F-Exercices 1

Université Joseph Fourier – MAT231 – 2008-2009
mat231-exo-01-080902.tex (2 septembre 2008)
Feuille d’exercices no 1
Exercice 1.1 Soit A un ensemble. Soit (P(A), ⊂) l’ensemble des parties de A muni de la
relation d’inclusion.
1. Montrer que (P(A), ⊂) est un ensemble ordonné.
2. Montrer que (P(A), ⊂) n’est pas totalement ordonné.
3. Soit X := {A1 , A2 , A3 } une partie de P(A).
– Donner un majorant et un minorant de X .
– Montrer que X admet un plus grand minorant et un plus petit majorant (au sens de
l’inclusion).
– La partie X admet-elle un plus petit élément, un plus grand élément ? Exemple,
contre-exemple.
Exercice 1.2 Montrer que l’ensemble (N, ≤) est totalement ordonné.
Exercice 1.3 Soit (A, ≺) un ensemble ordonné. On considère X := A × A muni de la
relation ≤ définie par (x, y) ≤ (x0 , y 0 ) si et seulement si [x ≺ x0 et x 6= x0 ] ou [x = x0 et
y ≺ y 0 ]. Montrer que (X, ≤) est un ensemble ordonné ( ordre lexicographique).
Exercice 1.4 On munit l’ensemble N × N de l’ordre lexicographique (noté ≤). Montrer que
toute partie non vide de N × N admet un plus petit élément. Une partie non vide majorée
de N × N admet-elle un plus grand élément ?
Exercice 1.5 Soit (A, ≺) un ensemble ordonné et soit B une partie de A. Montrer que B
admet au plus un seul plus grand ( resp. un seul plus petit) élément (justification de l’article
“le” dans la définition donnée en cours).
Exercice 1.6 Un ensemble ordonné est-il toujours totalement ordonné ?
Exercice 1.7 Une partie non vide majorée d’un ensemble ordonné admet-elle toujours un
plus grand élément ?
MAT 231
2008-2009
2
Exercice 1.8 On considère l’ensemble (Z, ≤).
1. Montrer qu’une partie non-vide majorée de (Z, ≤) admet un plus grand élément.
2. Montrer qu’une partie non-vide minorée de (Z, ≤) admet un plus petit élément.
3. Une partie non-vide de (Z, ≤) admet-elle un plus petit élément ?
Exercice 1.9 Démontrer les assertions suivantes par récurrence.
– Soit l’assertion pour tout n ∈ N, n2 − n est un nombre pair.
Pn
– Soit l’assertion pour tout n ∈ N, j=0 j = n(n+1)
.
2
Exercice 1.10 Donner un exemple de propriété P(n) fausse et telle que
P(n + 1) vraie .
P(n) vraie ⇒
F Exercice 1.11 Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E. Pour tout x ∈ E,
on appelle classe d’équivalence de x modulo R, le sous-ensemble x := {y ∈ E | xRy} ⊂ E.
L’ensemble des classes d’équivalence modulo R est appelé l’ensemble quotient de E par R
et noté E/R ; c’est un sous-ensemble de P(E).
Exemples. On considère E := R2 avec l’une des relations binaires R ci-après.
1. (x, y)R(x0 , y 0 ) si et seulement si xy = x0 y 0 .
2. (x, y)R(x0 , y 0 ) si et seulement si xy 0 = x0 y.
La relation R est-elle une relation d’équivalence ? Si c’est le cas, déterminer les classes
d’équivalence des éléments (0, 1); (2, 0); (1, 1) et (1, 2).
Cas général.
1. Montrer que pour tout x ∈ E, on a x 6= ∅.
2. Soient x, y deux classes d’équivalence. Montrer que soit x ∩ y = ∅, soit x = y.
S
3. Montrer que x∈E x = E.
4. Réciproquement, soit A ⊂ P(E) une partition de E, c’est à dire un ensemble de parties
de E vérifiant
(a) ∀A ∈ A, A 6= ∅ ,
(b) ∀A, B ∈ A, A 6= B ⇒ A ∩ B = ∅ ,
S
(c) A∈A A = E .
Montrer qu’il existe une et une seule relation d’équivalence R sur E telle que A =
E/R.
Exercice 1.12 Soit (G, ?) un groupe. Montrer que (G, ?) n’admet qu’un seul élément neutre
et que tout élément x de G n’admet qu’un seul inverse.
MAT 231
2008-2009
3
Exercice 1.13 Montrer que l’ensemble Z4 := {0̂, 1̂, 2̂, 3̂} muni de l’opération +̂ définie dans
le tableau ci-après est un groupe commutatif.
+̂
0̂
1̂
2̂
3̂
0̂
0̂
1̂
2̂
3̂
1̂
1̂
2̂
3̂
0̂
2̂
2̂
3̂
0̂
1̂
3̂
3̂
0̂
1̂
2̂
Exercice 1.14 Montrer que l’ensemble M2 (R) des matrices 2 × 2 à coefficients réels, muni
de l’addition et de la multiplication usuelles des matrices, est un anneau. On considère les
matrices
0 1
0 0
A :=
et B :=
.
