DM n˚5 : Diffusion de particules et fluides en - PCSI

DMn˚5
DM n˚5 : Diffusion de particules et fluides en écoulement
A rendre pour le Mercredi 19 Novembre
Le devoir comprend trois exercices :
Exercice 1 : Diffusion de particules (d’après e3a 2012).
Exercice 2 : Etude d’une sténose (d’après BCPST 2010)
Exercice 3 : Le ballon de football (Résolution de problème).
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015
Exercice 1 : Diffusion de particules (d’après e3a 2012)
PREMIERE PARTIE
DIFFUSION – LOI DE FICK
Au sein d’un milieu homogène, considérons un ensemble de particules dont la
concentration n’est pas uniforme. Ces particules peuvent être des molécules, des atomes ou des
ions, des défauts ponctuels, des électrons libres, etc … Dans l’hypothèse d’une diffusion
unidirectionnelle, leur densité (ou concentration) particulaire n(x,t) dépend de leur position le long
de la direction Ox.
En 1885, dans le cadre de ses travaux sur les mélanges de gaz et de liquides, Adolf Fick
proposa la loi phénoménologique de diffusion. Cette loi introduit le coefficient de diffusion (ou
diffusivité) D et relie le vecteur densité volumique de particules j D au gradient de concentration
particulaire n.
A1.
Rappeler la loi de Fick ; expliquer le caractère « phénoménologique » de cette loi. Justifier
l’existence d’un flux de particules et son orientation relative vis à vis du gradient de
concentration.
La loi de Fick ne faisant apparaître que les variations spatiales de la concentration
particulaire à un instant t, il convient de la compléter par une équation de bilan lorsque le flux de
particules varie au cours du temps. Pour un cylindre infiniment long, de section S constante,
parallèle à la direction Ox de la diffusion, un bilan de matière conduit à l’équation de la diffusion:
n
2 n
D 2 .
t
x
A2.
Par une analyse dimensionnelle, établir une relation qualitative exprimant la longueur
caractéristique L du phénomène de diffusion en fonction de l’ordre de grandeur  de sa
durée et du coefficient de diffusion D.
En réalité, l’écoulement des particules dans une direction donnée peut avoir deux origines :
l’une est la conduction induite par le gradient de concentration, l’autre est la convection provoquée
par l’action d’une force extérieure (dite force de transport) qui déplace les particules avec une
vitesse moyenne v constante dirigée suivant l’axe x.
A3.
Par analogie avec la définition du vecteur densité de courant de charge, exprimer
simplement le vecteur densité volumique de particules j T pour la seule convection en

fonction de v et n(x,t). Compléter la loi de Fick et établir la nouvelle équation de la diffusion
dans le cas particulier où D et v sont indépendants de la densité de particules.
Pour illustrer la diffusion, considérons la situation expérimentale du dopage d’un semiconducteur d’arséniure de gallium (AsGa) avec du silicium. A l’instant t  0 , N0 atomes de silicium
par unité de surface sont brusquement introduits en x  0 , à la surface d’une plaquette d’AsGa
considérée comme un milieu semi-infini. L’analyse du régime instationnaire montre que le nombre
d’atomes de silicium N(x,t) par unité de volume à l’abscisse x et à l’instant t s’écrit :
N(x,t) 
K
t
 ax 2 

