CC1 correction 2010-2011

Université Paris Ouest Nanterre La Défense
UFR SEGMI
Année universitaire 2010-2011
L2 Economie-Gestion
Microéconomie B
Interrogation du Mercredi 24 Novembre 2010
Durée : 1h30
Aucun document n’est autorisé et les calculatrices sont interdites.
La qualité de l’expression, la clarté et la précision du propos, la rigueur de l’argumentation seront
prises en compte dans la notation.
Exercice 1 : (11 points)
Soit une entreprise qui produit un bien au moyen de deux facteurs de production : le capital et
le travail.
Sa contrainte technologique est décrite par la fonction de production suivante :
q = f ( K , L) = K 1 / 2 + L
Où q est la quantité produite du bien.
1) Que signifie l’expression « rendements d’échelle » ? Dans le cas de la fonction de
production de l’exercice, quelle est leur nature ? (2 points)
2) Définissez économiquement et mathématiquement les notions de productivité
moyenne et de productivité marginale pour chacun des facteurs de production. (1.5 point)
3) Définissez les notions de contrainte technologique et d’ensemble de production.
(1 point)
4) On suppose, maintenant, que les coûts unitaires du facteur travail (noté w) et du
facteur capital (noté r) sont donnés et égaux à 2 unités.
a. Quelle est l'équation qui définit l'isoquante ? Que représente-t-elle
économiquement? Tracez les isoquantes pour q = 1 et pour q = 2 en tenant
compte de la condition suivante : L < q . (2 points)
b. Calculer le TMSTK →L . Que remarquez-vous ? (1 point)
c. Quelle est l'équation qui définit l'isocoût ? Que représente-t-elle économiquement?
(1 point)
d. En déduire la condition de minimisation du coût de production pour une solution
intérieure. (1 point)
e. Définissez le sentier d’expansion et déterminez son équation pour les solutions
intérieures. (0.75 point)
f. Définissez économiquement les fonctions de coût total, de coût moyen et de coût
marginal. (0.75 point)
Exercice 2: L'arbitrage travail-loisir (9 points)
Soit le programme du consommateur :
 Max U(l, C) = α C l

 s / c wl + pC ≤ wH + R
1) Interprétez les deux équations en donnant préalablement une définition de tous les
symboles qui y apparaissent. Donnez ensuite la signification économique et
mathématique de la formule « arbitrage travail-loisir ». (1,5 point)
2) Résolvez le programme du consommateur. Fournissez une représentation graphique.
(1 point)
3) Étudiez, séparément, les effets d'une variation positive de p, w et R sur la demande de
loisir et sur la demande de consommation. (2 points)
Posons w=p=1, H=2, R=2 et α=1/2.
4) Calculer la demande de loisir, la demande de consommation et l'utilité du
consommateur. (1 point)
Le salaire augmente de 50% alors que le revenu non salarial baisse de 50%.
5) Donnez les nouvelles valeurs de la demande de loisir et de la demande de
consommation. Les individus ont-ils augmenté leur utilité ? Fournissez une
représentation graphique. (1.5 point)
6) Déterminer l'expression de l'utilité indirecte. De combien doit s'élever le revenu non
salarial pour que les individus retrouvent leur niveau d'utilité précédent ? Fournissez une
représentation graphique. (2 points)
On vous donne les racines du polynôme x 2 + 6 x − 15 , qui valent x1 0,9 et x2 −7,9 .
Corrigé de l’exercice 1 : (11 pts)
Soit une entreprise qui produit un bien au moyen de deux facteurs de production : le
capital et le travail.
Sa contrainte technologique est décrite par la fonction de production suivante :
q = f ( K , L) = K 1 / 2 + L
Où q est la quantité produite du bien.
