Exercices : systèmes d`équations à deux inconnues

Ch 12 – exercices – système d’équations
JA
Exercices : systèmes d’équations à deux inconnues
1) Résoudre les systèmes d’équations
a  b  0

 7 b  3a  5
 2a - 4b  6

 3a - 7b  8
3a  2b  0

6a  8b  24
 2a - b  12

 8a  9b  74
 2a - b  12

12a - 6b  0
2) Résoudre par la méthode de calcul, puis vérifier graphiquement
b  7 a  4

6 a  3 b  3
5b - 3a  -1

b  a  3
3) Résoudre les problèmes suivants :
a) aurélie dépense 5,80 euros pour six croissants et deux brioches. Il lui faudrait 0,40 euros de
plus pour acheter deux croissants et six brioches.
Combien coûte chaque gâteau ?
b) la salle compte 400 places. Les parterres sont à 23 euros et les balcons à 18 euros. Quand le
théâtre est plein, la recette est de 8100 euros.
Combien y a-t-il de parterres, de balcons ?
c) Déterminer deux entiers sachant que leur somme est 666 et que si on divise le plus grand par le
plus petit le quotient est 3 et le reste 62.
d) La différence de deux nombres est 24. So l’on ajoute 8 à chacun de ces deux entiers, on obtient
deux nouveaux entiers dont le plus grand est le triple du plus petit.
Quels sont ces entiers naturels ?
e) un terrain rectangulaire a 220m de périmètre. En diminuant sa longueur de 2m et en
augmentant sa largeur de 2m, son aire augmente de 16 m².
Quelles sont les dimensions initiales du terrain ?
4) Trouver dans R, les nombres x qui vérifient simultanément les deux inéquations données (on
parle de systèmes d’inéquations) et représenter l’ensemble de solutions sur une droite graduée.
2 a  5   a  4

3 a  7  5 a  6
 a - 4  4a  5

 2a - 12  5  a
5) Résoudre les systèmes d’inéquations à deux inconnues
3 a  5 b  8

 2 a  3 b  3
 2a  7b  10

- a  b  2
Ch 12 – exercices – système d’équations
JA
Correction
a  b  0

 7 b  3a  5
a  b

7 a  3a  5
 2a - 4b  6

 3a - 7b  8
 - 6a  12b  -18
14a - 28b  42
et 

 6a - 14b  16
 - 12a  28b  -32
 a  0,5

 b  0,5
S  (0,5;0,5)

1)
 - 2b  -2

 2a  10
b  1

a  5


S  (5;1)

 3a  2b  0

 6a  8b  24
 - 6a - 4b  0
 - 12a - 8b  0
et 

 6a  8b  24
 6a  8b  24
 4b  24

 - 6a  24
 a  -4

b  6
S  (-4;6)

2)

2a - b  12

8a  9b  74
 2a - b  12

12a - 6b  0
b  2a - 12

 8a  9(2a - 12)  74
12a - 6b  72

12a - 6b  0
b  2a - 12

 26a  182
a  7

b  14 - 12  2
S  (7;2)


b  7a  4

6a  3b  3
b  7a  4

 6 a  3 (7 a  4 )  3
 5b - 3a  -1

b  a  3
b  3 - a

 5(3 - a) - 3a  -1
b  7a  4

  15 a  3  12
b  3 - a

15 - 8a  -1
 a  1

b   3
S  ( 1; 3
a  2

b  3 - 2  1
S  (2;1)
Même équation a un
coefficient près, pas de
solution.
graphiquement les deux
droites sont parallèles.
NB : si c’était la même
équation, les droites
seraient confondues et il y
aurait une infinité de
couples solution
Ch 12 – exercices – système d’équations
JA
3)
a) soit a le prix d’un croissant et b celui d’une brioche
 6 a  2 b  5,80

 2 a  6 b  5,80  0, 40  6 ,20
Après résolution, on trouve que le prix d’un croissant est de 0,7à euros et celui d’une brioche 0,80
euros.
b) soit a le nombre de parterres et b le nombre de balcon
 a  b  400

 23 a  18 b  8100
Il y a 180 parterres et 220 balcons
c) soit a, un entier et b un deuxième entier, le plus grand
 a  b  666

 b  3 a  62
les deux nombres sont 151 et 515
d) soit a le premier nombre et b le deuxième
 b  a  24

 3 (a  8)  b  8
les deux nombres sont 4 et 28
e) Soit L et l la longueur et la largeur
 2 ( L  l )  220

 ( L  2 )( l  2 )  Lx l  16
La longueur est de 60 et la largeur de 50
Ch 12 – exercices – système d’équations
JA
2a  5   a  4
4)
3a  9
a  4  4a  5
a 3
 3a  9
et
a  3
3a  7  5a  6
et
 2 a   13
2 a  12  5  a
a
a  17
13
2
[
S= [3 ; 6,5[
[
]
S ={ }
[
5)
droite : 3a-5b = 8
d’où les points (0 ;-1,6) et (1 ; -1)
O(0 ;0) est tel que 0 – 0 < 8 vérifie l’inéquation donc il appartient au demi plan solution. On
hachure le demi plan qui ne convient pas, de frontière la droite et qui ne contient pas le point O.
droite : 2a+3b=-3 d’où les points (0 ;-1) et (3 ;-3)
O(0 ;0) est tel que 0+0> -3 vérifie l’inéquation donc il appartient au demi plan solution. On
hachure le demi plan qui ne convient pas, de frontière la droite et qui ne contient pas le point O.
la solution est la partie blanche délimitée par les demi-droites [Az) et [At) non comprises
Ch 12 – exercices – système d’équations
b)
JA
 2a  7b  10

- a  b  2
Pour ce système, on procède de même et on doit obtenir :
le plan est cette partie limité par les
demi-droites [Az) non comprise et [At)
comprise