Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2013/2014 MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2013/2014
Programme des colles de la semaine 17 (10/03 – 15/03)
(*) : démonstration exigible.
I. Espaces vectoriels
1. Définitions
• Espace vectoriel sur un corps K, vecteurs, scalaires.
• (*) 0 · x, λ · 0, (−1) · x.
• Colinéarité.
• Combinaison linéaire de 2 vecteurs, d’un nombre quelconque de vecteurs.
• K est un K-ev.
• (*) Si E est un K-ev, E F aussi. Cas de KF
• Exemples de référence : {0}, Kn , KN , Kn [X].
2. Constructions
• (*) Produit cartésien de K-ev.
• Sous-espace vectoriel. (*) Critère.
• Suite des exemples de référence : K[X], C(X, R), plus généralement C n (X, R).
• Droites vectorielles. (*) Intersection de droites vectorielles.
• (*) Intersection de sev
• sev engendré par un ensemble (défini par minimalité), notation Vect(X).
• (*) Description de Vect(X) en terme de combinaisons linéaires.
3. Sommes, sommes directes
• Somme de deux sev (défini par minimalité)
• (*) E + F = {x + y, x ∈ E, y ∈ F }
• Somme d’un nombre fini de sev par minimalité
• Compatibilité avec une définition par récurrence.
• (*) Vect(X ∪ Y ) = Vect(X) + Vect(Y ).
• Somme directe de deux sev
• Définition par récurrence d’une somme directe de n sev
• Caractérisation par les intersections
• (*) Caractérisation par l’unicité de la décomposition.
• Supplémentaire.
• Existence d’un supplémentaire (avec axiome du choix ; démonstration vue, mais non exigible).
4. Familles de vecteurs
• Familles libres, liées. (*) Versions équivalentes de la définition.
• Stabilité par restriction
• (*) Caractérisation de la liberté par les sous-familles finies.
• (*) Effet de l’ajout d’un élément à une famille libre.
• Famille libre maximale
• (*) Caractérisation des sommes directes par la liberté.
• Familles génératrices.
• Stabilité par ajout d’un élément
• (*) Effet de la restriction d’une famille génératrice
• Famille génératrice minimale.
• Base.
• Caractérisation d’une base par maximalité d’une famille libre, par minimalité d’une famille génératrice.
5. Théorie de la dimension
• Définition d’un espace vectoriel de dimension finie
• Extraction d’une famille génératrice finie de toute famille génératrice
• (*) Théorème de la base incomplète.
• Finitude des familles libres, des bases.
• (*) Lemme d’échange.
• (*) Théorème de la dimension. Définition de la dimension.
• Nombre maximal d’éléments d’une famille libre, nombre minimal d’éléments d’une famille génératrice. Caractérisation des bases par le cardinal de familles libres ou génératrices.
• (*) Dimension d’un produit cartésien
• Rang d’une famille de vecteurs. Majoration du rang, cas d’égalité.
• (*) Un sev d’un espace de dimension finie est de dimension finie. Inégalité sur les dimensions. Cas d’égalité.
• (*) Dimension d’une somme directe
• (*) Existence et dimension d’un supplémentaire en dimension finie.
• (*) Formule de Grassmann. Inégalité entre dim(E + F ), dim(E) et dim(F ). Cas d’égalité.
• Caractérisation des sous-espaces supplémentaires en dimension finie.
II. Applications linéaires
Les élèves ont peu d’entraînement sur le sujet pour le moment. Il est préférable de ne pas trop faire intervenir les AL
dans les exercices cette semaine.
1. Applications linéaires
• Définition, image de 0, caractérisation par respect des CL.
• (*) Structure d’espace vectoriel de L(E, F ).
• (*) Composée d’applications linéaires
• (*) Bilinéarité de la composition.
• Image et noyau.
• (*) Image directe et image réciproque d’un sev par une AL. Cas de l’image et du noyau.
• (*) Caractérisation de l’injectivité par le noyau.
• (*) L’image d’une famille génératrice de E par f est une famille génératrice de Im(f ). Exemple : les colonnes
de M engendrent l’image de X 7→ M X.
• Isomorphisme. Réciproque d’un isomorphisme.