1) Que signifie l’expression « rendements d’échelle » ? Dans le cas de la fonction de
production de l’exercice, quelle est leur nature ? (2 points)
1) Calcul des rendements d’échelle par le degré d’homogénéité.
f (λK , λL) = (λK )1 / 2 + λL = λ1 / 2 K 1 / 2 + λL ≠ λα f ( K , L)
La fonction n’est pas homogène (1pt)
Cette méthode n’est pas applicable
Les rendements d’échelle sont croissants ssi :
f (λ K , λ L ) > λ f ( K , L )
f (λ K , λ L ) − λ f ( K , L ) > 0
λ1 / 2 K 1 / 2 + λL − λK 1 / 2 − λL > 0
λ1 / 2 K 1 / 2 − λK 1 / 2 > 0
(λ1 / 2 − λ ) K 1 / 2 > 0
Comme K 1 / 2 > 0 on a alors :
(λ1 / 2 − λ ) > 0
λ1 / 2 > λ
1 > λ1 / 2
1> λ
Or ceci est faux et donc par conséquent les rendements d’échelle ne sont pas croissants mais
décroissants. (1 pt)
2) Définissez économiquement et mathématiquement les notions de productivité
moyenne et de productivité marginale pour chacun des facteurs de production. (1.5
point)
* Economiquement :
- La productivité moyenne exprime la production par unité de facteur employée (0.25)
- La productivité marginale exprime le supplément de production associé à l’emploi d’une
unité supplémentaire du facteur employé (0.25)
* Mathématiquement :
PT ( L) K 1 / 2
=
+ 1 (0.25)
L
L
∂PT ( L)
- La productivité marginale du travail: Pm ( L) =
= 1 (0.25)
∂L
PT ( L)
L
- La productivité moyenne du capital : PM ( K ) =
(0.25)
= K −1 / 2 +
K
K
∂PT ( K ) 1 −1 / 2
- La productivité marginale du capital : Pm ( K ) =
(0.25)
= K
2
∂K
- La productivité moyenne du travail: PM ( L) =
3
Définissez les notions de contrainte technologique et d’ensemble de production.
(1 point)
- La contrainte technologique décrit la relation entre les quantités utilisées de facteur de
production et la quantité maximale de production qui peut être obtenue (équivalent avec : la
relation entre les quantités utilisées minimales de facteurs de production et la quantité de
production obtenue). (0.5)
- L’ensemble de production décrit toutes les combinaisons possibles de quantités de facteur de
production et de production : parmi l’ensemble de production la contrainte technologique
décrit les meilleures combinaisons au sens où elle donne la production la plus importante pour
une même quantité de facteur. (0.5)
4) On suppose, maintenant, que les coûts unitaires du facteur travail (noté w) et du facteur
capital (noté r) sont donnés et égaux à 2 unités.
a.
Quelle est l'équation qui définit l'isoquante ? Que représente-t-elle
économiquement? Tracez les isoquantes pour q = 1 et pour q = 2 en tenant compte de la
condition suivante : L < q . (2 points)
r =c=2
a. * Economiquement : L’isoquante décrit l’ensemble des combinaisons de facteurs de
production donnant lieu au même niveau de production. (0.5)
_
* Mathématiquement : l’équation de l’isoquante est obtenue en imposant q = q
_
K 1/ 2 + L = q
_
K 1 / 2 = q− L
_
K = (q − L) 2
_
−
K = q 2 − 2 q L + L2 : équation de l’isoquante. (0.5)
* Représentation graphique de l’isoquante:
Ce sont des paraboles dans le plan (L,K), qui passent par un minimum au point (L,K) = (q,0).
Il ne faut évidemment les considérer que pour L compris entre 0 et q (K variant alors de q 2 à
0) puisque L > q impliquerait K < 0 , et donc éliminer les branches croissantes des paraboles.
Lorsque q augmente, les isoquantes se déduisent les unes des autres par translation latérale
vers la droite, parallèlement à elles mêmes, à cause de la constance de la productivité
marginale du travail : (0.5)
K
A
L
(0.5)
b. Calculer le TMSTK →L . Que remarquez-vous ? (1 point)
* Calcul du TMSTK, L
On a : Pm ( L) = 1 et Pm ( K ) =
1 −1 / 2
K
2
le TMSTK → L = 2 K ne dépend pas de L. (1 pt)
c.
Quelle est l'équation
économiquement? (1 point)
qui
définit
l'isocoût
?
