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CORRECTION DU DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES n°4 - Sujet N++ Exercice 1 On considère les expressions : 3 1 5 π΄=( β )× 5 2 2 π΅= 16 × 10β1 × 2 (103 )2 × 10β8 × 80 πΆ= β12 β5 1) Calculer lβexpression A et donner le résultat sous la forme dβune fraction irréductible. 3 1 5 π΄=( β )× 5 2 2 π΄=( 6 5 5 β )× 10 10 2 π΄= 1 5 × 10 2 π΄= 1×5 5×2×2 π΄= 1 4 2) Vérifier que B est un nombre entier. Ecrire les étapes de calcul. 16 × 10β1 × 2 π΅= (103 )2 × 10β8 × 80 π΅= 8×2 10β1 × 8 × 5 × 2 (103 )2 × 10β8 1 10β1 π΅= × 6 5 10 × 10β8 10β1 π΅ = 0,2 × β2 10 π΅ = 0,2 × 101 π΅=2 3) Vérifier que C est un nombre entier. Ecrire les étapes de calcul. πΆ= πΆ= β12 β5 × β15 1 β4 × β3 × β5 × β3 β5 πΆ = β22 × β32 πΆ = 2×3 = 6 × β15 Exercice 2 Un moule à gâteaux à la forme du tronc du cône représenté ci-contre. Montrer que le volume de ce moule est dβenviron 125 cm3. Calcul du volume du grand cône : π × (7,5 ÷ 2)² × 12 π × 3,75² × 4 × 3 ππππππ πôππ = = = 56,25π ππ3 3 3 ο§ ο§ Calcul du coefficient de réduction : 12 β 4 8 2 = = 12 12 3 Calcul du volume du petit cône : 2 3 2 3 450 ππππ‘ππ‘ πôππ = ππππππ πôππ × ( ) = 56,25π × ( ) = π 3 3 27 ο§ ο§ Calcul du volume du tronc du cône : ππ‘ππππ = ππππππ πôππ β ππππ‘ππ‘ πôππ = 56.25π β 450 π β 125 ππ3 27 Exercice 3 On considère deux nombres quelconques. Démontrer que la différence entre le carré de leur somme et le carré de leur différence est égal à 4 fois leur produit On choisit π et π. (π + π)2 β (π β π)2 = π² + 2ππ + π² β (π2 β 2ππ + π2 ) = 2ππ + 2ππ = 4ππ Exercice 4 Voici le rond central dβun terrain de foot. Des ballons sont situés en G, O, A et L. O est le centre du cercle. GA = 18,3 m Les points G, O et A sont alignés. Μ = 70°, en déduire la mesure de lβangle πΏππ΄ Μ. 1) Sachant que πΏπΊπ Μ est un angle au centre qui intercepte lβarc Μ πΏππ΄ πΏπ΄ Μ est un angle inscrit qui intercepte lβarc πΏπ΄ Μ. πΏπΊπ΄ Or lβangle au centre mesure le double de lβangle inscrit qui intercepte le même arc. Μ = 2 × πΏπΊπ΄ Μ = 2 × 70° = 140° Donc πΏππ΄ 2) Démontrer que le triangle GLA est rectangle. Les points L, G et A appartiennent au cercle. [AG] est un diamètre du cercle. Or si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle. Donc GLA est rectangle en L. 3) Pour sβéchauffer Sylvain fait le tour du triangle GLO et Pierre celui du triangle LOA. Quelle distance parcourt chacun des deux joueurs à chaque tour ? ο§ Echauffement de Sylvain Dans le triangle GLA rectangle en L πΏπΊ Μ) = cos(πΏπΊπ πΊπ΄ πΏπΊ cos(70°) = 18,3 πΏπΊ = 18,3 × cos(70°) β 6,3 π Donc on obtient un parcours de : πΏπΊ + πΊπ + ππΏ β 6,3 + 2 × 9,15 β 24,6 π ο§ Echauffement de Pierre Dans le triangle GLA rectangle en L πΏπ΄ Μ) = sin(πΏπΊπ πΊπ΄ πΏπ΄ sin(70°) = 18,3 πΏπ΄ = 18,3 × sin(70°) β 17,2 π Donc on obtient un parcours de : πΏπ΄ + π΄π + ππΏ β 17,2 + 2 × 9,15 β 35,5 π Exercice 5 Le dessin ci-contre représente la Terre qui est assimilée à une sphère de 6370 km de rayon. Le cercle de centre O passant par M représente lβéquateur. Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir ο¬gure). Μ est un angle droit. On admettra que lβangle πΏππ On donne OS = 4880 km. 1) Calculer SL au km près. Dans le triangle SLO rectangle en S, dβaprès le théorème de Pythagore : ππΏ2 = ππ2 + ππΏ2 63702 = 48802 + ππΏ2 ππΏ2 = 40 576 900 β 23 814 400 ππΏ2 = 16 762 500 ππ = β16 762 400 β 4 094 ππ Μ et arrondir au degré prés. 2) Calculer la mesure de lβangle πππΏ Dans le triangle SLO rectangle en S ππ 4 880 Μ)= πππ (πππ = ππΏ 6 370 Μ = arccos ( πππΏ 4 880 ) β 40° 6 370 3) En déduire au degré près la latitude Nord de Londres par rapport à lβéquateur, cβest à dire lβangle Μ πΏππ Μ = πππ Μ β πππΏ Μ = 90° β 40° = 50° πΏππ