I. Nombre dérivé et tangente II. Fonction dérivée et fonction de
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I. Nombre dérivé et tangente II. Fonction dérivée et fonction de
Dérivation I. Préparer son entrée en Terminale S Nombre dérivé et tangente Définition Taux d’accroissement Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre de I. f (a + h) − f (a) appelé taux d’accroissement A tout nombre h non nul, tel que a + h ∈ I, on associe le nombre h de f entre a et a + h. Définition Nombre dérivé Soir f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un nombre de I et h un réel non nul tel que a + h ∈ I. Dire que f est dérivable en a, c’est dire que lorsque h tend vers 0, le taux d’accroissement tend ver un réel L. Ce nombre L est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f ′ (a). Ainsi, on a f (a + h) − f (a) = f ′ (a) lim h→0 h Vous avez vu en cours cette année que graphiquement le nombre dérivée en a correspondait à une position « limite » d’une droite passant par deux points, dont l’un d’abscisse a, de la courbe C représentative de la fonction f : la tangente au point d’abscisse a. Ainsi, on a le résultat suivant : Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, Cf sa courbe représentative et a un réel tel que a ∈ I. Si f est dérivable en a alors la droite passant par A (a; f (a)) et de coefficient directeur f ′ (a) est la tangente à Cf au point A. Propriété L’équation de la tangente T à Cf en A est : y = f ′ (a)(x − a) + f (a) II. Fonction dérivée et fonction de référence Définition On dit que f est dérivable sur I lorsque f admet en tout x de I un nombre dérivé, f ′ (x). Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f (ou plus simplement dérivée de f ) la fonction, notée f ′ , qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé f ′ (x) de f en x. Le cours Dérivation Préparer son entrée en Terminale S Théorème Tableau des dérivées usuelles Fonction Ensemble de dérivabilité Fonction dérivée f (x) = k (fonction constante) dérivable sur R f ′ (x) = 0 f (x) = x sur R dérivable sur R f ′ (x) = 1 f (x) = x2 sur R dérivable sur R f ′ (x) = 2x f (x) = x3 sur R dérivable sur R f ′ (x) = 3x2 f (x) = 1 sur R∗ x dérivable sur R∗ f ′ (x) = − f (x) = √ x sur R+ dérivable sur R∗+ 1 f ′ (x) = √ 2 x 1 x2 Généralisation f (x) = xn , n ∈ N∗ sur R f (x) = III. 1 , n ∈ N∗ sur R∗ xn dérivable sur R f ′ (x) = nxn−1 dérivable sur R∗ f ′ (x) = −n xn+1 Opérations sur les fonctions dérivables On considère une fonction f définie sur un intervalle I ; Tous les résultats suivants sont admis. Si f (x) s’écrit alors f est dérivable sur I et f ′ (x) est égale à Somme u + v f (x) = u(x) + v(x) f ′ (x) = u′ (x) + v ′ (x) Différence u − v f (x) = u(x) − v(x) f ′ (x) = u′ (x) − v ′ (x) f (x) = λ.u(x) f ′ (x) = λ.u′ (x) f (x) = u(x) × v(x) f ′ (x) = u′ (x) × v(x) + u(x) × v ′ (x) u et v sont des fonctions définies et dérivables sur I Produit par un nombre réel λ λ.u Produit de deux fonctions u.v Inverse 1 où v(x) 6= 0 pour tout x de I v(x) f (x) = 1 v(x) u où v(x) 6= 0 pour tout x de I v f (x) = u(x) v(x) Quotient Le cours f ′ (x) = − f ′ (x) = v ′ (x) [v(x)]2 u′ (x) × v(x) − u(x) × v ′ (x) [v(x)]2 Dérivation IV. Préparer son entrée en Terminale S Extremums et sens de variation Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x de I : • f ′ (x) > 0, alors f est croissante sur I. • f ′ (x) < 0, alors f est décroissante sur I. • f ′ (x) = 0, alors f est constante sur I. Définition • On dit qu’une fonction f admet un minimum local f (a) lorsque pour tout x suffisamment proche de a, f (x) > f (a). • On dit qu’une