Que
représente-t-elle
* Economiquement : On appelle droite d’isocoût, l’ensemble des combinaisons de facteurs
correspondant à un certain niveau de coût de production. (0.5)
* Mathématiquement :
_
CT = CT
_
wL + rK = CT
_
rK = CT − wL
_
CT w
K=
− L
r
r
_
CT
Application numérique : K =
− L Equation de la droite d’isocoût (0.5)
2
d. En déduire la condition de minimisation du coût de production pour une solution
intérieure. (1 point)
L’équilibre du producteur vérifie l’égalité des pentes de l’isoquante et de la droite d’isocoût
(en le point de tangence de deux courbes, leurs pentes sont égales). (0.5)
Sachant que la pente de l’isoquante est le TMSTK,L (égale au rapport des productivité
marginales) et que la pente de l’isocoût est le rapport des prix des facteurs, la condition
d’équilibre est :
w
TMSTK, L = −
r
Pm( L)
w
=−
Pm( K )
r
Pm( L) w
= (0.5)
Pm( K ) r
e. Définissez le sentier d’expansion et déterminez son équation pour les solutions
intérieures. (0.75 point)
Le sentier d’expansion décrit l’ensemble des combinaisons optimales de facteurs de
production quelque soit le niveau de la production. (0.5)
Pour déterminer son expression, utilisons la condition d’optimalité :
w
TMSTK, L = −
r
1
K 1/ 2 =
2
1
K = équation du sentier d’expansion (0.25)
4
f. Définissez économiquement les fonctions de coût total, de coût moyen et de coût
marginal. (0.75 point)
* Economiquement :
- La fonction de coût total exprime le coût minimum de la production selon le niveau de la
production (0.25)
- La fonction de coût moyen exprime le coût par unité produite (0.25)
- La fonction de coût marginal exprime le coût marginal exprime le supplément de coût
associé à la réalisation d.une quantité supplémentaire de production (0.25)
Corrigé de l’exercice 2 : (9 points)
1) Interprétez les deux équations en donnant préalablement une définition de tous les
composants. Donnez ensuite la signification économique et mathématique de la
formule « arbitrage travail-loisir ». (1,5 points)
U : Utilité (préférence des individus) ; l : Loisir ; C : Consommation ; α : paramètre ;
w : taux de salaire nominal ; p : Prix unitaire de la consommation ; H : Temps total disponible
à répartir entre travail et loisir ; R : Revenus non salariaux. (0,25 pt)
La première équation représente la fonction d'utilité du consommateur. Celle-ci est
croissante du loisir et de la consommation. Plus les individus augmente leurs temps de travail
et leur consommation, plus leur utilité augmente. (0,25 pt)
La seconde équation est la contrainte budgétaire du consommateur. Il doit gagner plus
que ce qu'il ne dépense. Ainsi l'individu vend tous sont temps disponible et, avec ses revenus
non salariaux, il rachète son temps de loisir et consomme. On peut alors assimiler w au coût
d'opportunité de du loisir (le prix du loisir). (0,25 pt +0,25 pt pour le coût d'opportunité)
Économiquement, l'arbitrage travail-loisir est le choix optimal qu'effectue l'individu
rationnel entre temps de loisir et temps de travail rémunéré permettant de consommer. Il
maximise son utilité sous une contrainte budgétaire. Il ne peut pas travailler plus que le temps
total (H) et dépenser plus que ce qu'il ne gagne. (0,25 pt)
Mathématiquement la maximisation consiste à rechercher, pour une contrainte
budgétaire donnée, le niveau d'utilité maximal. Ainsi l'opération de maximisation permet de
trouver le point de tangence entre la fonction d'utilité et la contrainte budgétaire. (0,25 pt)
2) Résolvez le programme du consommateur. Fournissez une représentation graphique.
(1 pt)
w

TMS (C , l ) =
p

wl + pC = wH + R

Le taux marginal de substitution est égale au rapport des prix et la contrainte budgétaire (CB)
est saturée (0,25 pts). D'où,
C w
=
(1)
(0,25 pt)
l
p
(1) et (CB) :
‫ ݈ݓ‬൅ ‫݌‬ሺ݈‫ ݓ‬െ ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܪݓ‬൅ ܴ
Donc :
l=
C=
wH + R
(demande de loisir ; (0,25 pt)
2w
wH + R
(demande de consommation ; (0,25 pt)
2p
Graphique (0,25 pt):
Il faut évidemment faire apparaître :
− la CB avec les points remarquables : [(wH+R)/l ; 0] et [0 ; H + R/w].
