1. La structure interne du soleil : un mod`ele simple

L’héliosismologie – l’étude sismique du soleil – a pris son envol au cours des années
1970, lorsque l’on s’est aperçu que les raies du spectre solaire étaient modulées à des
périodes de l’ordre de 5 minutes, et que cette modulation était due aux oscillations globales
du soleil. Ces oscillations sont de type sonore.
Le but de ce problème est d’établir, dans le cadre de modèles très simplifiés, la loi
de propagation de ces ondes sonores à l’intérieur d’un astre fluide et sphérique tel le soleil.
Dans toute la suite, on supposera que l’étoile possède la symétrie sphérique, et on négligera
sa rotation propre.
Grandeurs physiques
constante de gravitation
G
célérité de la lumière
c
constante du gaz parfait RGP
masse molaire de l’hydrogène mH
masse molaire de l’hélium mHe
= 6, 67 · 10−11
= 3, 00 · 108
=
8,31
=
1
=
4
kg−1 .m3 .s−2
m.s−1
J.K−1 .mol−1
g.mol−1
g.mol−1
Grandeurs astrophysiques
masse du Soleil M⋆ = 2, 0 · 1030 kg
rayon du Soleil R⋆ = 7, 0 · 105 km
corps noir solaire T⋆ =
5777 K
1. La structure interne du soleil : un modèle simple
1.1.
Ordres de grandeur
1.1.1. Estimer, par analyse dimensionnelle, l’ordre de grandeur de la pression Pc au centre
d’un astre de masse M et rayon R soumis à sa propre gravité.
A.N. Calculer Pc dans le cas du soleil
On admettra que l’étoile n’est composée que d’hydrogène atomique et d’hélium, et que la
concentration en hélium est uniforme dans toute l’étoile. Les mesures comme les modèles
donnent la fraction massique d’hélium Y .
1.1.2. Définir la fraction massique d’hydrogène. Déterminer la masse molaire µ du
mélange, en fonction de Y ainsi que des masses molaires mH et mHe .
A.N. Que vaut µ pour Y = 0.28 (cas du soleil) ?
Le théorème du viriel relie l’énergie interne U de l’objet à son énergie potentielle
d’interaction Ω : U + 2Ω = 0. On suppose l’objet, de masse M , constitué d’un gaz parfait
monoatomique de masse molaire µ. On suppose, dans cette question seulement, que la
température T du gaz est uniforme.
1.1.3. Ecrire l’expression de l’énergie interne du gaz stellaire en fonction des données. Rappeler, à l’aide d’une simple analyse dimensionnelle, l’énergie potentielle d’interaction
d’un corps autogravitant de masse M et rayon R.
En déduire l’ordre de grandeur de la température du gaz, que l’on assimilera à la
température au centre de l’objet, ainsi qu’un ordre de grandeur de la masse volumique
centrale, en supposant toujours que le milieu est un gaz parfait de masse molaire µ.
1.2.
Le champ gravitationnel
On note p0 (r) et ρ0 (r) les pression et masse volumique à l’équilibre au niveau repéré
par la variable radiale r. On suppose que la rotation est négligeable, et donc que la structure
interne possède la symétrie sphérique. On note R le rayon stellaire, M la masse totale.
1.2.1. On s’intéresse au champ de gravitation G au sein de l’astre. Donner son expression
au niveau r, en fonction de la masse m(r) de la sphère de rayon r.
1.2.2. Montrer que, dans le cas du soleil, dont la période de rotation moyenne est de l’ordre
de 27 jours, négliger la rotation est tout à fait licite.
Pour toute la suite, on suppose que le champ gravitationnel G est uniforme dans toute
la planète. Et l’on s’intéresse dans un premier temps à la pertinence a priori de cette
hypothèse.
1.2.3. Si la masse volumique ρ0 (r) correspond à une fonction monomiale du rayon ρ ∝ r α ,
quelle devrait être la valeur de α pour que soit vérifiée l’hypothèse concernant G ?
Le signe de α est-il convenable ? La relation ρ0 (r) est-elle plausible dans les régions
externes de l’astre ? Internes ?
1.3.
Equilibre hydrostatique
Le champ gravitationnel étant supposé uniforme, de module G0 , on suppose de plus
que la structure interne de l’astre est adiabatique, l’indice adiabatique γ étant uniforme
partout dans l’astre : p0 ∝ ργ0 = Bργ0 . Pour simplifier les calculs, on notera la constante de
proportionalité B = G0 (γ − 1)/γA, A étant une autre constante. On définit la profondeur
z dans l’astre : z = R − r.
