Pyramide et cône de révolution

CHAPITRE
Pyramide et cône
de révolution
Énigme du chapitre.
On dispose des boules en forme de tétraèdre
comme dans l’image ci-dessus. Pour faire une
pyramide à un étage, on a besoin d’une boule,
de deux étages, de boules et de trois étages,
de
boules.
Combien de boules sont nécessaire pour réaliser
un tétraèdre de
étages ?
10
3
100
13
Objectifs du chapitre.
— Réaliser le patron d’une pyramide de
dimensions donnés
— Calculer le volume d’une pyramide et
d’un cône de révolution à partir de la
1 Bh.
formule V
3
=
I/ Pyramide
Activité A. Reconnaître des solides
On a représenté, ci-dessous, des solides en perspective cavalière.
1. Quels sont les solides qui ont déjà été étudiés ? Les décrire de façon précise.
1 4 7 et 10 sont des pyramides. Quels sont leurs caractères communs ?
2. Les solides , ,
3. Donner des exemples de tous les jours concernant les pyramides ? Quelle est la nature de
sa base ? De ses faces latérales ?
3 6
4. Les solides et sont des cônes. Donner des exemples de solides ayant la forme de cônes
dans la vie courante.
Activité B. Construire un patron d’une pyramide
Oscar a construit le patron d’une pyramide :
1. Construire en vraie grandeur le patron obtenu sur la photo de droite.
2. Découper le patron et l’assembler pour obtenir une pyramide.
3. On considère ABCDE une pyramide dont la base est le carré
cm, BC
cm et AB ? BC .
=3
( ) ( )
BCDE telle que AB
=4
A
4 cm
E
B
D
C
3 cm
Construire le patron de cette pyramide.
Définition
Une pyramide est un solide dont :
— une face est un polygone appelée la base de la pyramide ;
— les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun,
appelé le sommet de la pyramide.
La hauteur d’une pyramide est le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base. Une
arête latérale est un segment joignant les sommets de la base au sommet de la pyramide.
Exemple
SABCDE de sommet S en perspective cavalière.
Le sommet de cette pyramide est le point S .
La base de cette pyramide est le pentagone ABCDE .
Les faces latérales sont les triangles SAB , SBC , SCD, SDE , SEA.
Les arrêtes latérales sont les segments [AS ], [BS ], [CS ], [DS ] et [ES ].
La hauteur de la pyramide est le segment [OS ].
On trace la pyramide
1.
2.
3.
4.
5.
Définition
Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier (par exemple un
triangle équilatéral ou un carré) et dont les faces latérales sont des triangles isocèles superposables.
Remarques
— Une pyramide régulière à base triangulaire s’appelle un tétraèdre. C’est un solide dont les
quatre faces sont des triangles équilatéraux superposables.
— La hauteur d’une pyramide régulière passe par le centre de la base qui est le point de
concours des diagonales.
Méthode
On veut tracer une pyramide régulière à base carrée de côté cm et de hauteur cm en perspective
cavalière.
2
2
3
— On trace un carré de cm de côté en perspective cavalière, c’est-à-dire un parallélogramme
dont le côté vu de face mesure cm puis les diagonales pour trouver le centre de la base.
— On trace ensuite la hauteur qui est un segment de cm puis les arrêtes latérales.
2
3
Méthode
On veut tracer le patron d’une pyramide dont la base est un rectangle de longueur
largeur cm et dont chaque arête latérale mesure cm.
6
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
7
9 cm et de
II/ Cône de révolution
Activité C. Un solide de révolution
On fait tourner un triangle rectangle autour d’une droite :
On note O le centre du cercle C obtenu par rotation du triangle rectangle autour de la droite, A
appartenant au cercle C et B le sommet du solide obtenu.
Un peu de vocabulaire :
— Le solide obtenu est un cône de révolution
— La droite OB est l’axe du cône de révolution.
