Espaces de Lebesgue Lp,1 ≤ p ≤ ∞.

Espaces de Lebesgue Lp , 1 6 p 6 ∞
Espaces de Lebesgue Lp, 1 6 p 6 ∞.
Présentation des espaces Lp
1
1.1
Définitions
On considère Ω un ouvert de Rn . Les fonctions f seront considérées de Ω dans R ou C.
Définition 1.1 On appelle Lp = LpM (Ω, C) pour 1 6 p < ∞ l’espace des fonctions f mesurables,
de Ω → C telles que M (|f |p ) < ∞ où M est une mesure sur Ω.
Définition
Pour 1 6 p < ∞, on appelle norme Lp et on note k.kp , l’application définie par
R 1.2
p 1/p
kf kp = ( Ω |f | ) .
Définition 1.3 On appelle supessentiel et on note kF kL∞ = inf{C > 0 tel que |f (x)| 6 C pp sur Ω}.
Définition 1.4 On appelle espace
L∞ l’ensemble des fonctions qui ont un supessentiel fini.
Définition 1.5 On appelle espace de Lebesgue Lp = Lpµ (Ω, C) pour 1 6 p 6 ∞ Lp = Lp /R où
est la relation d’équivalence définie par f Rf 0 ⇔ kf − f 0 kp = 0 et µ est la mesure de Lebesgue.
R
Définition 1.6 On dit que p et p0 sont deux exposants conjugués pour tout p, p0 ∈ [1; ∞] ssi
1
1
0
p + p0 = 1. On notera dans toute la suite p le conjugué de p.
1.2
Théorème de Fischer-Riesz
0
Théorème
1.1 (Inégalité de Hölder) Soit f ∈ L et g ∈ Lp où 1 6 p 6 ∞. Alors f.g ∈ L1 et
R
|f g| 6 kf kp kgkp0
Corollaire 1.1 (Inégalité de Minkowsi) kf + gkp 6 kf kp + kgkp
Théorème 1.2 Lp est un espace vectoriel et ∀p ∈ [1; ∞], k.kp est une norme.
Théorème 1.3 (de convergence dominée de Lebesgue pour les espaces Lp ) On suppose p 6=
∞. Soit (fn ) une suite de fonctions mesurable telle que fn (x) → f (x)p.p.. Si ∃g ∈ Lp / ∀(x, n) |fn (x)| 6
g(x) Alors f ∈ Lp et fn → f en norme Lp .
Exemple 1.1 Pour p = ∞, la suite de fonctions fn = χ[n;∞[ montre que le théorème précédent ne
fonctionne pas pour L∞ .
Théorème 1.4 (de Fischer-Riesz) ∀p ∈ [1; ∞], Lp est un espace de Banach.
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1.3
1.3.1
Propriétés des espaces Lp
densité
Théorème 1.5 les fonctions en escaliers forment un sous-espace vectoriel dense de Lp pour p ∈
[1; ∞[
Théorème 1.6 (de densité) L’espace Cc (Ω) des fonctions continues à support compact est dense
dans Lp (Ω) pour 1 6 p < ∞.
Théorème 1.7 L’espace Cc∞ (Ω) des fonctions infiniment dérivables à support compact est dense
dans Lp (Ω) pour 1 6 p < ∞.
Proposition 1.1 L’espace Cc∞ (Ω) est dense dans le sous espace de L∞ des fonctions bornées qui
tendent vers 0 à l’infini.
Rx
Application 1.1 (Inégalité de Hardy) Soit f ∈ Lp (R+ ). On définit T f (x) = x1 0 f (t)dt ∀x ∈
p
R+ . Si 1 < p < ∞, on a kT f kLp (R+ ) 6 p−1
kf kLp (R+ ) et T f ∈ Lp .
1.3.2
séparabilité
Définition 1.7 Un espace est séparable ssi il contient une partie dénombrable dense..
Théorème 1.8 (Espaces séparables) Lp (Ω) est séparable pour 1 6 p < ∞.
Proposition 1.2 L∞ (Ω) n’est pas séparable.
2
2.1
Dual
Identification du dual
0
Théorème 2.1 (de
de Riesz) Soit 1 6 p < ∞ et soit φ ∈ (Lp )0 . Alors ∃!u ∈ Lp
R représentation
p
tel que < φ, f >= uf ∀f ∈ L . De plus on a kukLp0 = kφk(Lp )0 . Ce théorème permet d’identifier
0
le dual de Lp à Lp
Théorème 2.2 Le dual de L∞ contient strictement L1 et s’identifie à l’espace des mesures de
Radon.
Exemple 2.1 (d’élément de L∞ qui n’est pas dans L1 ) Supposons que 0 ∈ Ω. Soit φ0 : Cc (Ω) →
R définie par φ0 (f ) = f (0). Soit φ la fonction qui prolonge cette fonction en une
R forme linéaire et
continue sur L∞ . Alors, il n’existe pas de fonction u ∈ L1 telle que < φ, f >= uf ∀f ∈ L∞ .