0 0
1 0
Calculer AB, BA, A2 . Que peut-on en déduire ?
ˆ muni des opération +̂ et ×
ˆ définies dans
Exercice 1.15 Montrer que l’ensemble (Z4 , +̂, ×),
les tableaux suivants, est un anneau commutatif qui admet des diviseurs de zéro.
+̂
0̂
1̂
2̂
3̂
0̂
0̂
1̂
2̂
3̂
1̂
1̂
2̂
3̂
0̂
2̂
2̂
3̂
0̂
1̂
3̂
3̂
0̂
1̂
2̂
ˆ
×
0̂
1̂
2̂
3̂
0̂
0̂
0̂
0̂
0̂
1̂
0̂
1̂
2̂
3̂
2̂
0̂
2̂
0̂
2̂
3̂
0̂
3̂
2̂
1̂
Exercice 1.16 Montrer que l’ensemble Z3 := {0̂, 1̂, 2̂}, muni des opérations définies dans
les tableaux suivants, est un corps commutatif.
+̂
0̂
1̂
2̂
0̂
0̂
1̂
2̂
1̂
1̂
2̂
0̂
2̂
2̂
0̂
1̂
ˆ
×
0̂
1̂
2̂
0̂
0̂
0̂
0̂
1̂
0̂
1̂
2̂
2̂
0̂
2̂
1̂
Exercice 1.17 On reprend le corps Z3 := {0̂, 1̂, 2̂} de l’exercice précédent. Pour p ∈ N• et
x ∈ Z3 , on pose px := x + · · · + x (p fois). Pour x ∈ Z3 , calculer 2x, 3x, 4x.
Exercice 1.18 Montrer que l’ensemble Mm,n (R) des matrices à m lignes et n colonnes et à
coefficients dans R, muni des opérations usuelles, est un espace vectoriel sur R. Déterminer
une base naturelle de cet espace.
Exercice 1.19 Soit E l’espace vectoriel R3 muni des opérations usuelles. On considère les
familles suivantes de vecteurs (écrits en lignes),
MAT 231
2008-2009
4
1. F1 := {(0, 0, 0), (0, 1, 2), (1, 0, 1), (1, 0, −1)},
2. F1 := {(1, 2, 3), (0, 2, 1), (−1, 0, 2)},
3. F1 := {(0, 1, 2), (1, 0, 1)},
4. F1 := {(0, 1, 2), (1, 0, 1), (1, 0, −1), (1, 2, 3)}.
Déterminer, parmi ces familles lesquelles sont libres, lesquelles sont génératrices.
F Exercice 1.20 On considère l’espace vectoriel C3 sur le corps C et sa base naturelle
E := {e1 , e2 , e3 } où e1 := (1, 0, 0), e2 := (0, 1, 0) et e3 := (0, 0, 1). On définit les vecteurs
f1 := (i, 0, 0), f2 := (0, i, 0) et f3 := (0, 0, i). Montrer que la famille F := {f1 , f2 , f3 } est
une base de C3 .
On considère maintenant C3 comme un espace vectoriel sur R. On note E cet espace. Les
familles E et F sont-elles libres dans E, sont-elles génératrices ? Montrer que la famille
B := E ∪ F est une base de E.
Exercice 1.21 On considère l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à n lignes et
n colonnes et à coefficients dans R. Donner une base naturelle pour Mn (R). Étant donnée
A := (aij ) ∈ Mn (R), on appelle transposée de A, et on note tA, la matrice B := (bij ) dont
le coefficient bij est égal à aji (transposition des lignes et des colonnes). Ainsi,




1 2 3
1 4 7
si A := 4 5 6 alors tA := 2 5 8 .
7 8 9
3 6 9
Montrer que l’ensemble Sn (R) := {A ∈ Mn (R) | A = tA} des matrices symétriques et
l’ensemble An (R) := {A ∈ Mn (R) | A = −tA} des matrices anti-symétriques sont des sousespaces vectoriels de Mn (R). Montrer que toute matrice de Mn (R) peut s’écrire de manière
unique comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice anti-symétrique. On se
donne une base B de Mn (R). Déterminer une base Bs de Sn (R) et une base Ba de An (R)
naturellement associées à B. Déterminer des bases naturelles pour Sn (R) et An (R).
F Exercice 1.22 Soit E un espace vectoriel sur R. Soit F := {f1 , . . . , fk } une famille
de vecteurs de E. On considère l’application F : Rk → E définie par F (x1 , . . . , xk ) :=
x1 f1 + · · · + xk fk . Montrer que
1. la famille F est libre si et seulement si l’application F est injective,
2. la famille F est génératrice si et seulement si l’application F est surjective,
3. la famille F est une base si et seulement si l’application F est bijective.
F Exercice 1.23 Montrer que l’ensemble C 0 (R, C) des fonctions continues de R dans C
est un espace vectoriel sur C (pour l’addition des fonctions et la multiplication d’une fonction
par un scalaire). Montrer que la famille {eikx }k∈Z est libre. [I Indication : Intégrer entre 0
et 2π.] Cette famille est-elle génératrice ?
———– ———–