fonction f admet un maximum local f (b) lorsque pour tout x suffisamment proche de b, f (x) 6 f (b). Dans les deux cas, on parle d’extremum locaux, c’est à dire des valeurs minimales ou maximales de la fonction localement. Théorème Soit f une fonction dérivable sur I. Soit x0 appartenant à I, distinct des extrémités de I. • Si f a un extremum local en x0 alors f ′ (x0 ) = 0. • Si f ′ (x0 ) = 0 et si f ′ change de signe en x0 , alors f possède un extremum local en x0 . Le cours Dérivation Préparer son entrée en Terminale S Pour ne pas perdre la main Exercice 1 Exercice 9 Calculer la fonction dérivée de la fonction u définie sur ]2; ∞[ par : 2x + 1 u(x) = −x + 2 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x3 + x2 . 1. Calculer la dérivée de f . 2. En déduire le sens de variation de f sur R. Exercice 2 Exercice 10 Soit f la fonction définie sur R par : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 − x2 + 1. f (x) = x + 3x − 5 3 2 1. Étudier le sens de variation de f sur R. Existe-t-il des réels a tels que f ′ (a) = 2 ? 2. Déterminer le minimum de f sur [0; +∞[. Exercice 3 3. Déterminer le signe de f sur [0; +∞[. 4 Déterminer les points de la courbe d’équation y = où la x tangente est parallèle à la droite d’équation y = −2x + 1. Exercice 11 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 − 3x − 2. Exercice 4 1. Étudier le sens de variation de f sur R. Soit C la représentation graphique de la fonction p définie sur R par p(x) = x3 − 4x2 . 2. Existe-t-il des réels tels que x3 > 3x + 2 ? Existe-t-il des points de C où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses ? Si oui, lesquels ? Exercice 12 Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par : f (x) = x + Exercice 5 4 x Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 + 3. 1. Étudier le sens de variation de f . Calculer sa dérivée et donner une équation de la tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse 1. 2. Déterminer le minimum de f sur ]0; +∞[. Exercice 13 Exercice 6 1. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur ]0; +∞[ par : 1 x2 − x Soit f et h les fonctions définies sur ]0; +∞[ par : f (x) = x 1 + √ x et h(x) = x + Déterminer les fonctions f ′ et h′ . √ 2 x 2. Calculer f (1) Exercice 7 3. Déterminer le signe de f sur ]0; +∞[. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x3 + 4x. 4. Existe-t-il des réels positifs tels que x2 6 1. Calculer la dérivée de f . Exercice 14 2. En déduire le sens de variation de f sur R. On considère la fonction définie sur R par 1 ? x f (x) = x2 − 3x − 1 Exercice 8 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x3 + 3x + 5. 1. Calculer la dérivée de f . 1. Démontrer que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point A (a; f (a)) est donnée par y = (2a − 3)x − a2 − 1. 2. Existe-t-il un point pour lequel la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x ? 2. En déduire le sens de variation de f sur R. 3. Existe-t-il un point pour lequel la tangente passe par l’origine du repère ? Les exercices Dérivation Préparer son entrée en Terminale S Corrections Ne cédez pas à la tentation ! Utilisez ces corrections à bon escient ;) Les exercices - Correction Dérivation Préparer son entrée en Terminale S Exercice 1 u′ (x) = 2(−x + 2) − (−1)(2x + 1) (−x + 2)2 Exercice 2 f ′ (x) = 3x2 + 6x Le problème revient à résoudre l’équation 3x2 + 6x = 2, soit 3x2 + 6x − 2 = 0. Cette équation possède deux solutions : √ √ −3 − 15 −3 + 15 x1 = et x2 = 3 3 Exercice 3 4 Le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé en ce point. La fonction f : x 7−→ admet x 4 pour dérivée sur R∗ f ′ : x 7−→ − 2 . x Les droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Donc le(s) éventuel(s) réel(s) a cherché(s) sont les solutions √ √ 4 de l’équation − 2 = −2, qui sont − 2 et 2. x Exercice 4 Même type de problème que le précédent. p′ (x) = 3x2 − 8x parallèle à l’axe des abscisses implique un coefficient directeur nul. Donc on résout : 3x2 − 8x = 0 ↔ x(3x − 8) = 0 8 Les points de C cherchés sont les points d’abscisse 0 et . 