Proportionnalité

Proportionnalité
I. Définitions
Définition
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque tous les nombres d’une ligne
s’obtiennent en multipliant ceux de l’autre ligne par un même nombre.
Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Exercice
Les tableaux suivant sont-ils des tableaux de proportionnalité ?
16 1,2 6
4 0,3 1,5
16 1, 2
6
=
=
=4
4 0,3 1, 5
×4
Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité.
4 est le coefficient de proportionnalité de la 2ème ligne vers la 1ère.
2 4 6
4 6 8
Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité.
Exercice
4 6
≠
2 4
Compléter le tableau de proportionnalité suivant.
÷2,8
60
11 25 85
14
168 30,8 70 238 39,2
×2,8
168
= 2,8
60
2,8 est le coefficient de proportionnalité de la 1ère ligne vers la 2ème.
11× 2,8 = 30,8
70 ÷ 2,8 = 25
85 × 2,8 = 238
39, 2 ÷ 2,8 = 14
Parfois le coefficient ne peut pas s’écrire sous forme décimale, on doit alors l’écrire sous forme
Remarque
fractionnaire
Exercice
Compléter le tableau de proportionnalité suivant.
×
3
7
3 12 6
7 28 14
×
7
3
7 12 × 7 4 × 3 × 7
= 28
=
=
3
3
3
3 14 × 3 2 × 7 × 3
14 × =
=
=6
7
7
7
12 ×
7
est le coefficient de proportionnalité de la 1ère ligne vers la 2ème.
3
3
est le coefficient de proportionnalité de la 2ème ligne vers la 1ère.
7
Définition
Deux grandeurs sont dites proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent
en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre.
Exemple
Nombre de croissants 1
2
5
10
Prix (en €)
0,75 1,5 3,75 7,5
×0,75
Le prix des croissants est proportionnel au nombre
de croissants.
Age d’Arthur 3 5
10 15
Taille (en cm) 80 102 133 165
La taille de Arthur n’est pas proportionnelle à son age.
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on peut écrire une formule du type
Propriété
Première grandeur = k × Deuxième grandeur
(où k est un nombre non nul)
Exemple
Périmètre du carré = 4 × Côté
Le périmètre d’un carré est donc proportionnel à la longueur de ses côtés.
II. Quatrième proportionnelle (produit en croix)
Dans un tableau de proportionnalité à quatre éléments, chaque nombre peut être calculé en fonction des trois
autres.
trois nombres donnés
a
c
b
x
On a x =
b×c
a
quatrième proportionnelle
Exemple
32 128
? 24
Dans ce tableau de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est 6 car
32 × 24
=6
128
Exercice
5 litres de peinture permettent de peindre une surface de16 m².
Quelle quantité peinture faut-il pour peindre un mur de 38 m² ?
La quantité de peinture est proportionnelle à la surface à peindre.
5 × 38
= 11,875
16
Quantité de peinture (en litre) 5 ?
Surface à peindre (en m²)
16 38
On a donc besoin de 11,875 litres de peinture pour peindre la pièce.
III. Mouvement uniforme
Définition
On dit qu’un mouvement est uniforme lorsque la distance parcourue est proportionnelle à la
durée du parcours.
Un mouvement uniforme est un mouvement à vitesse constante et cette vitesse est le coefficient
Remarque
de proportionnalité qui permet de passer du temps à la distance.
Temps
Distance
Distance = Vitesse × Temps
× Vitesse
Vitesse =
Distance
Temps
Temps =
Distance
Vitesse
Exemple
Un train parcourt 320 km en deux heures
S’il roule à vitesse constante, le mouvement est uniforme.
Temps (en h.)
2
1
5
7,5
Distance (en km) 360 180 900 1350
360 ÷ 2 = 180
5 × 180 = 900
1350 ÷ 180 = 7,5
×180
La vitesse du train est de180 km/h.
Il parcourt 900 km en 5 h.
Il met 7 h 30 min pour parcourir 1350 km.
(S’il ne roule pas à vitesse constante, le mouvement n’est pas uniforme et on ne peut pas faire de tels calculs.)
IV. Echelle
Définition
Lorsque les longueurs sur une reproduction sont proportionnelles aux longueurs réelles, on
appelle échelle le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des longueurs réelles aux longueurs sur
la reproduction.
Longueur réelle
Longueur sur la reproduction
× Echelle
échelle =
longueur sur la reproduction
longueur réelle
Echelle de réduction (inférieure à 1) :
1
Sur une carte à l’echelle
, les distances sont 100 000 fois plus petites qu’en réalité.
100000
1 cm sur la carte représente une distance de 100 000 cm soit 1 km.
Exemples
Echelle d’agrandissement (supérieure à 1) :
50
Sur un photographie à l’échelle 50 (ou
), les dimensions sont 50 fois plus grandes qu’en réalité.
1
50 mm sur la photographie représente une longueur réelle de 1 m.