— La longueur OB est la hauteur du cône de révolution.
— Le disque de centre O passant par A, situé dans un plan perpendiculaire à la droite OC ,
est la base du cône de révolution.
— Le point B est le sommet du cône et la longueur OA est le rayon du cône.
— Le segment BA est une génératrice du cône.
( )
( )
[ ]
1. Le solide obtenu est un cône de révolution. D’après vous, pourquoi dit-on « de révolution » ?
2. On note
OB = 7 cm et OA = 4 cm.
(a) Quelle est la hauteur du cône représenté ci-dessus ? Quel est son rayon ?
(b) Calculer la longueur d’une génératrice du cône. Arrondir au mm.
3. Si le triangle OAB décrit précédemment tourne autour de la droite
autre cône de révolution.
Représenter en perspective cavalière le cône de révolution obtenu.
(OA), on obtient un
Déterminer le sommet, l’axe, la hauteur, le rayon et la longueur d’une génératrice de ce
cône.
4. Existe-t-il d’autres solides de révolution ? Si oui, par quelle figure faut-il remplacer le triangle OAB pour l’obtenir ?
Définition
Un cône de révolution est un solide qui est généré par un triangle rectangle en rotation autour
d’un de ses côtés de son angle droit.
La base du cône de révolution est un disque.
La hauteur (ou axe) du cône de révolution est le segment qui joint le centre de ce disque au
sommet du cône ; il est perpendicualire au disque de base.
Remarque
La surface latérale d’un côné, appelée aussi développement, est générée par l’hypoténuse du
triangle rectangle. Elle a la forme d’un secteur de disque.
Exemple
—
—
—
—
On trace le cône de révolution en perspective.
Le sommet du cône est le point S .
La base du cône est le disque de centre O : on la représente en perspective par un ovale
(ou ellipse) car elle n’est pas vue de face.
La hauteur du cône est le segment OS .
Le triangle AOS , rectangle en O, génère le cône en tournant autour de OS .
[ ]
( )
Méthode
On veut tracer le patron d’un cône
SOA de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm.
Faire les exercices 6 7 8 9 F 10 F
III/ Volume
Activité D. Volume d’une pyramide et d’un cône
1. Volume d’une pyramide
(a) Réaliser, sur une feuille de papier A4, un patron de la pyramide AEF GH représentée
ci-dessus en perspective cavalière, sachant que ABCDEF GH est un cube d’arrête
cm.
8
(b) Vérifier qu’en assemblant trois pyramides, on peut obtenir un cube d’arrête
est alors le volume d’une des trois pyramides ?
8 cm. Quel
(c) Quelle relation peux-tu écrire entre le volume d’une pyramide, l’aire de sa base et sa
hauteur ?
2. Volume d’un cône
On admet que, pour calculer le volume d’un cône, on applique la même formule que pour
une pyramide, à savoir :
aire de la base hauteur
3
:
3
Calculer le volume d’un cône dont la base a pour rayon cm et dont la hauteur mesure
cm. Donner la valeur exacte en fonction de pujis l’arrondir au mm3.
10
Propriété
Le volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution est égal au tiers du produit de l’aire de sa
base par sa hauteur.
hauteur :
V = 31 aire de la base hauteur = aire de la base
3
Exemple
— On calcule le volume d’une pyramide à base carrée de côté
4 cm et de hauteur 6 cm.
= 4 = 16
=
=
= 32
= 3 =9
=
=
47 1
2
— Abase
cm2.
1
— V
Abase h 13 cm3.
3
— D’où V
cm3.
— On calcule le volume d’un cône de révolution de rayon de base
— Abase 2
cm2.
1
— V
Abase h 13 cm3.
3
— D’où V ; cm3.
16 6 = 32
9
5 = 15
Faire les exercices 11 12 13 14 F 15 F
Problèmes :
Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F 21 F 22 F
3 cm et de hauteur 5 cm.