3 Exercice 5 f ′ (x) = 2x Donc l’équation de la tangente est y = f ′ (1)(x − 1) + f (1) Soit y = 2(x − 1) + 4 Exercice 6 f ′ (x) = 1 + et √ √ 3 x 1 x +x× √ =1+ 2 x 2 √ √ √ √ 1 1 1 h′ (x) = (1 + √ )(x + x) + (x + x)(1 + √ ) = 2(1 + √ )(x + x) = 2x + 1 + 3 x 2 x 2 x 2 x Exercice 7 1. f ′ (x) = 6x2 + 4 2. f ′ (x) > 0 sur R (évident car somme de termes positifs). Donc la fonction f est croissante sur R. Exercice 8 1. f ′ (x) = −3x2 + 3 Les exercices - Correction Dérivation Préparer son entrée en Terminale S 2. f ′ (x) admet pour racines -1 et 1. Donc f ′ (x) > 0 sur ] − 1; 1[ et f ′ (x) < 0 sur ] − ∞; −1[∪]1; +∞[. On en déduit la tableau de variation suivant : x −∞ −1 1 +∞ 7 f (x) 3 Exercice 9 1. f ′ (x) = −3x2 + 2x 2 2 2 ′ ′ 2. f (x) admet pour racines 0 et . Donc f (x) > 0 sur 0; et f (x) < 0 sur ] − ∞; 0[∪ ; +∞ . On en déduit la 3 3 3 tableau de variation suivant : ′ x 0 −∞ 2 3 +∞ 4 27 f (x) 0 Exercice 10 2 1. f ′ (x) = 3x2 − 2x = x(3x − 2). Donc f ′ (x) admet pour racine et 0. 3 2 2 Donc f ′ (x) < 0 sur 0; et f ′ (x) > 0 sur ] − ∞; 0[∪ ; +∞ . On en déduit la tableau de variation suivant : 3 3 x 0 −∞ 2 3 +∞ 1 f (x) 23 27 2. D’après le tableau de variations la fonction est croissante sur [0; +∞[. Donc le minimum sur cet intervalle est atteint 23 pour x = 0 et vaut 27 3. Comme le minimum de f (x) est positif et que la fonction est croissante sur [0; +∞[, on peu conclure que f (x) > 0 sur cet intervalle Exercice 11 1. f ′ (x) = 3x2 − 3. Les racines de f ′ (x) sont -1 et 1. On obtient donc le tableau de variations suivant : Les exercices - Correction Dérivation Préparer son entrée en Terminale S x −∞ +∞ 1 −1 0 f (x) −4 2. Répondre à la question revient à résoudre l’inéquation x3 − 3x − 2 > 0 D’après la tableau de variation, si de tels réels existent, alors ils sont plus grand que 1. Or il semble assez évident (un calcul peut aider) que f (2) = 0. On en déduit que l’ensemble des réels cherchés est ]2; +∞[. Exercice 12 f (x) = x + 4 x x2 − 4 4 = . x2 x2 ′ Étudier le signe de f (x) équivaut à étudier le signe de x2 − 4, dont les racines sont -2 (Hors du domaine de définition) et 2. On en déduit le tableau de variation : 1. f ′ x() = 1 − x f ′ (x) 0 +∞ 2 − 0 + f (x) −1 2. D’après le tableau le minimum (sur ]0; +∞[ ) de la fonction f vaut 4 et est atteint pour x = 2. Exercice 13 1. f ′ (x) = 2x + 1 . Il est clair que f ′ (x) > 0 si x > 0. Donc f est croissante sur ]0; +∞[. x2 2. f (1) = 0 3. D’après les questions précédentes, f (x) < 0 sur ]0; 1[ et f (x) > 0 sur ]1; +∞[. 4. x2 6 1 1 ↔ x2 − 6 0. Donc d’après la question précédente, les réels cherchés sont ceux de l’intervalle ]0; 1]. x x Exercice 14 1. f ′ (x) = 2x − 3. Donc l’équation de la tangete au point d’abscisse a est donnée par y = f ′ (a)(x − a) + f (a)., soit y = (2a − 3)(x − a) + (a2 − 3a − 1) = (2a − 3)x − a2 − 1. 2. Répondre à la question revient à résoudre 2a − 3 = 1. Donc le réel cherché est a = 2. 3. Passé par l’origine du repère implique que la tangente passe par le point (0, 0). Donc on cherche s’il existe a tel que −a2 − 1 = 0, soit a2 = −1. Il n’existe donc aucune solution, donc aucun point ! Les exercices - Correction