2.2
réfléxivité
Définition 2.1 Soit J : E → E 00 tel que J(x) = f 7→< f, x > Un espace E est dit reflexif si J est
bijective de E dans E 00 .
Théorème 2.3 Lp est réflexif pour 1 < p < ∞.
Proposition 2.1 L1 et L∞ ne sont pas réfléxifs.
Exemple 2.2 (de la non réfléxivité de L1 ) Considérons 0 ∈ Ω et la suite fn = αn (1)B(0, n1 )
avec n assez grand pour que B(0, n1 ) ⊂ Ω et αn tel que kf kL1 = 1. Si L1 était réflexif,
R on pourrait
avoir à la fois f (limite faible d’une sous suite de fn ) égale à 0 presque partout et f = 1, ce qui
serait absurde.
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Liens entre différentes convergences
3.1
Réciproque du théorème de Lebesgue
Théorème 3.1 (Réciproque du théorème de Lebesgue) Soit (fn ) une suite de Lp et f ∈ Lp
tels que kfn − f kp → 0. Alors il existe une sous suite extraite (fnk ) telle que :
1. fnk (x) → f (x) p.p. sur Ω
2. ∀k ∈ N |fnk (x)| 6 h(x) p.p. sur Ω, avec h ∈ Lp
Exemple 3.1 Soit (fn )n∈N → f dans Lp et (fn )n∈N → g dans L1 . Alors il existe φ et ψ deux
extractions telles que fφ(n) → f p.p. et fφ◦ψ(n) → g p.p. et donc f = g p.p.
3.2
Convergence forte et faible
Remarque 3.1 On peut souvent utiliser une convergence faible pour démontrer une convergence
forte.
Exemple 3.2 Soit p > 1 et (fn )n∈N une suite dans Lp qui converge faiblement vers f ∈ Lp et telle
que kfn kp → kf kp . Alors fn converge fortement vers f pour la norme Lp .
3.3
Aspect probabiliste
Définition 3.1 On parle de convergence Lp pour une suite de variables aléatoires Xn lorsque
E[|Xn − X|p ] → 0).
Proposition 3.1 Pour 1 6 p 6 q, avec une mesure de probabilité, la convergence Lq entrainne la
convergence Lp .
Théorème 3.2 La convergence Lp entrainne la convergence en probabilité (P ({ ω | kXn (ω) −
X(ω)k > ε}) → 0).
Théorème 3.3 (de Scheffé) Soit (Xn ) une suite de v.a.r. positives intrégrables et X intégrable.
Si Xn → Xp.s. et si E[Xn ] → E[X] Alors Xn tend vers X en convergence L1 .
4
Le cas de L2
Remarque 4.1 2 est conjugué à lui-même.
Proposition 4.1 Le produit de deux fonctions de L2 est intégrable.
sur L2 par (f, g) 7→< fR|g > =
RDéfinition 4.1 On peut définir un produit scalaire euclidien
2
f.g dx. On peut définir un produit scalaire hermitien sur L (C) par (f, g) 7→< f |g > = f .g dx.
Théorème 4.1 Muni de son produit scalaire, L2 est un espace de Hilbert.
Remarque 4.2 Les propriétés de cet espace ont énormément d’application aux séries de Fourier.
Exemple 4.1 (Théorème de Plancherel) A chaque fonction f de L2 , on peut associer une fonction fb de L2 de sorte que les propriétés suivantes soient satisfaites :
1. Lorsque f ∈ L1 ∩ L2 , fb est la transformée de Fourier de f .
2. ∀f ∈ L2 , on a kfbk2 = kf k2 .
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3. L’application f → fb est un isomorphisme d’espaces de Hilbert de L2 sur L2 .
Z A
b
4. Entre f et f existent les relations symétriques suivantes : en posant φA (t) =
f (x)e−ixt dx
−A
Z A
et ψA (x) =
fb(x)eixt dt on a lim kφA − f k2 = 0 et lim kψA − fbk2 = 0
−A
A→∞
A→∞
Remarques
Attention, j’ai choisi de ne pas ou peu parler des :
– produit de convolution
– suite régularisante
– critère de compacité forte (variante d’Ascoli pour les espaces Lp )
Bibliographie
[1] Haı̈m Brézis. Analyse fonctionnelle. Masson, 1983.
[2] A. Chambert-Loir et S. Fermigier. Exercices de mathématiques pour l’agrégation, volume Analyse 3. Masson, 1995.
[3] Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder. Atlas des Mathématiques. Le livre de Poche, 1997.
[4] Walter Rudin. Analyse réelle et complexe. Masson, 1975.
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