1.3.1. Vu les conditions de pression et température, le coefficient γ s’écarte de la valeur
pour un gaz monoatomique dans les conditions usuelles de pression et température.
Pour quelle raison physique peut-on exclure de l’étude le cas γ = 1 ? Pour les
applications numériques, on prendra γ = 1, 8.
1.3.2. Exprimer G0 en fonction de G, M et R. Faire l’application numérique.
1.3.3. Rappeler l’équation exprimant l’équilibre hydrostatique de l’astre. En déduire les
relations p0 (z) et ρ0 (z). Représenter l’allure des graphes p0 (z) et ρ0 (z).
1.3.4. Rappeler l’expression de la vitesse de propagation d’une onde sonore au sein d’un
milieu obéissant à l’équation d’état du gaz parfait localement à la température T0 .
L’exprimer en fonction de γ, p0 et ρ0 , et montrer qu’elle dépend de la profondeur z
selon la relation :
c2 = (γ − 1) G0 z
Tracer c2 (z) et justifier l’augmentation de la vitesse du son avec la profondeur.
1.3.5. Le soleil rayonne comme un corps noir à la température T⋆ = 5777 K. Le modèle
décrivant c2 reste-t-il valable pour les petites valeurs de z ?
–2–
1.4.
Echelles de hauteur
On définit l’échelle de hauteur HX de la grandeur X0 comme :
HX =
1 dX0
X0 dz
−1
1.4.1. Déterminer la dimension de HX et interpréter sa signification.
1.4.2. Déterminer Hp et Hc , en fonction de la variable z.
2. Etude des oscillations dans les couches périphériques
Dans les couches périphériques de l’étoile, on modélise l’atmosphère stellaire comme étant
plan parallèle. On repère une couche par sa profondeur z = R−r. On s’intéresse aux petites
perturbations des champs de pression et masse volumique p0 (z) et ρ0 (z). Par souci de
généralité, on mènera les calculs avec les fonctions p0 et ρ0 , ainsi qu’avec leurs dérivées Hp
et Hρ , et non avec leurs expressions analytiques fonctions de z établies précédemment. On
se servira de ces expressions uniquement dans des cas particuliers explicitement spécifiés.
On développe les champs de vitesse verticale, pression et masse volumique, en
supposant que le champ de vitesse perturbé est lui aussi purement vertical, et donc que
les termes perturbés ne dépendent que des variables t et z :

v
p

ρ
2.1.
= 0
= p0
= ρ0
+ v1
+ p1
+ v1
Evolution des champs
2.1.1. On considère l’accélération convective (v.grad)v négligeable devant l’accélération
locale ∂v/∂t. Ecrire l’équation décrivant l’évolution temporelle du champ de vitesse,
une particule fluide étant soumise aux seules forces de gravité et de pression.
∂ρ1
∂(ρ0 v1 )
2.1.2. Que traduit l’équation
=−
?
∂t
∂z
2.1.3. A quelle condition une bulle de fluide obéit-elle à l’équation :
1 dp1
1 dρ1
= γ
p0 dt
ρ0 dt
Montrer que cette relation peut se réécrire :
∂p1
∂v1
= −γp0
− g0 ρ0 v1
∂t
∂z
Pour toute la suite, on laisse tomber les indices 1.
–3–
2.2.
Déduire des relations précédentes l’équation décrivant la propagation du champ de vitesse
v:
2
∂ 2v
c2 ∂v
2∂ v
−
−c
=0
∂t2
Hp ∂z
∂z 2
Pour approcher une description en onde plane, on substitue à la vitesse v la variable η telle
que v(z, t) = f (z)η(z, t).
2.2.1. Calculer ∂v/∂z et ∂ 2 v/∂z 2 en fonction des dérivées de f et η.
2.2.2. Montrer que la fonction f qui permet d’annuler le terme de dérivée première ∂v/∂z
−1/2
peut s’identifier à la fonction p0 .
2.3.
On pose η = A exp j(ωt − k.r).
2.3.1. Quelle équation de dispersion relie les pulsation ω et nombre d’onde k ?
2.3.2. Identifier une pulsation critique ωc , qui s’exprime en fonction de γ, c, Hp et dHp / dz.
2.3.3. Au voisinage du niveau zc , l’atmosphère stellaire est localement isotherme, la
température présentant un minimum T⋆ . Estimer alors Hp en fonction de RGP ,
T⋆ , µ et G0 ; montrer que dHp / dz est nul. En déduire que l’étoile constitue une
cavité qui piège les ondes de pulsation inférieure à ωlim telle que :
2
ωlim
=
γµG20
γ G0
=
4RGP T⋆
4 Hp⋆
Faire l’application numérique. Quelle est la période minimale des ondes piégées dans
la cavité ?