 t 
exp  
Tournez la page S.V.P.
2
A4.
Etablir la relation entre a et D, pour que la répartition d’atomes N(x,t) soit solution de l’équation de
diffusion établie en A1. Traduire la conservation du nombre d’atomes introduits et, par le
x
changement de variable u 
se référant aux compléments mathématiques en fin d’énoncé,
2 Dt
déterminer la valeur de K en fonction de N0 et D.
Le schéma ci-dessous (Figure 1) traduit le résultat du dopage de la plaquette d’AsGa :
l’évolution de la distribution des atomes de silicium est tracée en fonction de l’abscisse x, à
différents instants.
N(x,t) en 1021 atomes/m3
8
t  1h
7
6
t  2h
5
4
t 6h
3
Figure 1
2
t  20 h
1
x (m)
0
0
0,5
1,0
1,5
2,0
A5.
Analyser la forme des courbes obtenues. Que vaut l’aire sous chacune de ces courbes ?
Déterminer, à un instant t donné (en adoptant par exemple t  1h ), la profondeur
d’implantation L des atomes de silicium correspondant à une concentration moitié de la
concentration en x  0 (il s’agit de la demi-largeur à mi-hauteur).
A6.
Estimer l’ordre de grandeur du coefficient de diffusion D.
A7.
Proposer une méthode graphique permettant de déterminer plus précisément le coefficient
de diffusion D du silicium dans AsGa à partir des mesures expérimentales qui ont été faites
(on ne réalisera pas cette méthode).
DEUXIEME PARTIE
DIFFUSION DES MOLECULES D’UN COLORANT ENTRE DEUX SOLUTIONS
Etudions la diffusion de molécules de colorant entre deux solutions aqueuses qui, à
l’instant initial, ne possèdent pas la même concentration volumique. Une cuve d’épaisseur d et de
grandes dimensions dans les deux autres orientations, est constituée de deux bacs de même
volume remplis d’une solution contenant des molécules d’un même colorant et séparés par une
mince cloison située en z  0 . De part et d’autre de ce plan de séparation, les concentrations sont
uniformes et valent respectivement C1 pour z  0 et C2  C1 pour z  0 . (Figure 2)
A l’instant t  0 , la cloison est brusquement retirée et les
molécules diffusent, conduisant à une concentration C(z,t) en un
àt0
point de cote z et à l’instant t.
L’équation de la diffusion, étudiée dans la partie précédente
(A1), admet ici pour solution la fonction d’erreur (détaillée en fin
u
2
z
d’énoncé) : erf(u) 
.
exp(  s 2 ) ds , avec u 

2 Dt
 0
C1
z0
O
C2
z
d
Figure 2
3
D est le coefficient de diffusion des molécules de colorant dans la
solution ; il est supposé indépendant de la concentration. On
néglige l’effet de la pesanteur.
B1.
Présumer, sans effectuer de calcul, de la concentration attendue à l’interface des deux
bacs, lorsque le phénomène de diffusion est achevé.
Par continuité en z  0 , la concentration dans chaque domaine peut être décrite par une
expression du type C(z,t )  A erf (u)  B , A et B étant des constantes.
B2.
Donner les conditions aux limites en z→+∞ et z→-∞.
B3.
Déterminer les constantes A et B à partir des conditions aux limites, puis écrire la loi de
répartition de concentration C(z,t) .
B4.
Tracer l’allure du profil de concentration C(z,t) à trois instants successifs : t  0 , t1 puis
t 2  t1 . Commenter ces tracés.
COMPLEMENTS MATHEMATIQUES
erf  x  
 Définition de la fonction erreur (error function) :
x
 exp  s  ds

2
2
0
 Propriétés de erf(x) :
erf  x    erf  x 
erf  0   0

 exp  s  ds

2
erfc  x   1  erf  x  
2
x

d
2
erf  x  
exp x 2
dx


 Représentation de la fonction erreur :