− H et la zone d'impossibilité (on ne peut pas travailler plus de H !).
− La courbe d'utilité tangente à la CB.
− Et enfin l* et C*.
3) Étudiez, séparément, les effets d'une variation positive de p, w et R sur la demande de
loisir et sur la demande de consommation. (2 pts)
Il suffit de faire les dérivés partielles de l* et C* par rapport à w, p et R et d'enduite
regarder quel est en est le signe de chacune d'elles :
•
Salaire (w) :
Pour l :
dl / dw=
−R
2w
Lorsque le salaire croit, la demande de loisir baisse (coût d'opportunité).
Pour C :
dC / dw=
H
2p
Lorsque le salaire croit, la demande de consommation augmente.
•
Prix (p) :
Pour l :
dl / dp= 0
Lorsque le prix de la consommation augmente, la demande de loisir est constante.
Pour C :
Lorsque le prix de la consommation augmente, la demande de consommation baisse.
•
Revenus non salariaux (R) :
Pour l :
dl / dR=
1
2w
Lorsque les revenus non salariaux augmentent, la demande de loisir croit.
Pour C :
dC / dR=
1
2p
Lorsque les revenus non salariaux augmentent, la demande de consommation croit.
(0,25 pt par dérivée réussie et 0,5 pt de bonus si tout est bon)
4) Calculez la demande de loisir, la demande de consommation et l'utilité du
consommateur. (1 pt)
La demande de loisir (0,25 pt):
l=
wH + R
2w
l=
1* 2 + 2
2 *1
l= 2
La demande de consommation (0,25 pt):
wH + R
C=
2p
C=
1* 2 + 2
2 *1
C= 2
L'utilité du consommateur (0,5 pt):
1
U (l , C ) = ( * 2 * 2 )
2
U (l , C ) = 2
U (l , C ) = αCl
5) Donnez les nouvelles valeurs de demande de loisir et de demande de consommation.
Les individus ont-ils augmenté leur utilité ? Représentez graphiquement cette
évolution. (1,5 pt)
Les nouvelles valeurs de w et R sont w'=3/2 et R'=1, d'où :
La nouvelle demande de loisir (0,5 pt):
wH + R '
l' =
2w
l' =
(3 / 2 ) * 2 + 1
2 * (3 / 2 )
l ' = 4 /3
La nouvelle demande de consommation (0,5 pt):
wH + R '
(3 / 2) * 2 + 1
C' =
C' =
2p
2 *1
C’=2
La nouvelle utilité du consommateur (0,25 pt) :
1
4
U ' (l ' , C ' ) = ( * 2 * )
2
3
U ' (l ' , C ' ) = 4 / 3
U ' (l ' , C ' ) = α C ' l '
Comme U>U' les individus ont perdu de l'utilité.
Pour la représentation graphique il faut montrer le déplacement de la CB, de la courbe
d'indifférence et, a fortiori, de l'équilibre. (0,25 pt)
6) Déterminez l'expression de l'utilité indirecte. De combien doit s'élever le revenu non
salarial pour que les individus retrouvent leur niveau d'utilité précédent ? Représentez
graphiquement cette troisième évolution. (2 pts)
D'après les équation de U, C et l, l'utilité indirecte correspond à :
U (l , C ) = α (
wH + R wH + R
)(
)
2p
2w
d'où,
U (l , C ) = α (
wH + R 2
)
4 wp
Pour trouver l'augmentation de R nécessaire au maintient de l'utilité U=2 on se sert de
l'équation de l'utilité indirecte avec la nouvelle valeur du salaire nominal. D'abord on calcul
R'' le revenu non salarial qui permet de garder le même niveau d'utilité.
2=
1 (3 / 2 * 2 + R' ' ) 2
*(
)
2
(4 * 3 / 2 *1)
(3 + R ' ' ) 2
12
R' ' = 24 − 3
2=
R ' ' ≈ 1,9
On peut maintenant calculer l'augmentation de R, r, permettant à l'individu de conserver son
niveau d'utilité initial :
r = R ' ' − R'
r ≈ 0,9
Cette fois ci le graphique montre que seule la CB évolue (par rapport à la première situation)
et que le niveau d'utilité reste le même (U=U''=2).