Chapitre 9 : Réseaux complexes
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Chapitre 9 : Réseaux complexes
Chapitre 9 : Réseaux complexes Motivation • La modélisation utilise la plupart du temps des réseaux réguliers. Pourquoi ne pas considérer des structures complexes ? • Qu’est-ce qu’un réseau complexe ? aléatoire ? • Différents types de réseaux, modèles... Réseaux réguliers • Réseaux Archimédiens : 11 réseaux composés de polygones réguliers • Hexagonal, Carré, Triangulaire, Kagomé. • Coordination : nombre de voisins k • Dimension : N (`) ⇡ `d ` • Arbre de Cayley : nombre de voisins fixé N (`) ⇠ exp(`) d!1 k=5 Percolation L P L P ⇥ (p pc ) p 0 1 pc réseau d k pc xc nid d’abeille 2 3 0,6962 0,6527 carré 2 4 0,5927 1/2 triangulaire 2 6 1/2 0,3473 cubique 3 6 0,3116 0,2488 hypercubique 4 8 0,197 0,1601 p • Loi pour le seuil de percolation ? seulement des conjectures pc (k, d) • Seuils de percolation sur un arbre de Cayley : structure hiérarchique pc = 1 k 1 Réseaux aléatoires • Théorie des graphes : Euler • Modèle aléatoire (Erdös-Rényi, 1959) : connections aléatoires N (N 1)/2 liens addition successive de liens avec probabilité p p = 0.1 • Degré d’un noeud : variables ki p = 0.2 • Distribution binomiale des degrés k P (ki = k) = CN k p (1 1 hki = pN hki P (k) ⇡ exp [ hki] k! • Un seul réseau lorsque : N p > 1 • Transition entre entités isolées et entités connectées : ln N pc = N (seuil de connexité) p)N 1 k • Modèle «Small World» (Watts-Strogatz, 1998) : construction d’un réseau régulier processus de reconnection avec probabilité p • Distance moyenne entre deux noeuds ` ⇠ ln N • Modèle «Scale Free» (Barabasi-Albert, 1999) : croissance d’un réseau ki attachement préférentiel avec probabilité p(ki ) = P i ki 1/10 1/12 2/10 1/10 ? 2/12 1/12 1/10 3/10 ? 1/12 4/12 1/10 1/10 1/12 1/12 1/12 5 ⇥ 1 + 1 ⇥ 2 + 1 ⇥ 3 = 10 6 ⇥ 1 + 1 ⇥ 2 + 1 ⇥ 4 = 12 formation de «hubs» pas de noeud caractéristique ! 0 10 0 10 A -2 10 -2 P(k) 10 P(k) • Distribution des degrés : P (k) ⇠ k -4 10 -6 10 -4 10 -6 10 10 -8 0 10 1 10 2 k 10 3 10 0 2 [2, 3] FIG. 2. (A) The power-law connectivit obtained from the model (see text), using m The exponential connectivity distribution f (!), m0 = m = 5 (") and m0 = m = 7 Exemples de réseaux aléatoires • Structure d’internet : noeuds = servers • Réseau de collaborations scientifiques : noeuds = chercheurs • Interactions entre protéines : noeuds = protéines Percolation sur réseaux aléatoires exponentiel sans échelle hki = pN hki =? 1 pc = hki 1 pc ! 0 un réseau invariant d’échelle ne peut se débarrasser d’un virus !