 Intégrale d’Euler :
 exp  s  ds 
2
0

2
erf     1
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Exercice 2 : étude d’une sténose (d’après BCPST 2010)
Dans tout l’exercice on considère un écoulement incompressible, homogène et stationnaire.
1. On considère un cylindre de rayon R et de longueur L traversé par un fluide de viscosité dynamique η et
de masse volumique µ. Etablir la loi de Hagen-Poiseuille reliant le débit Q à la différence de pression
aux extrémitrés du cylindre. Par analogie électrocinétique on fera apparaître la résistance hydraulique
RH à exprimer en fonction des paramètres du problème. Quelles sont les hypothèses sous lesquelles cette
loi est valide ?
On étudie la circulation du sang dans un vaisseau sanguin sain modélisé par un tronçon cylindrique de
longueur ` et de rayon constant ro parcouru par le sang avec une vitesse débitante v = 0, 1m.s−1 . Le sang a
pour viscosité dynamique η = 10−3 Pl et pour masse volumique mu = 103 kg.m−3 .
2. Déterminer l’ordre de grandeur du rayon du vaisseau sanguin à partir à partir duquel on peut considérer
l’écoulement du sang comme laminaire.
Le tiers central de ce vaisseau sanguin est le siège d’une sténose. Dans cette portion centrale, le rayon
intermédiaire Ro est plus petit que le rayon ro du vaisseau non altéré. Le tronçon de longueur ` est alors
partagé en trois portions de même longueur 3` et de résistances hydrauliques respectivement notées R1 , R2 et
R3 . La figure ci-dessous représente la coupe diamétrale du vaisseau atteint d’une sténose. Dans toite la suite la
différence de pression ∆P est supposée constante, le générateur cardiaque fournissant toujours la même énergie.
3. Exprimer R1 , R2 et R3 en fonction de RH , résistance hydraulique du vaisseau sain, et des rayons Ro et ro .
4. Déterminer la résistance hydraulique du vaisseau sténosé et exprimer le résultat sous la forme RHs = αRH ,
où α est un coefficeint de proportionnalité à expliciter en fonction de Ro et ro .
5. Qs est le nouveau débit volumique sanguin dans le vaisseau atteint de sténose. Préciser l’expression de
Qs en fonction de Q et des rayons Ro et ro puis en fonction de Q et α. Comparer Q et Qs , quelle peut
être la conséquence physiologique de ce résultat ?
Un pontage est réalisé afin de réparer une artère sclérosée. Le pontage consiste à contourner l’obstacle à
l’aide d’une tubulure mise en parralèle sur la totalité du tronçon. RHp est la résistance hydraulique du pontage
de longueur `. La figure suivante représente la coupe diamétrale du pontage.
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6. Etablir l’expression de la résistance hydraulique équivalente de l’artère pontée en fonction de RH , α et RHp .
7. Déterminer la valeur de RHp permettant de rétablir le débit volumique sanguin à sa valeur en l’absence
de sténose. Exprimer dans ce cas RHp en fonction de RH et α.
8. Déterminer l’expression du rayon rp de la tubulure du pontage permettant de rétablir le débit volumique
sanguin à sa valeur en l’absence de sténose, en fonction de Ro et ro .
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Exercice 3 : ballon de football (résolution de problème)
Dans une enceinte contenant de l’air, on lache un ballon de football de masse m = 500g d’une hauteur de
27 mètres. Par vélocimétrie laser on mesure sa vitesse à différents instants ti , tels que ti+1 − ti = 30ms. Les
mesures sont relevées dans le graphe suivant :
On donne le coefficient de traînée d’une sphère en fonction du nombre de Reynolds :
Déterminer le diamètre du ballon de football.
La réponse à cette question nécessite de l’initiative. Le candidat est invité à consigner ses pistes de recherche, à y consacrer un temps suffisant. La qualité de la démarche choisie et son explicitation seront évaluées
tout autant que le résultat final.
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Méthode générale pour résoudre un problème :
La méthode suivante n’est pas un plan de rédaction mais un plan de réflexion, la liste des éléments proposés
n’est pas exhaustive. Tous les éléments de réflexion ne doivent pas nécessairement apparaître dans la solution
rédigée sur votre copie.
1. S’appropier le problème : Faire un schéma du modèle, identifier les grandeurs pertinentes et leur attribuer
un symbole, voire les évaluer quantitativement si cela est possible, relier le problème à une situtation
connue . . .
2. Etablir une stratégie de résolution : décomposer le problème en problèmes plus simples, commencer par
une version simplifiée, expliciter la modélisation choisie, déterminer et énoncer les lois physiques utiles. . .
3. Metter en œuvre la stratégie : mener la démarche jusqu’au bout afin de répondre à la question posée,
mener efficacement les calculs analytiques et numériques . . .
4. Avoir un regard critique sur les résultats obtenus : s’assurer que l’on a bien répondu à la question posée,
vérifier la pertinence du résultat en comparant avec des ordres de grandeurs connus, comparer le résultat
obtenu avec le résultat d’une autre approche (expérimentale par exemple), étudier des cas limites simples
dont la solution est plus facilement vérifiable.
5. Communiquer votre raisonnement : rédiger la solution en expliquant le raisonnement et les résultats,
présenter les étapes de son travail de manière synthétique, organisée, cohérente et compréhensible.
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