisant la difficulté thermodynamique
de faire la séparation.
Distillation-Extraction
Chap 12 - 11
De même un bilan coté extrait aurait permis d'obtenir:

H  HUTE NUTE
 E 
HUTE  

 K E aSC 
12.33
NUTE  
y1
y2
dy
y y
*
Relation de Colburn
Dans le cas où la courbe d'équilibre est une droite,
et les solutions sont diluées, il est possible d'intégrer NUT:
Bilan entre le niveau 1 et une hauteur quelconque, z:

y* 
R  x1  x   R  x1    E  y1  y 
m

 y*  mx1  A  y  y1 
Bilan entre le niveau 2 et une hauteur quelconque, z:
R  x  x2   E  y  y2   E  mx*  y2 
NUTR  
x1
x2
Relation de Colburn:
 x*  A  x  x2  
y2
m
dx
x  x*
pour des solutions diluées
NUTR 


 mx  y 
1
Ln 1  A   1 2   A 12.35
1 A 
 mx2  y2 

NUTE 
 A  1   y2  mx1  1  12.36
A
Ln 
 

A  1  A   y1  mx1  A 
A
Distillation-Extraction
R
mE
Chap 12 - 12
12.5
Hauteur équivalente à un plateau théorique (HEPT)
Certains auteurs préfèrent utiliser le concept de hauteur équivalente à
un plateau théorique (HEPT) plutôt que les concepts des HUT et NUT.
HEPT est simplement reliée au nombre d'étages théoriques suivant la
relation:
HEPT 

H
NThéorique
H  HEPT  NThéorique
Cette approche, plus simple, est cependant moins phénoménologique que
l'approche des HUT-NUT.
Distillation-Extraction
Chap 12 - 13