2.3.4. Pour les niveaux plus profonds, le modèle décrit dans la première
√ partie est valable.
Montrer qu’alors la pulsation de coupure varie comme 1/ z. Comparer à R la
2
profondeur pour laquelle ωc2 = ωlim
/20. Conclure, et représenter l’allure de la
2
fonction ωc (z).
2.4.
Les régions visibles de l’atmosphère stellaire étant au voisinage de z = Hp⋆ , le comportement
de v(z) est-il favorable à la détection du signal perturbé ? Quel effet physique permet de
percevoir le champ v ? Quelle type de mesure permettrait d’y avoir accès ?
3. Etude des oscillations dans les couches internes
Dans les couches internes de l’étoile, il n’est plus possible de négliger la structure sphérique.
Dans le cadre de la théorie des rayons, on suppose que l’onde est localement plane, et que
sa propagation peut être entièrement décrite par le vecteur d’onde k. On distingue les
composantes radiale kv et horizontale kh . On admet que l’équation de dispersion obtenue
au paragraphe précédent reste valable, avec k 2 représentant dès lors le module carré de k.
On rappelle que l’on peut négliger, dans les couches internes, le terme ωc2 dans l’équation
de dispersion.
–4–
3.1.
Réfraction des modes
3.1.1. Rappeler l’expression des lois de la réfraction. Montrer qu’elles impliquent, dans le
cadre du modèle plan parallèle la conservation de la composante horizontale kh du
vecteur d’onde.
La configuration sphérique impose la conservation non de kh , mais du produit rkh :
kh ∝
ℓ
r
où ℓ est une constante.
3.1.2. Montrer que ceci implique, sauf dans le cas où ℓ est nul, l’existence d’un niveau
rc limite en dessous duquel l’onde ne se propage plus verticalement. Quelle est la
direction de k à ce niveau ?
3.1.3. En déduire que les conditions de résonance imposent à ℓ d’être un entier•
3.1.4. Quelle est la particularité des modes associé à ℓ = 0 ?
3.1.5. Représenter schématiquement, sur un même graphe, d’abscisse r, les carrés des
2
pulsations ωc2 et Sℓ2 = ℓc/r , pour ℓ = 1, 10, 100. En déduire la région où peut se
propager un mode de pulsation ω < ωlim
3.2.
Tracé des rayons
3.2.1. Montrer que, sauf pour les modes caractérisés par un degré très élevé, il était justifié
de supposer, comme dans la 2ème partie, la propagation du mode verticale dans les
couches supérieures de l’étoile.
3.2.2. Représenter sur un schéma en coupe de l’intérieur stellaire, l’allure des rayons
associés à des modes de pulsation identique, mais de degré 0, 3, 100.
3.2.3. D’après l’étude précédente, quelles ondes vont-elles fournir des informations sur la
structure du centre de l’astre. Lesquelles seront surtout sensibles aux propriétés des
couches périphériques ?
3.3.
Oscillations radiales.
On définit la fréquence caractéristique des oscillations de l’astre par :
ν0 =
2
Z
R
0
dr
c
!−1
3.3.1. D’après la définition de cette fréquence, quel phénomène physique a pour durée la
période T0 = ν0−1 ?
3.3.2. Le profil de vitesse du son étant celui trouvé à la première partie, montrer que
la valeur de ν0 est fortement dominée par les couches périphériques de l’astre.
Déterminer ν0 en fonction de γ, G, M et R.
Ici,
p la théorie des rayons diverge de l’approche complète, qui décrit la constante
comme ℓ(ℓ + 1). Cette simplification ne change pas grand chose à la philosophie du
problème
•
–5–
On note νn,ℓ la fréquence propre du mode d’oscillation présentant n nœuds d’oscillations
radiales et associé au nombre ℓ.
3.3.3. Montrer que, nécessairement, le centre du soleil correspond à un nœud d’oscillation.
Exprimer la condition de résonance en fonction de n + α, α représentant un
déphasage lors de la réflexion de l’onde dans la haute atmosphère, que le présent
modèle ne permet pas de déterminer. Montrer que les modes d’oscillations radiales
ont pour fréquence :
νn,0 = (n + α) ν0
A.N. Calculer ν0 pour le soleil. Les modes excités du soleil ont des périodes voisines de 5
minutes. Quel est l’ordre radial moyen des modes radiaux ?
–6–